সূচক ও লগারিদম

(x²)³ × x³
x⁶× x³
x⁹

প্রশ্ন: log_4​16 - log_4​2 এর মান কত?

সমাধান: 
বেস চেঞ্জ ফর্মুলার সাহায্যে, 
log₄16
= log16/log4
= log 2⁴/log2²
= 4log2/2log2
= 4/2
= 2 

আবার, 
log₄2
= log2/log4
= log2/log2²
= log2/2log2
= 1/2

তাহলে, 
log₄16 - log₄2 = 2 - (1/2)
= (4 - 1)/2
= 3/2

10⁴⁰ – 10³⁹
10.10³⁹ – 10³⁹
10³⁹(10-1)
9×10³⁹

প্রশ্ন: log₁₀(10) + log₁₀(100) + log₁₀(1000) + log₁₀(10000) = কত?

সমাধান:
log₁₀(10) + log₁₀(100) + log₁₀(1000) + log₁₀(10000)
= log₁₀(10) + log₁₀(10²) + log₁₀(10³) + log₁₀(10⁴)
= log₁₀(10) + 2 × log₁₀(10) + 3 × log₁₀(10) + 4 × log₁₀(10)
= 1 + 2 + 3 + 4 [যেহেতু, log_aa = 1]
= 10

প্রশ্ন: যদি log₁₀x + log₁₀(x - 9) = 1 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₀x + log₁₀(x - 9) = 1
⇒ log₁₀x + log₁₀(x - 9) = log₁₀10 ; [log_aa = 1]
⇒ log₁₀{x(x - 9)} = log₁₀10
⇒ x² - 9x = 10
⇒ x² - 9x - 10 = 0
⇒ x² - 10x + x - 10 = 0
⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0
⇒ (x - 10)(x + 1) = 0
হয়, x - 10 = 0
∴ x = 10
অথবা, 
x + 1 = 0
∴ x = - 1 ; [ইহা গ্রহণযোগ্য নয়] 

সুতরাং, x এর মান 10

প্রশ্ন: নিচের কোনটি log₄(64) এর সঠিক মান?

সমাধান:
log₄(64)
= log₄ 4³
= 3 log₄ 4
= 3 × 1
= 3

প্রশ্ন: (5x)⁰ + 5x⁰ + (5x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(5x)⁰ + 5x⁰ + (5x)⁰
=1 + (5 × 1) + 1 
= 1 + 5 + 1
= 7

3^{mx -1} = 3a^mx-2
⇒ 3^{mx -1}/3 = a^mx-2
⇒ 3^{mx - 2} = a^mx-2
⇒ (3/a)^{mx - 2} = (3/a)⁰
⇒ mx - 2 = 0
∴ x = 2/m

প্রশ্ন: (3√3 × √5)⁴ = কত?

সমাধান:
(3√3 × √5)⁴
= (3√3)⁴ × (√5)⁴
= (3)⁴ × (√3)^{2 × 2} × (√5)^{2 × 2}
= 3⁴ × 3² × 5²
= 81 × 9 × 25
= 18225

log_ax = 1,
log_ay = 2
log_az = 3
∴ x = a¹ = a
∴ y = a²
∴ z = a³
log_a(x³y²/z) = log_a(a³.a⁴/a³)
= log_aa⁴
= 4log_aa
= 4.1
= 4

log₂√35 + log₂√(7/5)
= log₂(35)^1/2 + log₂(7/5)^1/2
= 1/2log₂(7 × 5) + 1/2log₂(7/5)
= 1/2[log₂(7 × 5) + log₂(7/5)]
= 1/2[log₂7 + log₂5 + (log₂7 - log₂5)]
= 1/2 × 2log₂7
= log₂7

প্রশ্ন: 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} = ?

সমাধান:
2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1}
= 2^{x + 1}(1 + 1 + 1 + 1)
= 2^{x + 1} × 4
= 2^{(x + 1)} × 2²
= 2^{x + 1 + 2}
= 2^{x + 3}

প্রশ্ন: (x^p/x^q)^{p + q} . (x^q/x^r)^{q + r}. (x^r/x^p)^{r + p} = কত?

সমাধান:
 (x^p/x^q)^{p + q} . (x^q/x^r)^{q + r}. (x^r/x^p)^{r + p} 
= (x^{p - q})^{p + q}. (x^q - r)^{q + r} . (x^{r - p})^{r + p}
= x^{(p - q)(p + q)}. x^{(q - r)(q + r)} . x^{(r - p)(r + p)}
_=xp² - q² . _xq² - r²._xr² - p² 
_=xp² - q² + q² - r²+r² - p²
= x^{0
= 1}

প্রশ্ন: 9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1} = কত? 

সমাধান: 
9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1}
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ ⋅ 2^-1
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ × (1/2)
= 9 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (9 - 1) 
= 2ⁿ × 8
= 2ⁿ × 2³
= 2^{n + 3}

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂a)] = 0, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₂[log₃(log₂a)] = 0
⇒ log₃(log₂a) = 2⁰
⇒ log₃(log₂a) = 1
⇒ log₂a = 3¹
⇒ log₂a = 3
⇒ a = 2³
∴ a = 8

3.2ⁿ - 4.2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2².2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2^(2+n-2)
= 3.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (3-1)
= 2ⁿ × 2
= 2⁽ⁿ⁺¹⁾

প্রশ্ন: যদি log₁₀a = x, log₁₀b = y হয়, তবে log₁₀(a^xb^y) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₀a = x, log₁₀b = y

এখন, 
log₁₀(a^xb^y) = log₁₀a^x + log₁₀b^y
= x log₁₀a + y log₁₀b
= x . x + y . y
= x² + y²

প্রশ্ন: (xyz)⁰ = ?

সমাধান:
(xyz)⁰
= 1 [a⁰ = 1, যদি a ≠ 0]

প্রশ্ন:

সমাধান:

দেওয়া আছে, x^-3-0.001= 0
বা, 1/x³= 0.001
বা, 1/x³= 1/1000
বা, x³= 10³
বা, x= 10
∴ x²= 100

প্রশ্ন: 27^q + 27^q + 27^q এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
27^q + 27^q + 27^q
= 27^q(1 + 1 + 1)
= 27^q . 3
= (3³)^q . 3 
= 3^3q . 3
= 3^{3q + 1}

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1} থাকে, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{-(x - 1)}
⇒ 2x - 5 = -(x - 1)
⇒ 2x - 5 = - x + 1
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: যদি log_x 32 = 5/2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 32 = 5/2
⇒ x^5/2 = 32 [ log_xa = b হলে x^b = a ]
⇒ (x^1/2)⁵ = 32 
⇒ (√x)⁵ = 2⁵
⇒ √x = 2 
⇒ (√x)² = 2² [ বর্গ করে ]
⇒ x = 4 

এখানে, (3.2ⁿ - 4.2^n-2) / (2ⁿ - 2^n-1)
= (3.2ⁿ - 2².2^n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.2^-1)
= (3.2ⁿ - 2^2+n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= (3.2ⁿ - 2ⁿ)) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= 2^n.(3 - 1) / 2ⁿ.(1 - 1/2) 
= 2 / (1/2)
= 2 × (2/1)
= 4

প্রশ্ন: log₄(1/16) এর মান কত? 

সমাধান: 
log₄(1/16)
= ​log₄(1/4²)
= log₄4^-2
= - 2 log₄4
​= - 2 × 1
= - 2 

প্রশ্ন: log_x6 + log_x36 + log_x216 = 12 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x6 + log_x36 + log_x216 = 12
⇒ log_x(6 × 36 × 216) = 12
⇒ log_x(6¹ × 6² × 6³) = 12
⇒ log_x(6⁶) = 12
⇒ 6log_x6 = 12
⇒ log_x6 = 2
⇒ x² = 6
∴ x = √6

প্রশ্ন: a = 4/3 হলে,  a^-4 এর মান -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a = 4/3

আমরা জানি,
x^-n = 1/xⁿ

সুতরাং,
a^-4
= 1/a⁴
= 1/(4/3)⁴
= 1/(256/81)
= 81/256

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 3 হয়, তবে b এর মান কত?  

সমাধান:
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার:
log_⁡ab = 3  
⇒ a³ = b

∴ b = a³

প্রশ্ন:

সমাধান: