রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ ব্যাস : পরিধি = 2r : 2πr = 2r/2πr = 1/π = 1/(22/7) = 7/22।
[বি:দ্র: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22/7]

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান:
 
AB সরলরেখার সাথে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠AOC ও ∠BOC দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়। 
∠AOC + ∠BOC = 180°

বৃত্তের ব্যাস = ১০ cm
যা বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের বাহুর ক্ষেত্রফল = (১০/√২)²
= ১০০/২
= ৫০ বর্গসেঃমিঃ

ধরি ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি 2πr = 26π
∴ r = 13 cm
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= 169π

প্রশ্নমতে,
πr² = a²
⇒ π×14² = a²
∴ a = 24.81 cm

r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক।
∴ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π.1^২ = π বর্গ একক।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 180 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 180
⇒ 2r(π - 1) = 180
⇒ r = 180/{2(π - 1)}
⇒ r = 90/{(22/7) - 1}
⇒ r = 90/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 90/(15/7)
⇒ r = (90 × 7)/15
⇒ r = 6 × 7
∴ r = 42 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 42 সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
ক্ষেত্রফল πr² = 100π
বা, r² = 100
∴ r = 10

∴ বৃত্তের সমীকরণ,
x² + y² = 10²
বা, x² + y² = 100

প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে? 

সমাধান: 
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।

অন্য অপশনগুলো- 
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।

বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।

তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²


বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)²
= 9 × πr²
= 9 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 9 গুণ হবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস, d = 26 সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = d/2 = 26/2 = 13 সে.মি

আমরা জানি, 
পরিধি = 2πr
= 2 × 3.1416 × 13
= 26 × 3.1416
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটির মান বের করুন।

সমাধান: 
দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি,  কোণটি = x
∴ অপর কোণটি = 180° - x

প্রশ্নমতে, 
x = (1/5) × (180° - x)
⇒ 5x = 180° - x
⇒ 6x = 180°
⇒ x = 180°/6
∴ x = 30°

যে কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।

এখানে, ৪৪ = ৪৪ × ১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের উপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। 
PT ⊥ OP এবং ∠OPT = 90° 

(0, 0) হতে (-5, 5)  এর দূরত্ব = √{(০+5)²+(0-5)²}
                                       = √50
আবার, (0, 0) হতে (5, k)  এর দূরত্ব = √{(0-5)²+(0-k)²}
                                               = √(k² + 25)

∴√(k² + 25) = √50
বা, k² = 25
বা, k = 5

প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান: 
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,

অপশন (ক)- এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5

অপশন (খ)- এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

অপশন (গ)- এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1

অপশন (ঘ)- এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য

অতএব, বিন্দুটি 4x - 3y = 23 রেখার উপর অবস্থিত।

এখানে, r₁ = 2r
পরিধি = 2πr₁ = 4πr
ব্যাস = 2r₁ = 4r 
ক্ষেত্রফল =πr²₁ = 4πr²

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়, তবে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)°
= ১১৫°

প্রশ্ন: (5,6) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?

সমাধান: 
কেন্দ্র (5,6) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত যদি y-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ x = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে y-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

কেন্দ্রের X-সমন্বয় = 5 = দূরত্ব = |5| = 5 একক

তাহলে ব্যাসার্ধ = 5 একক
⇒ ব্যাস = 2 × 5 একক
⇒ ব্যাস = 10 একক

∴ বৃত্তটির ব্যাস = 10 একক

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান কত কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ = 90°
এবং অন্য দুটি কোণের যোগফল = 90°

ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণ = x°
তাহলে বৃহত্তর সূক্ষ্মকোণ = (x + 12)°

প্রশ্নমতে, 
⇒ x + (x + 12) = 90
⇒ 2x + 12 = 90
⇒ 2x = 78
∴ x = 39

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 39°
বৃহত্তর কোণ = 39° + 12° = 51°
সমকোণ = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান 39°, 51° এবং 90°।

ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় যথাক্রমে x ও x - 6 ডিগ্রী
প্রশ্নমতে,
x + (x - 6) = 90
বা, 2x - 6 = 90
বা, 2x = 96
বা, x = 48
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 48 - 6 = 42 ডিগ্রী।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 2। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = 3 : 2

ধরি,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3r
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

∴ প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = π × 9r² = 9πr²
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = π × 4r² = 4πr²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 9πr² : 4πr² = 9 : 4

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭।
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৫ক এবং ৭ক।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°
⇒ ৩ক + ৫ক + ৭ক = ১৮০°
⇒ ১৫ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/১৫
⇒ ক = ১২°

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ক = ৩ × ১২° = ৩৬°
মধ্যম কোণ = ৫ক = ৫ × ১২° = ৬০°
বৃহত্তম কোণ = ৭ক = ৭ × ১২° = ৮৪°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৮৪°

α + β + γ
= (১৮০° - C) + (১৮০° - B) + (১৮০° - A)
= ৫৪০° - (A + B + C)
= ৫৪০° - ১৮০°
= ৩৬০°