রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: (- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?

সমাধান:
একটি সমতল কার্তেসীয় তলে:

প্রথম চতুর্ভাগ: x > 0, y > 0
দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y > 0
তৃতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y < 0
চতুর্থ চতুর্ভাগ: x > 0, y < 0

দেওয়া বিন্দু (- 3, - 5) এ:
x < 0
y < 0

∴ এটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°

প্রশ্ন: ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

∴ ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১১০)°
= ৭০° ।

প্রশ্ন: ১৮ সে.মি. ব্যাস ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান। 

এখানে, 
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
 ∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৮/২ সে.মি.
= ৯ সে.মি.

আবার,
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২ সে.মি. 

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৯ + ১২) সে.মি. 
= ২১ সে.মি.। 

সুতরাং, বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২১ সে.মি.।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 44 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
2πr = 44
⇒ r = 44/2π
⇒ r = 44/{2 × (22/7)}
⇒ r = (44 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 7 

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
তাহলে, অর্ধবৃত্তের ব্যাস = 2 × 6 = 12 সে.মি.

আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের ভেতরে অবস্থিত বৃহত্তম ত্রিভুজটির ভূমি হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাস এবং উচ্চতা হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

অতএব, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 12 সে.মি.
ত্রিভুজটির উচ্চতা, h = 6 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 12 × 6 বর্গ সে.মি.
= 6 × 6 বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃহত্তম ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ মিটার

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (7, 21) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (0, 0)
এবং (x₂, y₂) = (7, 21)

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (21 - 0)/(7 - 0)
= 21/7
= 3
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 3।

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ < AOB = 90°

আবার,
OA = 1/2 AC
= 1/2 × 6 = 3cm,
OB = 1/2 BD
= 1/2 × 8 = 4

∴ AB = √(OA² + OB²)
= √(3² + 4²)
= √25
= 5cm

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২
= ৮ × ২
= ১৬ সে.মি.

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = ১৬ সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (কর্ণ)^২
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × (১৬)^২
= ১/২ × ২৫৬
= ১২৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুটি রেখা 2x + y = 2 এবং y = kx - 3 পরস্পর লম্ব হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালগুলির গুণফল হয় -1।
প্রথম রেখার ঢাল m₁ = -2
দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = k

সুতরাং,
m_1​ × m₂ ​= -1
(-2) × k = -1
⇒ k = 1/2

∴ k-এর মান = 1/2

আমরা জানি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃস্থকোণ)
বা, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - ১৫০°) = ১২ টি।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে 'X' এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 110° + ∠AOD = 180°
⇒ ∠AOD = 180° - 110°
∴ X = 70°

দেওয়া আছে,
B = 6x,
C = 5x
A:B = 7:6
বা, A/B = 7/6
বা, A = 7/6 B
= 7/6 × 6x
= 7x
ΔABC-এ,
A + B + C = 180°
বা, 6x + 5x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

রেখা (Line): বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে। একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।

রেখাংশ (Segment of line): রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রশ্মি (Ray): একটি রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। একটি রশ্মির মাত্র একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

চিত্রে AB||CD এবং EF ছেদক ফলে ∠BAC = ∠DCF = x
আবার,
∠BAE + ∠BAC = এক সরলকোণ = 180°
∴ y + x = 180° 
⇒ ∠x + ∠y = 180°

সপ্তভূজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০
                                                          = (৭ - ২) × ১৮০°
                                                          = ৯০০°

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক
= 90 - 49
= 41°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১০ সে.মি. এবং ২য় টির ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১০ সে.মি
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = ১০/২ = ৫ সে.মি
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি

বহিঃস্পর্শ করে এখন দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (৫ + ৪) সে.মি
= ৯ সে.মি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 9 সে.মি. হলে বড় বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = 9 সে.মি.

বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (9 + 5)সে.মি. = 14 সে.মি.

∴ বড় বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 14
= 88 সে.মি.

এখানে,
জ্যা AB = ২৪ সেঃমিঃ
∴ AC = ১/২ × AB
= ১/২ × ২৪
= ১২ সেঃমিঃ
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = ৫
∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC)² + (OC)²
= √(১২² + ৫²)
= ১৩

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।
শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180° / 18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ, r = 12 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (12 × 2) = 24 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (24)²
= 576/2
= 288 বর্গ সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = 288 বর্গ সে.মি.

প্রদত্ত রেখাদ্বয়,
x - y = 0.......(1)
এবং
2x + y - 3 = 0......(2)
(1) নং থেকে পাই x = y
(2) নং থেকে পাই 2x + y - 3 = 0
বা, 2x + x - 3 = 0
3x = 3
∴ x = 1
∴ y = 1
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাংক (1, 1)