রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

আমরা জানি,
রম্বসের সন্নিহিত বাহুর সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180⁰

তাহলে,
∠A + ∠B = 180°

অনুরূপভাবে,
∠A + ∠D = 180°
এখন
∠A + ∠B = ∠A + ∠D
∠B = ∠D = 120°

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের একটি কোণ 70°
আরেকটি কোণ 60°
এবং তৃতীয় কোণ 8x + 2° 

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল = 180°
⇒ 70 + 60 + (8x + 2) = 180 
⇒ 132 + 8x = 180
⇒ 8x = 180 - 132
⇒ 8x = 48
⇒ x = 48/8
∴ x = 6

সুতরাং, প্রদত্ত চিত্রে x এর মান 6। 

পরিধি/ব্যাস = ২πr/২r = π = ২২/৭
বাঁ, পরিধি : ব্যাস = ২২ : ৭

আমরা জানি, একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৮° হলে মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৮° = ২০ টি।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাস ৪ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ব্যাস 2r = ৪ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π

প্রশ্ন: 315° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ 180° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই 315° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

 অতিভূজ ৫ সে.মি. এবং লম্ব ৩ সে.মি. হলে,
ভূমি = √(৫^২ - ৩^২)= ৪ সে.মি.

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৪+৪ = ৮ সে.মি.

৬০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ ১২০° কোণের এক চতুর্থাংশ = ১২০°/৪ = ৩০°

প্রশ্ন: বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান: 
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
 

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
রেখা: বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
- রেখা একমাত্রিক এবং উভয়দিকে সীমাহীন।
- রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই।
প্রকারভেদ: রেখা দুই প্রকার। যথা: সরলরেখা এবং বক্ররেখা।

প্রশ্ন: একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7। সম্পূরক কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7।
ধরি,

কোণটি = 3k ডিগ্রি
সম্পূরক কোণ = 7k ডিগ্রি

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুসারে দুটি কোণের যোগফল ১৮০°।
⇒ 3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
∴ k = 18°

সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 7k = 7 ×  18° = 126°

অতএব, সম্পূরক কোণটি 126°।

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে, AB ΙΙ CD এবং EF ছেদক হলে θ কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BOF = 120°
CGF = θ 

যেহেতু, AB ΙΙ CD এবং EF এদের ছেদক,
∴ ∠BOF ও ∠EGC পরস্পর একান্তর কোণ। 
অর্থাৎ ∠BOF = ∠EGC = 120°

আবার,
∠EGC ও ∠DGF পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। 
∴ ∠EGC = ∠DGF = 120°

এখন,
∠DGF + ∠CGF = 180°
⇒ 120° + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 120°
⇒ θ = 60°

আমরা জানি,
θ কোণের পূরক কোণ = 90° - θ 
= 90° - 60° = 30°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ A হলে, অপরটি = 180° - A

যেহেতু AB = AC সেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ∠ABC = ∠ACB = 45°
আবার, যেহেতু AB∥EC সেহেতু ∠ABC = ∠ECD = 45°
চিত্র হতে, ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)
= 180° - (45° + 45°)
= 180° - 90°
= 90°

EC² = OC² - OE²
⇒ EC = √(6² - 3²)
⇒ EC = √27
∴ BC = 2√27 মিটার

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক,
ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ 20% কমে = r - r এর  20% = 0.8r একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = π (0.8r)² = 0.64πr² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমবে = πr²–0.64πr² = 0.36πr² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমার হার = 0.36 x 100 = 36%

শর্টকাট পদ্ধতি:
[- 20 - 20 + (20X20)/100]% = - 36%
সুতরাং বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% হ্রাস পাবে।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি। 

বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে আছে
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টি
∴ ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13 - ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ
                              = 13 - 8
                              = 5 cm

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত? 

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে, 
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n 
বা, √2 r - r = n 
বা, r (√2 - 1) = n 
∴ r = n/(√2 - 1)

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 127°
= 53°

Sin30° = OR/OQ
1/2 = 12/OQ
OQ = 24
OQ = OS = 24 এবং ∠PQS = 90 ডিগ্রী হওয়ায়, ∠OQS = ∠OSQ = 60 ডিগ্রী
QOS ত্রিভুজটি সমবাহু।
সুতরাং, পরিসীমা = 24 × 3 = 72 সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০ হলে পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধির সূত্র:
C = π × d

যেখানে d হলো ব্যাস।
এখানে d = 20
C = π × 20 = 20π

∴ বৃত্তের পরিধি হবে ২০π একক।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে এর পরিধি কত?

সমাধান : 
বৃত্তের ব্যাস = 26 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ  r = 26/2 = 13সে.মি. 
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি.
= 2 × π × 13
= 26π সে.মি
= 26 × 3.1416 সে.মি.
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত? 

সমাধান:
রেখার ঢাল m বের করতে রেখাকে y = mx + c আকারে আনতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ:
3x - 4y = 12
⇒ - 4y = -3x + 12 [উভয় পাশে ৪ দিয়ে ভাগ করে:]
⇒ y = 3/4x - 3

এখান থেকে ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4 

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৪ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১১ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে।
অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা ভিতর থেকে একবিন্দুতে স্পর্শ করছে।

দেওয়া আছে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৪ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ (R) = ১১ সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
∴ ৪ = ১১ - r
⇒ r = ১১ - ৪
⇒ r = ৭ সেমি

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হয়, তবে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π sq. cm.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৫। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
১ম বৃত্তের, ব্যাস, = ৪
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = ২
১ম বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π২^২ 
= ৪π

২য় বৃত্তের, ব্যাস, r = ৫
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂ = ৫/২
২য় বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π(৫/২)^২
= ২৫/৪

∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, ৪π : ২৫π/৪
= ৪ : ২৫/৪
= ১৬ : ২৫