পরিমিতি

প্রশ্ন: একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 18° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = n

দেওয়া আছে,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 18°

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 360°

এখন,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/n
⇒ 18° = 360°/n
⇒ n = 360°/18°
⇒ n = 20

প্রশ্ন: ১৩, ১১, ৮, ২৪, ২০, ১৭ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলো ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
৮, ১১, ১৩, ১৭, ২০, ২৪

এখানে,
n = ৬

∴ মধ্যক = {(n/২) তম পদ ও (n/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= (৩ তম পদ + ৪ তম পদ)/২
= (১৩ + ১৭) /২
= ১৫

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। যদি ঘরের ক্ষেত্রফল 486 বর্গমিটার হয়, তবে ঘরের পরিসীমা কত?

Solution:
ধরি, প্রস্থ = x মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ 3x × x = 486
⇒ 3x² = 486
⇒ x² = 162
⇒ x = √162 = 9√2 মিটার

দৈর্ঘ্য = 3x = 27√2 মিটার

পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 × (27√2 + 9√2)
= 2 × 36√2
= 72√2 মিটার

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + a² + a²)
= √(3a²)
= √3a

গোলকের আয়তন = 4πr³/3
= 4π2³/3 = 32π/3 (ব্যসার্ধ = 4/2 = 2)
বৃত্তাকার লোহ পাতটির ব্যাসার্ধ = r সেমিঃ
প্রশ্নমতে,
πr²h = 32π/3
r²2/3 = 32/3
r = 4

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৫০ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ২৫ মিটার 

আমরা জানি,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ১/২ × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
= ১/২ × (৫০ × ২৫) বর্গমিটার 
= ৬২৫ বর্গমিটার 

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ২ টাকা 
∴ ৬২৫ বর্গমিটারে খরচ হয় = (২ × ৬২৫) টাকা 
= ১২৫০ টাকা 

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ১২৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মসজিদের ১৫ মিটার দীর্ঘ এবং ১৩ মিটার প্রশস্ত মেঝে ২.৫ মিটার লম্বা এবং ১.২০ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

সমাধান:
মসজিদের মেঝের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১৩) বর্গমিটার 
= ১৯৫ বর্গমিটার 

∴ প্রতিটি মাদুরের ক্ষেত্রফল = (২.৫ × ১.২০) বর্গমিটার 
= ৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় মাদুরের সংখ্যা = ১৯৫/৩ টি
= ৬৫ টি

মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ১৫ সে.মি.,
প্রস্থ, b = ১২ সে.মি. এবং
উচ্চতা, c = ১০ সে.মি.।
আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca)
= ২ (১৫×১২ + ১২×১০ + ১০×১৫) বর্গ সে.মি.
= ২ (১৮০+১২০+১৫০) বর্গ সে.মি.
= ২ × ৪৫০ বর্গ সে.মি.
= ৯০০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গমিটার ও আয়তন 400 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক ও 
বেলনের বক্রতলের আয়তন = πr²h ঘন একক 

দেওয়া আছে, 
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
ও বেলনের বক্রতলের আয়তন πr2h = 400

প্রশ্নমতে,
(2πrh)/(πr²h) = 100/400
বা, 2/r = 1/4
∴ r = 8

∴ বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ = 8 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
 ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (৮ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৪ × ৩ বর্গ মিটার
= ৮৪ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৮৪ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 16 সে.মি. এবং আয়তন 320π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 16 সে.মি.
∴ কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 16/2 = 8 সে.মি.
কোণকের আয়তন, V = 320π ঘন সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন, V = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
320π = (1/3) × π × (8²) × h
⇒ 320 = (1/3) × 64 × h
⇒ 320 × 3 = 64h
⇒ h = 960/64
∴ h = 15 সে.মি.

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, L = √(r² + h²)
= √(8² + 15²)
= √(64 + 225)
= √289
= 17 সে.মি.

∴ কোণকটির হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 17 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, প্রস্থ ১০ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার। শ্রেণিকক্ষটির চার দেয়ালের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
শ্রেণিকক্ষের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার,
শ্রেণিকক্ষের প্রস্থ = ১০ মিটার এবং
শ্রেণিকক্ষের উচ্চতা = ৮ মিটার

আমরা জানি,
শ্রেণিকক্ষের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১৫ + ১০) × ৮ বর্গ মিটার
= ২ × ২৫ × ৮ বর্গ মিটার
= ৪০০ বর্গ মিটার

∴ শ্রেণিকক্ষের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৮√৩ মিটার হলে ঘনকটির ধার কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘনকটির ধার = ক মিটার 

∴ ঘনকের কর্ণ = √৩ ক 
বা, ১৮√৩ = √৩ ক 
বা, ক = ১৮
∴ ক = ১৮

∴ ঘনকটির ধার = ১৮ মিটার।

প্রশ্ন: একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. প্রস্থ 3 সে.মি. এবং উচ্চতা 2.5 সে.মি.। 50 সে.মি. দৈর্ঘ্য, 45 সে.মি. প্রস্থ এবং 30 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কার্টনের মধ্যে কতটি কাঠের ব্লক রাখা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য = 4 সে.মি.
প্রস্থ =  3 সে.মি. 
উচ্চতা = 2.5 সে.মি.
∴ একটি কাঠের ব্লকের আয়তন = (4 × 3 × 2.5) ঘন সে.মি. = 30 ঘন সে.মি.

আবার,
কার্টনের দৈর্ঘ্য = 50 সে.মি. 
প্রস্থ = 45 সে.মি. 
উচ্চতা = 30 সে.মি. 
∴ কার্টনের আয়তন = (50 × 45 × 30) ঘন সে.মি. = 67500 ঘন সে.মি.

∴ কার্টনে কাঠের ব্লক ধরবে = কার্টনের আয়তন/একটি কাঠের ব্লকের আয়তন
= 67500/30
= 2250 টি 

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ৭৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাক্সের দৈর্ঘ্য  = ৪ মিটার 
বাক্সের প্রস্থ  = ২ মিটার ৭৫ সে.মি. = ২.৭৫ মিটার
বাক্সের উচ্চতা = ১ মিটার

∴ বাক্সটির আয়তন = (৪ × ২.৭৫ × ১) ঘনমিটার 
= ১১ ঘনমিটার । 

প্রশ্ন: একটি বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 6, 4 ও 3 মিটার। বাক্সটির বাইরের সাইডে প্রতি বর্গমিটার রং করতে 12.5 টাকা করে খরচ হলে বাক্সটি রং করতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 6, 4 ও 3 মিটার
আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca ) বর্গ মিটার
= 2{(6 × 4) + (4 × 3) + (3 × 6)} ; [a = 6, b = 4 এবং c = 3]
= 2(24 + 12 + 18)
= 2 × 54
= 108 বর্গ মিটার

∴ বাক্সটি রং করতে মোট খরচ হবে = 108 × 12.5 = 1350 টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৩ হলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ (৪ক/২) এবং (৩ক/২)

তাহলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × (৪ক/২)^২ : π × (৩ক/২)^২
= π × (২ক)^২ : π × ৯ক^২/৪
= π × ৪ক^২ : π × ৯ক^২/৪
= ৪ক^২ : ৯ক^২/৪
= ১৬ক^২: ৯ক^২
= ১৬ : ৯

এখানে,
অতিভূজ = 25m
ধরি,
ভূমি = 4a মিঃ
উচ্চতা = 4a এর 3/4
= 3a মিঃ
∴ (4a)² + (3a)² = 25
বা, 16a² + 9a² = 625
বা, 25a² = 625
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ ভূমি = 4 × 5
= 20m
∴ উচ্চতা = 3 × 5
= 15m
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 20 × 15
= 150 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 25 সে.মি., প্রস্থ, b = 20 সে.মি. এবং উচ্চতা, c = 15সে.মি.। 

আমরা জানি, 
আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca)
= 2{(25 × 20) + (20 × 15) + (15 × 25)}
= 2(500 + 300 + 375)
= 2350 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2350 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12√3​ মিটার। ঘনকটির ধার কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘনকটির ধার = ক মিটার 

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণ = √3 ক

প্রশ্নমতে, 
বা, 12√3 = √3 ক 
বা, ক = 12 
∴ ক = 12 

∴ ঘনকটির ধার = 12 মিটার।

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
5 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 5.2r একক
= 10r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 10r/2 একক
= 5r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(5r)² বর্গ একক
= 25πr² বর্গ একক
= 25 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬a^২
∴ ৬a^২ = ২৯৪
⇒ a^২ = ২৯৪/৬
⇒ a^২ = ৪৯
⇒ a = √৪৯
∴ a = ৭ মিটার
অর্থাৎ ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ মিটার

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√৩
⇒ কর্ণ = ৭ × √৩ মিটার
∴ কর্ণ = ৭√৩ মিটার

সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ইটের আকার ১০ সে.মি. × ৫ সে.মি. × ২ সে.মি। ১০০ সে.মি. × ৫০ সে.মি. × ২০ সে.মি. মাত্রাবিশিষ্ট একটি বাক্সে সর্বাধিক কতটি ইট রাখা যাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ইটের আয়তন = (১০ × ৫ × ২) ঘন সে.মি.
= ১০০ ঘন সে.মি. 

আবার, 
বাক্সের আয়তন = (১০০ × ৫০ × ২০) ঘন সে.মি.
= ১০০০০০ ঘন সে.মি. 

∴ ইট রাখা যাবে = ১০০০০০/১০০ টি 
= ১০০০ টি।

১ মিঃ বা, ১০০ সেঃমিঃ বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন = (১০০)^৩ = ১০০০০০০
আবার,
১০ সেঃমিঃ বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন (১০)^৩ = ১০০০ ঘনসেঃমিঃ
∴ ছোট ঘনকের সংখ্যা = ১০০০০০০/১০০০
= ১০০০টি

আমরা জানি,
ঘনকের একটি ধার a হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(৩a)
এখানে, a = ১ সে.মি 
কর্ণ = √(৩ × ১)
= √৩

ধরি,

বেলনের উচ্চতা h,
যেখানে ব্যাসার্ধ r = 3
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100
বা, πh = 100/2r = 100/(2 × 3) = 50/3
∴ আয়তন = πr²h
= r² × πh
= 3² × 50/3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 30 বর্গমিটার ও আয়তন 150 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
​আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের আয়তন = πr²h

দেওয়া আছে,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30 বর্গমিটার
অতএব, 2πrh = 30 ........ (1)

এবং
বেলনের আয়তন = 150 ঘনমিটার
অতএব, πr²h = 150 ........ (2)

এখন, সমীকরণ (2) কে সমীকরণ (1) দ্বারা ভাগ করে পাই:
(πr²h)/(2πrh) = 150/30
​বা, r/2 = 5
​বা, r = 5 × 2
∴ r = 10

সুতরাং, বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ হলো 10 মিটার।

প্রশ্ন: একটি রেফ্রিজারেটরের বরফ রাখার বাক্সের গভীরতা ১০ ইঞ্চি, উচ্চতা ৮ ইঞ্চি ও প্রস্থ ৪ ইঞ্চি। ২ ইঞ্চি প্রতি পাড়ের মোট কতটি বরফখণ্ড এতে ধরবে।

সমাধান:
রেফ্রিজারেটরের বরফ রাখার বাক্সের আয়তন = (গভীরতা × উচ্চতা × প্রস্থ)
= (১০ × ৮ × ৪) ঘনইঞ্চি
= ৩২০ ঘনইঞ্চি

১ টি বরফখণ্ডের আয়তন = (২ × ২ × ২) ঘনইঞ্চি = ৮ ঘনইঞ্চি 

 বরফখণ্ড ধরবে = ৩২০/৮ টি
= ৪০ টি

প্রশ্ন: ২০ সে. মি. ব্যাসের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করার সূত্র :
C = π × d

এখানে, ব্যাস d = ২০ সে. মি.
তাহলে, বৃত্তের পরিধি C = ৩.১৪ × ২০ সে. মি. 
= ৬২.৮ সে. মি. 

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
= 2π × 2 ×6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।