রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

এখানে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে দ্বিখণ্ডিত করবে।
অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য^২ = ৫^২ - ৪^২ = ৯
বা, অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = ৩ সে.মি.

প্রশ্ন: 10 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে একটি বর্গ অঙ্কিত হলো। বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস = 10 সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 10/2 সেমি = 5 সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গসেমি
 = π × 5² বর্গসেমি = 25π বর্গসেমি

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 10 সেমি

ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি।
আমরা জানি, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 10
⇒ a = 10/√2 সেমি

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = a² বর্গসেমি
= (10/√2)² বর্গসেমি = 100/2 বর্গসেমি
= 50 বর্গসেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 25π : 50 = π : 2

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি
= (4 × 3 × 12) ইঞ্চি + (1 × 12) ইঞ্চি + 5 ইঞ্চি 
= (144 + 12 + 5) ইঞ্চি 
= 161 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr 
= 2 × (22/7) × 161
= 1012 ইঞ্চি

∠B যদি ∠A এর পূরক কোণ হয়, তবে ∠A + ∠B = 90°
বা, x° + ∠B = 90°
সুতরাং, ∠B = 90° - x°

ধরি, কোণটি x
শর্তমতে, x = (180° - x)/2
বা, 2x = 180° - x
বা, 3x = 180°
∴ x = 60°

প্রশ্ন: 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

∴ 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 67°

Radius of circle = 7 cm
Given area of rectangle = Area of circle = (22/7)×7×7
= 154 cm²

অতিভূজ ৫ সে.মি. এবং লম্ব ৩ সে.মি. হলে, ভূমি=√(৫²-৩²)= ৪ সে.মি.
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৪+৪ = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান: 
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি। 

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (বাহু - ২) × ১৮০°
=(১০ -২) × ১৮০° = ১৪৪০°

Question: Which of the following lines does not have the same slope as 3x - 6y = 12?

Solution:
Given line,
3x - 6y = 12

Converting to  y = mx + c: 
- 6y = - 3x + 12
⇒ - 6y = - 6(1/2x - 2)
⇒ y = 1/2x - 2 [Dividing -6 both sides]
So, m=1/2

Option A:  2x - 4y = 10
- 4y = - 2x + 10
⇒ - 4y = - 4(1/2x - 5/2) [Dividing -4 both sides]
⇒ y = 1/2x - 5/2
So, m=1/2

Option B: 6x - 12y + 7 = 0
⇒ - 12y = -6x - 7
⇒ y = 1/2x + 7/12 [Dividing -12 both sides]
So, m=1/2

Option C: 3y = 3/2x + 9
⇒ y = 1/2x + 3 [Dividing 3 both sides]
So, m=1/2

Option D: 9x + 18y = 27
⇒ 18y = -9x + 27
⇒ y = -1/2x + 3/2  [Dividing 18 both sides]
So, m= -1/2 [Satisfied]

∴ 9x + 18y = 27 does not follow the slope as 3x - 6y = 12

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৯৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ (Inscribed Angle) কেন্দ্রঃস্থ কোণের (Central Angle) অর্ধেক।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৯৫°
সুতরাং,
পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = (৯৫° ÷ ২) = ৪৭.৫°

দুটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক থাকলে,
- একান্তর কোণগুলো সমান
- অনুরুপ কোণগুলো সমান
- বিপ্রতীপ কোণগুলো সমান
- একই রেখার উপর অন্তঃস্থ কোণগুলোর যোগফল ১৮০ ডিগ্রী এবং 
- একই রেখার উপর বহিঃস্থ কোণগুলোর যোগফল ১৮০ ডিগ্রী।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৪০ ডিগ্রি বড় হয় তবে তৃতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৪০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৪০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৪০°
⇒ ক = ১৪০°/৫
∴ ক = ২৮°

∴ তৃতীয় কোণ = ২৮° + ৪০° = ৬৮°

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 123°
= 57°

প্রশ্ন: কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে, মূল বিন্দুর দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
মূল বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0, 0) 
একটি বিন্দু (3, 4)

∴ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x₁)² + (y - y₁)²}
= √{(3 - 0)² + (4 - 0)²}
= √(9 + 16)
= √(25)
= 5

প্রশ্নঃ একটি বৃত্তের ব্যাস 18 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = 18 সে.মি।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18/2 = 9 সে.মি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × π × 9
= 18π

∴ পরিধি =18π সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 9π  বর্গ মিটার
ΔAOB এর ক্ষেত্রফল = (1/2)×3×3 = 9/2  বর্গ মিটার
∴ সাদা অংশের ক্ষেত্রফল =  9π - 9/2 = (18π - 9)/2 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: 5 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা হলো AB।
কেন্দ্র হতে জ্যা এর ওপর লম্ব দূরত্ব OD = 3 সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি.।
এখানে, ∆OAD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OA² = OD² + AD²
⇒ 5² = 3² + AD²
⇒ 25 = 9 + AD²
⇒ AD² = 25 - 9
⇒ AD² = 16
∴ AD = 4 সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য, AB = 2 × AD
⇒ AB = 2 × 4
∴ AB = 8 সে.মি.

ব্যাসার্ধ r হলে পরিধি 2πr = 26π
বা, r = 13
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 13²
= 169π

বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৫ সেমি
আবার, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২(বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখন, (বাহুর দৈর্ঘ্য)² = (৫/√২)² = ১২.৫ বর্গ সেমি।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r এবং
পরিধি = 2πr
∴ অনুপাত = 2r : 2πr
= 1/π
= 1/(22/7)
= 7/22

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি 26π হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r হলে
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি = 2πr
= 26π

এখন,
2πr = 26π
⇒ r = 13

∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 13²
= 169π

প্রশ্ন: y - 4 = 3(x + 1), রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন, 
y - 4 = 3(x + 1)
⇒ y - 4 = 3x + 3
⇒ y = 3x + 7 
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
m = 3 
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = 3

A + B = 200°,
C = 75°,
A + C = 180°
∴ A = 180° - C
= 180° - 75°
= 105°

আবার,
B = 200° - A
= 200° - 105°
= 95°

∴ D = 180° - B
= 180° - 95°
= 85°