রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা 2r{(22 - 7)/7} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 সে.মি

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি ।

এখানে, r = 12 এবং s = 14
আমরা জানি, s = (πθr)/180
বা, θ =(180s)/rπ
= (180 × 14)/(3.1416 × 12)
= 66.84°

প্রশ্ন: y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
- সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c -এ, m নির্দেশ করে রেখার ঢাল।
- যা নির্ধারণ করে রেখাটি কতটা খাড়া বা তির্যক হবে।
- ঢাল m হলো Δy/Δx অর্থাৎ, x অক্ষের প্রতি একক পরিবর্তনের জন্য y অক্ষের পরিবর্তন।
- ঢাল যদি ধনাত্মক হয়, তবে রেখাটি উপরের দিকে উঠবে, আর ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামবে।

∠B যদি ∠A এর সম্পূরক কোণ হয়, তবে ∠A + ∠B = 180°
বা, 90° + ∠B = 180°
বা, ∠B = 180° - 90°
বা, ∠B = 90°

প্রশ্ন: (3, 7) এবং (9, 25) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (3, 7) , (x₂, y₂) = (9, 25)

আমরা জানি,
ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (25 - 7)/(9 - 3)
= 18/6
= 3

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকার পরিধি ২.২ মিটার। ৫.৫ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করতে চাকা কতবার আবর্তিত হবে?

সমাধান: 
গাড়ীর চাকার পরিধি = ২.২ মিটার

এবং ৫.৫ কি.মি. = (১০০০ × ৫.৫) মিটার = ৫৫০০ মিটার   ; [১ কি.মি. = ১০০০ মিটার] 

∴ ২.২ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ১ বার 
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ১/২.২ বার 
∴ ৫৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ৫৫০০/২.২ বার 
= ২৫০০ বার

সুতরাং, চাকাটি ২৫০০ বার আবর্তিত হবে।

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অনুপাত 2 : 3 : 4 হয়, তাহলে বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনকোণের যোগফল সবসময় 180° হয়।

ধরি,
কোণগুলো: 2x, 3x, 4x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

∴ ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ হবে 80°

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×5²
= 16 : 25

এখানে,
OA ব্যাসার্ধ এবং AB স্পর্শক
∴ OA ⊥ AB
ফলে ∠OAB = 90°
∴ ∠AOB = 90° - ∠ABO
= 90° - 35°
= 55°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে, দুইটি বৃত্তকেই স্পর্শ করে এরূপ সর্বোচ্চ কতটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান: 

- দুইটি বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সর্বোচ্চ ৪ টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস, ২r = ১৪ সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (১৪/২) সেন্টিমিটার
= 7 সেন্টিমিটার

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = ২πr 

∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = ২πr সেন্টিমিটার 
= ২ × (২২/৭) × ৭ সেন্টিমিটার 
= ৪৪ সেন্টিমিটার। 

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
∴ ক্ষেত্রফল = πr^২
২০% কমে ব্যাসার্ধ = ৮০r/১০০
= ৪r/৫
ক্ষেত্রফল = π(৪r/৫)²
= (১৬πr²)/২৫
ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় = πr^২ - (১৬/২৫)πr^২
= (৯/২৫)πr^২
ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = ((৯/২৫)πr^২ × ১০০)/πr^২
= ৩৬%

ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ = (১৮০ × (৭/১৮))° = ৭০°

বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি.
এবং কেন্দ্র হতে ঐ জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r² = (8√2 / 2)² + 2²
বা, r² = 32 + 4
বা, r = 6
সুতরাং, ব্যাসার্ধ ৬ সে.মি.

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 50° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
একটি কোণ = x হলে, 
কোণটির দ্বিগুণ হবে = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 50°
বা, x = 50°/2
∴ x = 25° 

∴  25° এর পূরক কোণ = (90° - 25°)
= 65°  ।

দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
3x - 4y = 12 এটিকে y = mx + c আকারে লিখলে,
⇒ - 4y = - 3x + 12
⇒ y = 3/4x - 3
এখানে x এর সহগ হলো রেখার ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ঠ্যঃ
১. x  ও y - এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
২. x²  এর সহগ = y² এর সহগ
৩. xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।
প্রশ্নের অপশন ক) বৃত্তের সমীকরণের সবগুলো শর্ত পুরণ করে।
তাই অপশন ক) সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

সমাধান:

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
 - বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: কেন্দ্র (- 2, 4) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের কেন্দ্র = (- 2, 4)
ব্যাসার্ধ = 5

আমরা জানি,  
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,
(x - h)² +(y - k)² = r²
⇒ (x + 2)² + {y - 4}² = 5² ; [এখানে h = - 2, k = 4 এবং r = 5]
∴ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° এবং সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°
সুতরাং সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পরিমাণ = (180° - 90°) = 90° = 40°+ 50°

ধরি,
ভূমি ৪a সেঃমিঃ
∴ লম্ব = ৪a × ৩/৪
= ৩a সেঃমি
∴ অতিভূজ = √{(৪a)^২ + (৩a)²}
                  = √(২৫a)²
                  = ৫a
∴ ৫a = ৩০
∴ a = ৬
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩a × ৪a
                  = ৬a²
                  = ৬ × ৬²
                  = ২১৬ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।

দুটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 4π বর্গমিটার।
বর্গের ক্ষেত্রফল = 4² = 16 বর্গমিটার।
∴ চিত্রের সাদা রং এর জায়গার ক্ষেত্রফল = 16 - 4πবর্গমিটার।

প্রশ্ন: 24 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 24/4 = 6 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 6√2
ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3√2)²
= π × 9 × 2
= 18π

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দু কয়টি থাকে? 

সমাধান:
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি। 
- রশ্মির ১ টি প্রান্তবিন্দু থাকে।