৫০১.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোন ধরনের সংখ্যা?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) অমূলদ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) অমূলদ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধি : ব্যাস = 2πr : 2r = π, যা একটি অমূলদ সংখ্যা।
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
PrepBank · পাতা ৬ / ৩২ · ৫০১–৬০০ / ৩,২১১
ঘ
৫০২.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার এবং পরিধি ৮ মিটার হলে বৃত্তের ব্যাস কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১০ মিঃ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১০ মিঃ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r হলে,
ক্ষেত্রফল, πr2 = ২০ …… (১)
পরিধি ২πr = ৮ …… (২)
১নং ÷ ২নং দ্বারা পাই,
πr2/২πr = ২০/৮
বা, r/২ = ৫/২
∴ r = ৫
∴ ব্যাস 2r =১০ মিটার।
ক্ষেত্রফল, πr2 = ২০ …… (১)
পরিধি ২πr = ৮ …… (২)
১নং ÷ ২নং দ্বারা পাই,
πr2/২πr = ২০/৮
বা, r/২ = ৫/২
∴ r = ৫
∴ ব্যাস 2r =১০ মিটার।
৫০৩.
x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-
সঠিক উত্তর: গ
সমকোণী
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
সমকোণী
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-
সমাধান:
x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1
আবার,
x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1
এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান:
x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1
আবার,
x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1
এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
৫০৪.
48 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
72π বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
72π বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 48 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 48 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 48/4 = 12 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 12√2
∴ ব্যাসার্ধ = 12√2/2 = 6√2
∴ ক্ষেত্রফল = π(6√2)2
= 72π বর্গমিটার
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 48 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 48/4 = 12 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 12√2
∴ ব্যাসার্ধ = 12√2/2 = 6√2
∴ ক্ষেত্রফল = π(6√2)2
= 72π বর্গমিটার
৫০৫.
নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?
সঠিক উত্তর: গ
x = 1/y
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
x = 1/y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?
সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) ⇒ y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ ⇒ x/a + y/b = 1
অপশন গুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়।
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) ⇒ y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ ⇒ x/a + y/b = 1
অপশন গুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়।
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
৫০৬.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৭° ডিগ্রি ও ৫৩°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সঠিক উত্তর: ক
ক) সমকোণী
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) সমকোণী
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ ১৮০° - (৩৭° + ৫৩°) = ৯০°।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
৫০৭.
কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 25π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির পরিধি কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 10π একক
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 10π একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 25π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির পরিধি কত?
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে এর ক্ষেত্রফল πr2
এবং পরিধি 2πr
প্রশ্নমতে,
πr2 = 25π
r2 = 25
r = 5
সুতরাং, পরিধি 2πr = 2π 5 = 10π একক
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে এর ক্ষেত্রফল πr2
এবং পরিধি 2πr
প্রশ্নমতে,
πr2 = 25π
r2 = 25
r = 5
সুতরাং, পরিধি 2πr = 2π 5 = 10π একক
৫০৮.
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১ সমকোণ হলে একটিকে অপরটির ____ বলে।
সঠিক উত্তর: ঘ
পূরক কোণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
পূরক কোণ
ব্যাখ্যা
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৫০৯.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) x² + y² = 5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) x² + y² = 5
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) ও ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ x² + y² = r²
x² + y² = (√5)² হলো বৃত্তের সমীকরণ।
৫১০.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x = ?
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x = ?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 126°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 126°
ব্যাখ্যা
বৃত্তস্থ কোণ ∠x এর জন্য কেন্দ্রস্থ কোণ = 360° - 108° = 252°
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ এর অর্ধেক।
সুতরাং ∠x = 252°/2 = 126°
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ এর অর্ধেক।
সুতরাং ∠x = 252°/2 = 126°
৫১১.
একই সরল রেখায় অবস্থিত নয় এমন নূন্যতম কয়টি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়?
সঠিক উত্তর: খ
৩
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই সরল রেখায় অবস্থিত নয় এমন নূন্যতম কয়টি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়?
সমাধান:
একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন নূন্যতম তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়। এই তিনটি বিন্দুকে 'অ-সমরৈখিক'(non-collinear) বিন্দু বলা হয়, এবং এই তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে শুধুমাত্র একটি এবং একটিই নির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
একটি বিন্দু হলে পয়েন্ট, দুইটি বন্ধু হলে সরলরেখা আর দুইয়ের অধিক হলে বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
৫১২.
∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ কোনটি?
সঠিক উত্তর: গ
গ) ∠PQD
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ∠PQD
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ কোনটি?
সমাধান:
একান্তর কোণ: দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কোণ দ্বয় সমান হয়। একে একান্তর কোণ বলে।
এখানে AB ও CD রেখা সমান্তরাল এবং XY এদের ছেদক।
∠APQ এবং ∠PQD, XY ছেদকের বিপরীত পাশে এবং AB ও CD রেখার ভেতরে অবস্থিত।
সুতরাং, ∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ ∠PQD
সমাধান:
একান্তর কোণ: দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কোণ দ্বয় সমান হয়। একে একান্তর কোণ বলে।
এখানে AB ও CD রেখা সমান্তরাল এবং XY এদের ছেদক।
∠APQ এবং ∠PQD, XY ছেদকের বিপরীত পাশে এবং AB ও CD রেখার ভেতরে অবস্থিত।
সুতরাং, ∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ ∠PQD
৫১৩.
কোনো বৃত্তের ব্যাস ১৮ সে.মি.। বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
১৬২ বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
১৬২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস ১৮ সে.মি.। বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
তাহলে,
বৃত্তের ব্যাস হবে বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান।
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)২
= (১/২) × ১৮ × ১৮
= ১৬২ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
তাহলে,
বৃত্তের ব্যাস হবে বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান।
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)২
= (১/২) × ১৮ × ১৮
= ১৬২ বর্গ সে.মি.
৫১৪.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: ক
130°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
130°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
সমাধান:
ধরি,
দুটি সম্পূরক কোণ যথাক্রমে 13x এবং 5x
আমরা জানি,
দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল 180°
প্রশ্নমতে,
⇒ 13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°
∴ বৃহত্তম কোণ = 13x = 13 × 10° = 130°
সমাধান:
ধরি,
দুটি সম্পূরক কোণ যথাক্রমে 13x এবং 5x
আমরা জানি,
দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল 180°
প্রশ্নমতে,
⇒ 13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°
∴ বৃহত্তম কোণ = 13x = 13 × 10° = 130°
৫১৫.
চিত্রে ∠CAD এর মান কত?
সঠিক উত্তর: গ
110°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
110°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠CAD এর মান কত?
সমাধান:
চিত্রানুসারে,
△ABC এ ∠ABC=30° এবং ∠ACB=80°
BA- কে D পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।
তাহলে, ∠CAD হলো ত্রিভুজটির একটি বহিঃকোণ।
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ তার বিপরীত দুটি অন্তঃকোণের যোগফলের সমান।
∴ ∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= 30° + 80°
= 110°
সমাধান:
চিত্রানুসারে,
△ABC এ ∠ABC=30° এবং ∠ACB=80°
BA- কে D পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।
তাহলে, ∠CAD হলো ত্রিভুজটির একটি বহিঃকোণ।
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ তার বিপরীত দুটি অন্তঃকোণের যোগফলের সমান।
∴ ∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= 30° + 80°
= 110°
৫১৬.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ১০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?
সঠিক উত্তর: গ
১৯%
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
১৯%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ১০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২
১০% কমলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে = r - r এর ১০%
= r - ০.১r
= ০.৯r
ক্ষেত্রফল হবে = π(০.৯r)২
= ০.৮১πr২
∴ ক্ষেত্রফল কমে = πr২ - ০.৮১πr২
= ০.১৯πr২
∴ ক্ষেত্রফল ১৯% কমে।
৫১৭.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?
সঠিক উত্তর: ক
৩০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৩০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?
সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
তাহলে, একটি কোণ = ৩ক
তৃতীয় কোণ = ক + ৩০°
প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°
∴ দ্বিতীয় কোণটির পরিমাণ ৩০°।
সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
তাহলে, একটি কোণ = ৩ক
তৃতীয় কোণ = ক + ৩০°
প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°
∴ দ্বিতীয় কোণটির পরিমাণ ৩০°।
৫১৮.
২৮° কোণের পূরক কোণ কোনটি?
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৬২°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৬২°
ব্যাখ্যা
দুটি কোণের যোগফল ৯০° হলে তাকে বলে পূরক কোণ। তাই একটি কোণের মান ২৮° হলে তার পূরক কোণ হবে ৯০ - ২৮ = ৬২°
৫১৯.
∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 139° হলে, ∠B = কত?
সঠিক উত্তর: খ
41°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
41°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 139° হলে, ∠B = কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ
∠A + ∠B = 180°
139° + ∠B = 180°
∠B =180° - 139°
∠B = 41°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ
∠A + ∠B = 180°
139° + ∠B = 180°
∠B =180° - 139°
∠B = 41°
৫২০.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমিঃ এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৫.৫
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৫.৫
ব্যাখ্যা
ব্যাসার্ধ r = ৭ সেমিঃ
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোন = ৪৫°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
আমরা জানি,
S = πr(বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোন)/180°
= (২২/৭ x ৭ x ৪৫) / ১৮০°
= ৫.৫ সেমিঃ
৫২১.
দুইটি পরস্পর পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
সঠিক উত্তর: ক
ক) 27°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 27°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি পরস্পর পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, তাদেরকে পরস্পরের পূরক কোণ বলে।
ধরি, একটি কোণ x ও অপরটি 90° - x
প্রশ্নমতে,
x/(90° - x) = 3/7
⇒ 7x = 3 (90° - x)
⇒ 7x = 270° - 3x
⇒ 7x + 3x = 270°
⇒ 10x = 270°
∴ x = 270°/10
= 27°
অপরটি = 90° - 27°
= 63°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, তাদেরকে পরস্পরের পূরক কোণ বলে।
ধরি, একটি কোণ x ও অপরটি 90° - x
প্রশ্নমতে,
x/(90° - x) = 3/7
⇒ 7x = 3 (90° - x)
⇒ 7x = 270° - 3x
⇒ 7x + 3x = 270°
⇒ 10x = 270°
∴ x = 270°/10
= 27°
অপরটি = 90° - 27°
= 63°
৫২২.
বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?
সঠিক উত্তর: গ
জ্যা
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
জ্যা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?
সমাধান:
- একটি বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেককে ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
সমাধান:
- একটি বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেককে ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
৫২৩.
একটি কোন তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৬ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৫৮°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৫৮°
ব্যাখ্যা
কোনটির মান x হলে,
x+(x-26) = 90
⇒ 2x = 116
∴ x = 58°
৫২৪.
কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক আঁকা যেতে পারে?
সঠিক উত্তর: ক
ক) ২টি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) ২টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক আঁকা যেতে পারে?
সমাধান:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
সমাধান:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
৫২৫.
১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
৭৫√৩ বর্গ সে.মি
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৭৫√৩ বর্গ সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি।
∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √৩ × ১০ = ১০√৩ সে.মি।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
∴ ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১০√৩)২
= (√৩/৪) × ১০০ × ৩
= (√৩/৪) × ৩০০
= ৭৫√৩ বর্গ সে.মি।
৫২৬.
একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ ফুট হলে কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
৬ ফুট
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৬ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ ফুট হলে কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১২ফুট
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২/২ = ৬ ফুট
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১২ফুট
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২/২ = ৬ ফুট
৫২৭.
৬ সে.মি এবং ১০ সে.মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব -
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৪ cm
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৪ cm
ব্যাখ্যা
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC1 = ৬ cm
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC2 = ১০ cm
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C1C2 = AC2 - AC1
= ১০ - ৬ = ৪ cm
৫২৮.
প্রদত্ত চিত্রে, ∠POR ও ∠QOR পরস্পর সম্পূরক কোণ যেখানে ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে, x° এর মান কত?
সঠিক উত্তর: গ
28°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
28°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে, ∠POR ও ∠QOR পরস্পর সম্পূরক কোণ যেখানে ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে, x° এর মান কত?
সমাধান:
যেহেতু, POQ একটি সরলরেখা।
∠POR + ∠QOR = 180°
বা, (3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
বা, 7x° - 16° = 180°
বা, 7x° = 180° + 16°
বা, 7x° = 196°
∴ x° = 28°
সমাধান:
যেহেতু, POQ একটি সরলরেখা।
∠POR + ∠QOR = 180°
বা, (3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
বা, 7x° - 16° = 180°
বা, 7x° = 180° + 16°
বা, 7x° = 196°
∴ x° = 28°
৫২৯.
x2 + (y - 2)2 = 7, বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?
সঠিক উত্তর: ক
(0, 2)
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
(0, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + (y - 2)2 = 7, বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?
সমাধান:
(a, b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 + (y - 2)2 = 7 সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
x2 + (y - 2)2 = 7
⇒ (x - 0)2 + (y - 2)2 = (√7)2
অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (0, 2) ও ব্যাসার্ধ = √7
সমাধান:
(a, b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 + (y - 2)2 = 7 সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
x2 + (y - 2)2 = 7
⇒ (x - 0)2 + (y - 2)2 = (√7)2
অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (0, 2) ও ব্যাসার্ধ = √7
৫৩০.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সঠিক উত্তর: ঘ
৯০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° ।
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° ।
৫৩১.
দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
9 সে.মি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
9 সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 5 = 9 সে.মি
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 5 = 9 সে.মি
৫৩২.
x - y + 1 = 0 রেখার ঢাল কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1
ব্যাখ্যা
রেখার ঢাল = - (x এর সহগ/y এর সহগ)
= - (1/-1)
= 1
৫৩৩.
০.৫ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য কত একক?
সঠিক উত্তর: ঘ
৩.১৪১৬ একক
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৩.১৪১৬ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.৫ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য কত একক?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম চাপ হলো ঐ বৃত্তের পরিধি।
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = ০.৫ একক
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr = ২ × ৩.১৪১৬ × ০.৫
= ৩.১৪১৬
∴ বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য ৩.১৪১৬ একক।
৫৩৪.
রশ্মির কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
সঠিক উত্তর: ক
১ টি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
১ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।
রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।
রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
৫৩৫.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
126°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
126°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∠BDC কোণটি বৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, ∠BDC বৃত্তস্থ কোণটির জন্য
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BDC
∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 360° - স্থূলকোণ ∠BOC
= 360° - 108°
= 252°
∠BDC = (1/2) × 252°
∴ ∠x = 126°
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∠BDC কোণটি বৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, ∠BDC বৃত্তস্থ কোণটির জন্য
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BDC
∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 360° - স্থূলকোণ ∠BOC
= 360° - 108°
= 252°
∠BDC = (1/2) × 252°
∴ ∠x = 126°
৫৩৬.
একটি রেখাংশের কয়টি প্রান্তবিন্দু থাকে?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ২টি
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ২টি
ব্যাখ্যা
সরলরেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই।
রশ্মির প্রান্তবিন্দু একটি।
রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।
৫৩৭.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০° হলে অপর যেকোনো একটি কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৫০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০° হলে অপর যেকোনো একটি কোণের মান কত?
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে
ধরি
অপর যেকোনো একটি কোণের মান = ক
প্রশ্নমতে
ক + ক + ৮০° = ১৮০°
বা, ২ক = ১৮০° - ৮০°
বা, ২ক = ১০০°
ক = ৫০°
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে
ধরি
অপর যেকোনো একটি কোণের মান = ক
প্রশ্নমতে
ক + ক + ৮০° = ১৮০°
বা, ২ক = ১৮০° - ৮০°
বা, ২ক = ১০০°
ক = ৫০°
৫৩৮.
বিন্দুর মাত্রা কয়টি?
সঠিক উত্তর: গ
০
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বিন্দুর মাত্রা কয়টি?
সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা-
i. সমরেখ বিন্দু,
ii. অসমরেখ বিন্দু এবং
iii. সমবিন্দু।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা-
i. সমরেখ বিন্দু,
ii. অসমরেখ বিন্দু এবং
iii. সমবিন্দু।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
৫৩৯.
চিত্রে, PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠LRS = কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 50°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 50°
ব্যাখ্যা
৫৪০.
একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
48 গুণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
48 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস ছয়গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 12r) = 14r
∴ ব্যাসার্ধ = 14r/2 = 7r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(7r)2 = 49πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr2 - πr2 = 48πr2
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস ছয়গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 12r) = 14r
∴ ব্যাসার্ধ = 14r/2 = 7r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(7r)2 = 49πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr2 - πr2 = 48πr2
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
৫৪১.
দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য ____
সঠিক উত্তর: ক
সমান
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
সমান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য____
সমাধান:
দুটি সমান্তর রেখা বলতে বোঝায় এমন দুইটি সরলরেখা, যেগুলো একে অপরকে কখনও ছেদ করে না এবং সর্বত্র তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব অপরিবর্তিত থাকে।
- যেহেতু রেখাদ্বয় সমান্তর, তাই তাদের মধ্যে টানা যেকোনো লম্বের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হবে।
- অর্থাৎ, প্রতিটি বিন্দু থেকে অপর রেখায় টানা লম্বের দৈর্ঘ্য স্থির থাকে এবং এখানে তা ৬ সেমি।
∴ দুটি সমান্তর রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।
৫৪২.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?
সঠিক উত্তর: গ
10 সে. মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
10 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?
সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্রে থেকে কোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যায়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
দেওয়া আছে,
AD = 5 সে. মি.
যেহেতু AB জ্যায়টি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে, তাই
∴ AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 সে. মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্রে থেকে কোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যায়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
দেওয়া আছে,
AD = 5 সে. মি.
যেহেতু AB জ্যায়টি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে, তাই
∴ AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 সে. মি.
৫৪৩.
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ২
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
সমাধান:
চিত্রে দেখানো হয়েছে, একটি বহিস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পারা যায়।
সমাধান:
চিত্রে দেখানো হয়েছে, একটি বহিস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পারা যায়।
৫৪৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 15 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: গ
235.71 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
235.71 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 15 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =15 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°
আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr2
= (120°/360°) × π × (15)2
= (1/3) × (22/7) × 225
= 1650/7
≈ 235.71 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =15 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°
আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr2
= (120°/360°) × π × (15)2
= (1/3) × (22/7) × 225
= 1650/7
≈ 235.71 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
৫৪৫.
কোনটি ৩৫ ডিগ্রি কোণ এর পূরক কোণ?
সঠিক উত্তর: ক
৫৫ ডিগ্রি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৫৫ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি ৩৫ ডিগ্রি কোণ এর পূরক কোণ?
সমাধান:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
সমাধান:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
৫৪৬.
দুটি পরস্পর পূরক কোণের মধ্যে একটি ৩৫° হলে অপরটি কত?
সঠিক উত্তর: ক
ক) ৫৫°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) ৫৫°
ব্যাখ্যা
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
৫৪৭.
কোন বৃত্তের পরিধি 23 সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?
সঠিক উত্তর: খ
খ) 3.66
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 3.66
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিধি 23 সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি 2πr = 23
r = 23/2π
∴ r = 3.660
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি 2πr = 23
r = 23/2π
∴ r = 3.660
৫৪৮.
১৭ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ১৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
সঠিক উত্তর: খ
১৬ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
১৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৭ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ১৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
OA২ = OD২ + AD২
⇒ ১৭২ = ১৫২ + AD২
⇒ AD২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ AD২ = ৬৪
∴ AD = ৮ সে.মি.
∴ জ্যা, AB = (৮ × ২) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.।
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
OA২ = OD২ + AD২
⇒ ১৭২ = ১৫২ + AD২
⇒ AD২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ AD২ = ৬৪
∴ AD = ৮ সে.মি.
∴ জ্যা, AB = (৮ × ২) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.।
৫৪৯.
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -
সঠিক উত্তর: গ
১৫০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
১৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৭৫° × ২
= ১৫০°
∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৫০°।
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৭৫° × ২
= ১৫০°
∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৫০°।
৫৫০.
কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৫০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
৬৫°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৬৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৫০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৫০°/২ = ২৫°
আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (৯০°) হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
∴ ২৫° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ২৫°
= ৬৫°
অতএব, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান হলো ৬৫°।
৫৫১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে x, x/2, 3x/2 বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সঠিক উত্তর: ক
ক) 90°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে x, x/2, 3x/2 বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি = 180°
প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (3x/2) = 180°
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180°
⇒ 6x/2 = 180°
⇒ 3x = 180°
x = 60°
বৃহত্তম কোণ = (3 × 60°)/2 = 90°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি = 180°
প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (3x/2) = 180°
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180°
⇒ 6x/2 = 180°
⇒ 3x = 180°
x = 60°
বৃহত্তম কোণ = (3 × 60°)/2 = 90°
৫৫২.
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯ : ২৫ হলে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত হবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
৩ : ৫
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৩ : ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯ : ২৫ হলে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ক ও খ
প্রশ্নমতে,
πক২ : πখ২ = ৯ : ২৫
ক২ : খ২ = ৯ : ২৫
ক : খ = ৩ : ৫
সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ক ও খ
প্রশ্নমতে,
πক২ : πখ২ = ৯ : ২৫
ক২ : খ২ = ৯ : ২৫
ক : খ = ৩ : ৫
৫৫৩.
90° - x° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) 90° + x°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 90° + x°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 90° - x° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
90° - x° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (90° - x°)
= 90° + x°
সমাধান:
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
90° - x° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (90° - x°)
= 90° + x°
৫৫৪.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৪৪ সে.মি. ও ১৫৪ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
সঠিক উত্তর: খ
১৪ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
১৪ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৪৪ সে.মি. ও ১৫৪ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr২ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr২/২πr = ১৫৪/৪৪
⇒ r/২ = ১৫৪/৪৪
⇒ r = (১৫৪ × ২)/৪৪ = ৭
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ৭)
= ১৪ সে.মি.
সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr২ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr২/২πr = ১৫৪/৪৪
⇒ r/২ = ১৫৪/৪৪
⇒ r = (১৫৪ × ২)/৪৪ = ৭
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ৭)
= ১৪ সে.মি.
৫৫৫.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩৫° হলে ঐ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?
সঠিক উত্তর: খ
৬৭.৫°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৬৭.৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩৫° হলে ঐ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পরিধিস্থ কোণ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ= (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১৩৫°
= ৬৭.৫°
সমাধান:
আমরা জানি,
পরিধিস্থ কোণ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ= (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১৩৫°
= ৬৭.৫°
৫৫৬.
একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশ সমান। কোণটির মান কত?
সঠিক উত্তর: ক
45°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
45°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশ সমান। কোণটির মান কত?
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
কোণটির সম্পূরক কোণ = (180°- x)
প্রশ্নমতে,
x = (180°- x)/3
⇒ 3x = 180°- x
⇒ 4x = 180°
∴ x = 45°
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
কোণটির সম্পূরক কোণ = (180°- x)
প্রশ্নমতে,
x = (180°- x)/3
⇒ 3x = 180°- x
⇒ 4x = 180°
∴ x = 45°
৫৫৭.
৮৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৯৫°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৯৫°
ব্যাখ্যা
সম্পূরক কোনদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০°-৮৫° = ৯৫°
৫৫৮.
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা কে বলা হয়?
সঠিক উত্তর: ক
ব্যাস
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ব্যাস
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা কে বলা হয়?
সমাধান:
• যদি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস (Diameter) বলা হয়।
- বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা কে ব্যাস বলা হয়।
- বৃত্তের জ্যা (Chord) হলো একটি রেখাংশ যা বৃত্তের দুটি বিন্দু সংযুক্ত করে।
- ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
অন্যান্য অপশনগুলো:
- বৃত্তচাপ (Arc) = বৃত্তের অংশ।
- ব্যাসার্ধ (Radius) = কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব।
- পরিধি (Circumference) = বৃত্তের চারপাশের দৈর্ঘ্য।
উৎস: NCTB, সাধারণ গনিত, নবম-দশম শ্রেনি।
৫৫৯.
নিচের কোনটি একটি সরলরেখার সমীকরণ?
সঠিক উত্তর: ঘ
x/y = 3
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
x/y = 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি সরলরেখার সমীকরণ?
সমাধান:
দেওয়া আছে, x/y = 3
⇒ x = 3y
⇒ x - 3y = 0
এটি ax + by + c = 0 অথবা y = mx আকারের একটি সমীকরণ, যা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। এখানে ধ্রুবক পদ c = 0 হওয়ায় এটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
অন্যান্য অপশন:
x2 + y2 = 9 ; চলকের ঘাত 2 হওয়ায় এটি একটি বৃত্তের (Circle) সমীকরণ।
xy = 5 ; চলকদ্বয় গুণফল আকারে থাকায় এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্ত (Rectangular Hyperbola)।
y = 2/x ; চলক হরে থাকায় এর ঘাত ঋণাত্মক (- 1) হয়ে যায়, যা একটি অধিবৃত্ত বা বক্ররেখা নির্দেশ করে।
৫৬০.
একটি সরলরেখার প্রান্ত বিন্দু কয়টি?
সঠিক উত্তর: ক
ক) ০
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) ০
ব্যাখ্যা
সরলরেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নাই
রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু আছে
এবং রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।
রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু আছে
এবং রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।
৫৬১.
একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
৬০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?
সমাধান:
একটি কোণ y হলে, তার সম্পূরক কোণ = 180° - y
প্রশ্নানুসারে,
y = (180° - y)/2
বা, 2y = 180° - y
বা, 2y + y = 180°
বা, 3y = 180°
∴ y = 60°
সমাধান:
একটি কোণ y হলে, তার সম্পূরক কোণ = 180° - y
প্রশ্নানুসারে,
y = (180° - y)/2
বা, 2y = 180° - y
বা, 2y + y = 180°
বা, 3y = 180°
∴ y = 60°
৫৬২.
AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (3x + 20)° এবং ∠BOC = (4x - 36)°। x এর মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
28°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
28°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (3x + 20)° এবং ∠BOC = (4x - 36)°। x এর মান কত?
সমাধান:
প্রশ্নমতে,
3x° + 20° + 4x° - 36° = 180°
⇒ 7x° = 180° + 16°
⇒ x° = (196/7)°
= 28°
সমাধান:
প্রশ্নমতে,
3x° + 20° + 4x° - 36° = 180°
⇒ 7x° = 180° + 16°
⇒ x° = (196/7)°
= 28°
৫৬৩.
নিচে দেওয়া চিত্রে, x এর মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) 18°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 18°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ = 90°
সুতরাং বাকি দুটি কোণের সমষ্টি = 2x + 3x = 90°
Or, 5x = 90°
Or, x = 18°
৫৬৪.
৩৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সঠিক উত্তর: ক
৫৫°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৩৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫°
= ৫৫°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৩৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫°
= ৫৫°
৫৬৫.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোন বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পর সমান হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
সঠিক উত্তর: খ
খ) OE = OF
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) OE = OF
ব্যাখ্যা
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী ।
মনে করি, এ বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ও CD দুইটি জ্যা। O থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OE ও OF লম্ব।
তাহলে OE ও OF কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে AB ও CD জ্যা এর দূরত্ব নির্দেশ করে।
OE = OF
৫৬৬.
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ -
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৪০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ -
সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে।
∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ = ৮০° /২
= ৪০°
সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে।
∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ = ৮০° /২
= ৪০°
৫৬৭.
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?
সঠিক উত্তর: ক
৩৬°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৩৬°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই চাপের উপর দন্ডায়মান কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃহস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ, বৃত্তস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
এখানে,
কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২°
∴ বৃত্তস্থ কোণ = (১/২) × ৭২°
= ৩৬°
৫৬৮.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার ও পরিধি 16π মিটার হলে বৃত্তটির ব্যাস কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
16 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
16 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার ও পরিধি 16π মিটার হলে বৃত্তটির ব্যাস কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 16π মিটার
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = 64π বর্গমিটার
শর্তমতে,
πr2/2πr = 64π/16π
বা, r/2 = 4
∴ r = 8
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r = (2 × 8) মিটার
= 16 মিটার।
৫৬৯.
দুইটি সরলরেখা পরস্পর সমাপতিত হলে সমাধান সংখ্যা কত?
সঠিক উত্তর: ক
অসংখ্য
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
অসংখ্য
ব্যাখ্যা
- দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে কোন বিন্দুতে ছেদ করবে না।
- দুইটি সরলরেখা আড়াআড়ি ভাবে সর্বোচ্চ ১ টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
- দুইটি সরলরেখা পরস্পরের উপর আপতিত হলে উক্ত রেখা দুইটি অসংখ্য বিন্দুতে মিলিত হয়।
একটি সরলরেখার উপর আর একটি সরলরেখা আপতিত হলে সরলরেখা দুইটি একই হয়ে যায়।
এরুপ ক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায়।
এক্ষেত্রে , অপশন ক) সঠিক উত্তর।
- দুইটি সরলরেখা আড়াআড়ি ভাবে সর্বোচ্চ ১ টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
- দুইটি সরলরেখা পরস্পরের উপর আপতিত হলে উক্ত রেখা দুইটি অসংখ্য বিন্দুতে মিলিত হয়।
একটি সরলরেখার উপর আর একটি সরলরেখা আপতিত হলে সরলরেখা দুইটি একই হয়ে যায়।
এরুপ ক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায়।
এক্ষেত্রে , অপশন ক) সঠিক উত্তর।
৫৭০.
বৃত্তের একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের-
সঠিক উত্তর: খ
খ) দ্বিগুণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) দ্বিগুণ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ। যেমনঃ কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ ১১০° হলে বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ = ১১০/২ = ৫৫°।
৫৭১.
x2 - 289 + y2 = 0 হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 17
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 17
ব্যাখ্যা
x2 - 289 + y2 = 0
⇒x2 + y2 = 289
⇒x2 + y2 = 172
অর্থাৎ, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 17 একক।
⇒x2 + y2 = 289
⇒x2 + y2 = 172
অর্থাৎ, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 17 একক।
৫৭২.
6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
72 বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
72 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = (6 × 2) = 12 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × x সে.মি.
প্রশ্নমতে,
√2 × x = 12
⇒ x = 12/√2
∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (12/√2)2 বর্গ সে.মি.
= 144/2 বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি.
৫৭৩.
5x + 2y - 10 = 0 রেখাটি y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-
সঠিক উত্তর: ঘ
(0, 5)
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
(0, 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5x + 2y - 10 = 0 রেখাটি y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-
সমাধান:
প্রদত্তরেখা 5x + 2y - 10 = 0
y -অক্ষের ছেদবিন্দুতে x = 0
∴ 2y - 10 = 0
⇒ 2y = 10
∴ y = 5
∴ y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (0, 5)
সমাধান:
প্রদত্তরেখা 5x + 2y - 10 = 0
y -অক্ষের ছেদবিন্দুতে x = 0
∴ 2y - 10 = 0
⇒ 2y = 10
∴ y = 5
∴ y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (0, 5)
৫৭৪.
এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলা হয়?
সঠিক উত্তর: গ
স্থূলকোণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
স্থূলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলা হয়?
সমাধান:
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
অন্যদিকে,
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
সমাধান:
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
অন্যদিকে,
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৫৭৫.
অর্ধ বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
৯০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধ বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
বা, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
∴ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = ৯০°
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
বা, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
∴ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = ৯০°
৫৭৬.
2r একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের -
সঠিক উত্তর: ক
ক) পরিধি 4πr একক
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) পরিধি 4πr একক
ব্যাখ্যা
2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের -
(i) পরিধি = 2 × π × ব্যাসার্ধ = 2 × π × 2r = 4πr একক
(ii) ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 2r = 4r একক
(iii) ক্ষেত্রফল = π × (ব্যাসার্ধ )2 = π × (2r)2 = 4πr2 একক
(i) পরিধি = 2 × π × ব্যাসার্ধ = 2 × π × 2r = 4πr একক
(ii) ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 2r = 4r একক
(iii) ক্ষেত্রফল = π × (ব্যাসার্ধ )2 = π × (2r)2 = 4πr2 একক
৫৭৭.
y = x2 বক্ররেখার (2, 3) বিন্দুতে ঢাল -
সঠিক উত্তর: গ
গ) 4
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 4
ব্যাখ্যা
dy/dx = d/dx(x2) = 2x
∴ (2, 3) বিন্দুতে dy/dx = 2.2 = 4
৫৭৮.
একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৫০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?
সঠিক উত্তর: খ
৩০০ ডিগ্রি
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৩০০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৫০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৫০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৫০/৬০ বার
= ৫/৬ বার
আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
∴ গাড়ির চাকা ৫/৬ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (৫/৬)} ডিগ্রি
=৩০০ ডিগ্রি
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৫০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৫০/৬০ বার
= ৫/৬ বার
আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
∴ গাড়ির চাকা ৫/৬ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (৫/৬)} ডিগ্রি
=৩০০ ডিগ্রি
৫৭৯.
যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ৪০° হয় তবে, তার কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত হবে ?
সঠিক উত্তর: ঘ
৮০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ৪০° হয় তবে, তার কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত হবে ?
সমাধান:
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।
কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ
কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
দেওয়া আছে,
বৃত্তস্থ কোণ = ৪০°
∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × বৃত্তস্থ কোণ
= ২ × ৪০°
= ৮০°
সমাধান:
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।
কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ
কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
দেওয়া আছে,
বৃত্তস্থ কোণ = ৪০°
∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × বৃত্তস্থ কোণ
= ২ × ৪০°
= ৮০°
৫৮০.
একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযােজক রেখাকে বলে?
সঠিক উত্তর: খ
খ) জ্যা
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) জ্যা
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
৫৮১.
ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভূজ যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র; তবে ∠BOC = ?
সঠিক উত্তর: গ
120°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
120°
ব্যাখ্যা
ΔABC সমবাহু ত্রিভূজ
∴ ∠A = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ ∠BOC = বৃত্তস্থ 2 ∠A
= 2 × 60°
= 120°
৫৮২.
এক বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
অসংখ্য
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?
সমাধান:
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
সমাধান:
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
৫৮৩.
প্রবৃদ্ধ কোণের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
সঠিক উত্তর: ক
ক) এর মান ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) এর মান ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট
ব্যাখ্যা
যে কোনের মান ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রি থেকে কম, তাকে প্রবৃদ্ধ কোন বলা হয়।
৫৮৪.
একটি বৃত্তের সবচেয়ে বড় জ্যা টি এর …………
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) খ ও গ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) খ ও গ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। তাহলে ইহা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হবে। এবং পরিধিঃ π = πDঃ π = D = ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা।
৫৮৫.
একটি কোণ তার পূরক কোণের ৮ গুণ। কোণটি কত?
সঠিক উত্তর: গ
৮০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণের ৮ গুণ। কোণটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
এর পূরক কোণ= ৯০ - x
প্রশ্নমতে,
x = ৮ (৯০ - x)
⇒ x = ৭২০ - ৮x
⇒ ৯x = ৭২০
⇒ x = ৭২০/৯
∴x = ৮০°
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
এর পূরক কোণ= ৯০ - x
প্রশ্নমতে,
x = ৮ (৯০ - x)
⇒ x = ৭২০ - ৮x
⇒ ৯x = ৭২০
⇒ x = ৭২০/৯
∴x = ৮০°
৫৮৬.
একটি 15 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি বরাবর একবার ঘুরে আসলে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করা হবে?
সঠিক উত্তর: খ
94.25 সেমি (প্রায়)
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
94.25 সেমি (প্রায়)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 15 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি বরাবর একবার ঘুরে আসলে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করা হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 15 সেমি
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক
= (2 × 3.1416 × 15) সেমি
= 94.2480 সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি 94.25 সেমি (প্রায়)।
অর্থাৎ, একবার পুরো পরিধি ঘুরে আসলে 94.25 সেমি দূরত্ব অতিক্রম করা হবে।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 15 সেমি
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক
= (2 × 3.1416 × 15) সেমি
= 94.2480 সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি 94.25 সেমি (প্রায়)।
অর্থাৎ, একবার পুরো পরিধি ঘুরে আসলে 94.25 সেমি দূরত্ব অতিক্রম করা হবে।
৫৮৭.
২৫৭° কোণকে কী কোণ বলে?
সঠিক উত্তর: ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৫৭° কোণকে কী কোণ বলে?
সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৫৭° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৫৭° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
৫৮৮.
নিচের কোনটি উপবৃত্তের সমীকরণ?
সঠিক উত্তর: ক
ক) (x2/32) + (y2/42) = 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) (x2/32) + (y2/42) = 1
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ, (x2/a2) + (y2/b2) = 1
এখানে,
x2/32 + y2/42 = 1 [যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ]
যেখানে
a = 3 এবং b = 4
উপবৃত্তের সমীকরণ, (x2/a2) + (y2/b2) = 1
এখানে,
x2/32 + y2/42 = 1 [যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ]
যেখানে
a = 3 এবং b = 4
৫৮৯.
চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆PQR অন্তর্লিখিত। ∠x = 114° হলে, ∠y = কত?
চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆PQR অন্তর্লিখিত। ∠x = 114° হলে, ∠y = কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 33°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 33°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆PQR অন্তর্লিখিত। ∠x = 114° হলে, ∠y = কত?
সমাধান:
ΔQOR এর বহিঃস্থ ∠POQ = ∠OQR + ∠ORQ
এখন, ∠POQ + ∠x = 180°
⇒ ∠OQR + ∠OQR + ∠x = 180°
⇒ ∠y + ∠y = 180° - 114°
⇒ 2∠y = 66°
∴ ∠y = 33°
চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆PQR অন্তর্লিখিত। ∠x = 114° হলে, ∠y = কত?
সমাধান:
ΔQOR এর বহিঃস্থ ∠POQ = ∠OQR + ∠ORQ
এখন, ∠POQ + ∠x = 180°
⇒ ∠OQR + ∠OQR + ∠x = 180°
⇒ ∠y + ∠y = 180° - 114°
⇒ 2∠y = 66°
∴ ∠y = 33°
৫৯০.
নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?
সঠিক উত্তর: ঘ
২৭০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
২৭০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?
সমাধান:
• ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় সূক্ষ্মকোণ।
• ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় স্থূলকোণ।
• ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় প্রবৃদ্ধ কোণ।
• একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।
সুতরাং, ২৭০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
সমাধান:
• ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় সূক্ষ্মকোণ।
• ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় স্থূলকোণ।
• ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় প্রবৃদ্ধ কোণ।
• একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।
সুতরাং, ২৭০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
৫৯১.
দুটি সরলরেখা একটি অপরটির উপর উলম্ব অবস্থায় থাকবে, যদি তাদের Slop মানের পার্থক্য হয়-
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) None of these
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) None of these
ব্যাখ্যা
কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:
1. যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে θ = 0° এবং m = = tan 0° = 0 অর্থাৎ x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল শূন্য (0)
2. যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে θ = 90° এবং m = tan 90° = 0 অর্থাৎ y-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সংজ্ঞায়িত নয় ।
3. দুইটি সরলরেখার ঢাল সমান হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল হবে।
4. দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1 হবে অর্থাৎ m1m2 = - 1 হবে।
1. যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে θ = 0° এবং m = = tan 0° = 0 অর্থাৎ x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল শূন্য (0)
2. যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে θ = 90° এবং m = tan 90° = 0 অর্থাৎ y-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সংজ্ঞায়িত নয় ।
3. দুইটি সরলরেখার ঢাল সমান হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল হবে।
4. দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1 হবে অর্থাৎ m1m2 = - 1 হবে।
৫৯২.
নিচের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠিক?
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
সঠিক উত্তর: গ
গ) ii ও iii
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ii ও iii
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠিক?
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত বর্ণনা নিম্নরূপ :
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা ।
৩. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই, তাই তল ।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার উপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল ।
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত বর্ণনা নিম্নরূপ :
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা ।
৩. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই, তাই তল ।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার উপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল ।
৫৯৩.
একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?
সঠিক উত্তর: গ
144 সে.মি. (প্রায়)
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
144 সে.মি. (প্রায়)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (56/2) + 56
= (88 + 56)
= 144 সে.মি. (প্রায়)
৫৯৪.
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 115° হলে, ∠B = কত?
সঠিক উত্তর: ক
65°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
65°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 115° হলে, ∠B = কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ,
⇒ ∠A + ∠B = 180°
⇒ 115° + ∠B = 180°
⇒ ∠B = 180° - 115°
∴ ∠B = 65°
৫৯৫.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তটির AB জ্যা এর দৈর্ঘ্য 24 cm কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অংকিত লম্ব OC = 5 cm হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: গ
169π
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
169π
ব্যাখ্যা
চিত্রে,
OC = 5, AB = 24
∴ AC = 12
∴ OA2 = AC2 + OC2
= 122 + 52 = 169
∴ OA = 13 যা ব্যাসার্ধ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 132 = 169π
৫৯৬.
একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 10° বেশি হলে, কোণটি কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
50°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
50°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 10° বেশি হলে, কোণটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
ধরি,
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x
শর্তমতে,
x = 90° - x + 10°
বা, x + x = 100°
বা, 2x = 100°
বা, x = 100°/2
∴ x = 50°
∴ কোণটির মান = 50° ।
৫৯৭.
∆ABC এর BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ACD = ?
সঠিক উত্তর: গ
গ) ∠A+∠B
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ∠A+∠B
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
৫৯৮.
একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ কত হবে?
সঠিক উত্তর: খ
১০৮°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
১০৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ কত হবে?
সমাধান:
সুষম অষ্টভুজটির
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৫ = ৭২°
প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৭২)° = ১০৮°
সমাধান:
সুষম অষ্টভুজটির
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৫ = ৭২°
প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৭২)° = ১০৮°
৫৯৯.
যদি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গসেন্টিমিটার হয়, তবে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?
সঠিক উত্তর: ক
10 সেন্টিমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
10 সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গসেন্টিমিটার হয়, তবে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গ সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
⇒ πr2 = 314
⇒ r2 = 314/3.14 ;[π = 3.14]
⇒ r2 = 100 = 102
∴ r = 10
সুতরাং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেন্টিমিটার।
৬০০.
একটি রেখা 2x + 3y = 6, x–অক্ষ ও y–অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে, তা নির্ণয় করুন।
সঠিক উত্তর: ক
(3, 0) এবং (0, 2)
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
(3, 0) এবং (0, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রেখা 2x + 3y = 6, x–অক্ষ ও y–অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে, তা নির্ণয় করুন।
সমাধান:
X-ছেদ বিন্দু: y = 0 ধরলে,
⇒ 2x + 3(0) = 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
X ছেদ বিন্দু = (3, 0)
Y-ছেদ বিন্দু: x = 0 ধরলে,
⇒ 2(0) + 3y = 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2
Y ছেদ বিন্দু = (0, 2)
∴ ছেদবিন্দু: (3, 0) এবং (0, 2)