রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৬০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = ২r
এবং বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
২πr - ২r = ৬০
⇒ ২r(π - 1) = ৬০
⇒ ২r{(২২/৭) - 1} = ৬০
⇒ ২r{(২২ - ৭)/৭} = ৬০
⇒ ২r(১৫/৭) = ৬০
⇒ r = (৬০ × ৭)/(২ × ১৫)
⇒ r = ৪২০/৩০
∴ r = ১৪ 

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণ সরলরেখা প্রকাশ করে না?

সমাধান: 
এখানে, ক, খ এবং গ রেখাত্রয়কে y = mx + c আকারে প্রকাশ করা যায়।
কিন্তু,
ঘ এর সমীকরণকে y = mx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না। 
সুতরাং, এটি x² অন্তর্ভুক্ত, তাই এটি প্যারাবোলা, সরলরেখা নয়। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার । বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৩৬π বর্গ মিটার
= π৬^২ বর্গ মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল =  π × (ব্যাসার্ধ)^২
বা, π৬^২ =  π × (ব্যাসার্ধ)^২
বা, (ব্যাসার্ধ)^২ = ৬^২ 
∴ ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার 

∴ ব্যাস = (২ × ৬) মিটার
= ১২ মিটার। 

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০/৬০ বার
= ১.৫ বার
১ বার ঘুরলে ঘুরে ৩৬০°
∴ ১.৫ বার ঘুরলে ঘুরে (৩৬০ × ১.৫)°
= ৫৪০°
৫৪০° ঘুরে ১ সেকেণ্ডে
∴ ৯০° ঘুরে (১×৯০)/৫৪০ সেকেন্ডে
= ১/৬ সেকেন্ডে

কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: (6, 4) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?

সমাধান:
(6, 4) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ y = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে x-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

কেন্দ্রের y-সমন্বয় = 4 ⇒ দূরত্ব = |4| = 4 একক।

তাহলে ব্যাসার্ধ = 4 একক ⇒ ব্যাস = 2 × 4 = 8 একক.
বৃত্তটির ব্যাস = 8 একক। 

C = 120°
∴ A = 180° - C
= 180° - 120° = 60°

আবার,
A : B = 2 : 3
বা, A/B = 2/3
বা, B/A = 3/2
বা, B = 3/2 × A
= 3/2 × 60° = 90°

∴ D = 180° - B
= 180° - 90°
= 90°

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 120°।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়?

সমাধান: 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।

রেখার কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য: 
• রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
• দুই দিকেই অসীম প্রসারিত করা যায়।
• রেখার নির্দিষ্ট কোনো দিক নেই। 
• রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

- দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, এদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে, বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
- তাই 51° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ 51° ই হবে।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 26π মিটার। ঐ বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বৃহত্তম বর্গের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের পরিধি = 2πr = 26π
⇒ r = (26π) / (2π)
⇒ r = 13

∴ বৃত্তের ব্যাস,
d = 2r = 2 × 13 = 26 একক

আমরা জানি, বৃত্তের অন্তলিখিত বৃহত্তম বর্গের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি, বর্গের বাহু = a এবং কর্ণ = d
আমরা জানি,
d = a√2
⇒ a = d/√2
⇒ a = 26/√2
⇒ a = (26 × √2)/(√2 × √2)
⇒ a = 26√2/2
⇒ a = 13√2

∴ বর্গের পরিসীমা = 4a
= 4 × 13√2
= 52√2 মিটার

অতিভূজ ১৩ সে.মি. এবং লম্ব ১২ সে.মি. হলে,
ভূমি = √(১৩^২ - ১২^২)= ৫ সে.মি.

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৫ + ৫ = ১০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: 16 সে.মি. এবং 30 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুটি ছোট বৃত্তাকার পার্ককে একটি বড় বৃত্তাকার পার্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হলো। যদি নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল, ছোট বৃত্তাকার পার্ক দুটির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
মনে করি,
নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল = r সে.মি.
দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তাকার পার্ক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 16/2 = 8 সে.মি.
এবং 30/2 = 15 সে.মি.।

শর্তমতে,
πr² = π.(8)² + π.(15)²
⇒ πr² = 64π + 225π
⇒ πr² = 289π
⇒ r² = 289
⇒ r = √289
∴ r = 17

∴ নতুন পার্কের ব্যাসার্ধ = 17 সে.মি.

প্রশ্ন: 4 মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি কত মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

এখানে
ব্যাসার্ধ, r = 4 মি.
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 4
= 8π

প্রশ্ন: ΔABC এর AB = AC, ∠A = 80° হলে ∠B = কত?

সমাধান:

ΔABC এর AB = AC হলে
∠B = ∠C

আমরা জানি
∠A + ∠B + ∠C = 180° 
80°  + ∠B + ∠B = 180° 
2∠B = 180° - 80° 
2∠B = 100° 
∠B = 50° 

প্রশ্ন: 40 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = পরিসীমা/4 = (40/4)
= 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে বৃত্তটির ব্যাস।।
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ = বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π(5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান: 
একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্ন: একটি চাকায় ২৪টি শলা থাকলে পাশাপাশি দুটি শলার মধ্যে কোণ কত ডিগ্রি?  

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চাকা = ৩৬০°

চাকায় মোট ২৪টি শলা থাকলে, শলাগুলো সমান দূরত্বে থাকে।

সুতরাং, পাশাপাশি দুটি শলার মধ্যবর্তী কেন্দ্রীয় কোণ = ৩৬০°/২৪ = ১৫°

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা এর উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

এখানে, জ্যা AB= 24 সে.মি.
AC = AB/2 = 24/2 = 12 সে.মি.
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = 5 সে.মি.

∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC² + OC²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ (OA) = (2 × 13) সে.মি. = 26 সে.মি.

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 168 বর্গ মিটার এবং প্রস্থ 7 মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 168 বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 7 মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল/প্রস্থ
= 168/7 = 24 মিটার

যেহেতু, একটি বৃত্তে অন্তঃলিখিত আয়তক্ষেত্রের কর্ণ হলো বৃত্তটির ব্যাস।
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = আয়তক্ষেত্রের কর্ণ

আমরা জানি,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
= √(24² + 7²)
= √(576 + 49)
= √625
= 25 মিটার

অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 25 মিটার
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2 = 25/2 = 12.5 মিটার।

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই (অনেক বই তে রেখার প্রান্তবিন্দু ২ টা দেওয়া আছে সেটা ভুল। নবম শ্রেণীর বোর্ড বইতে দেওয়া আছে রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই)
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
​
​সমাধান:
​ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেমি।

প্রশ্নমতে, 
​πr² = 154
⇒ (22/7) × r² = 154
⇒ r² = (154 × 7)/22 
⇒ r² ​= 49
⇒ r = √49
​∴ r = 7 সেমি।

বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)² 
​= r²
= 7² 
​= 49 বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল 49 বর্গ সেমি।

এখানে,
৮৮ কি.মি. = ৮৮ ×১০০০ মি.
আমরা জানি,
পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৮৮ ×১০০০
বা, 2πr = ৮৮
বা, r = ৮৮/2π
বা, r = ৪৪/π
বা, r = ৪৪/(২২/৭)
বা, r = ৪৪ × (৭/২২)
বা, r = ১৪