সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি √(5a²) = 20 হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
√(5a²) = 20
⇒ 5a² = 20² ; [দুই পক্ষের বর্গ করে]
⇒ 5a² = 400
⇒ a² = 400/5
⇒ a² = 80
⇒ a = ± √80
⇒ a = ± √(16 × 5)
∴ a = ± 4√5

প্রশ্ন: যদি log_x 2500 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_x 2500 = 4
⇒ x⁴ = 2500
⇒ x⁴ = 625 × 4
⇒ x⁴ = 5⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 5⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (5√2)⁴
∴ x = 5√2

x^x√x = (x√x)^x
বা, (x^x)^√x = (x . x^1/2)^x
বা, (x^x)^√x = (x^3/2)^x
বা, (x^x)^√x = (x^x)^3/2
বা, √x=3/2
বা, x = (3/2)²
সুতরাং, x = 9/4

প্রশ্ন: log₁₀8 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(2b + 3) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀8 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(2b + 3) + 1
⇒ log₁₀8 + log₁₀(3b + 1)] = log₁₀(2b + 3) + log₁₀10
⇒ log₁₀{8 × (3b + 1) = log₁₀{10 × (2b + 3)} [log_a​M+log_a​N=log_a​(M×N)]
⇒ log₁₀(24b + 8) = log₁₀(20b + 30)
⇒ (24b + 8) = (20b + 30)
⇒ 24b - 20b = 30 - 8
⇒ 4b = 22
⇒ b = 22/4
∴ b = 11/2

log₂64
= log₂2⁶
= 6 × log₂2
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_mm = 1 হবে?

সমাধান:
log_mm = 1, হওয়ার জন্য দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়, যা লগারিদম ফাংশনের সংজ্ঞার সাথে সম্পর্কিত।
লগারিদমের ভিত্তি (m) অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে: m > 0
লগারিদমের ভিত্তি (m) কখনোই 1 হতে পারবে না। যদি m = 1 হয়, তবে সমীকরণটি হবে log₁ 1, যা অসংজ্ঞায়িত।
m ≠ 1.
তাই log_mm = 1 এর শর্ত হলো:
m > 0 এবং m ≠ 1.

প্রশ্ন: log_x (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x (1/8) = - 3
⇒ x^{- 3} = 1/8
⇒ x^{- 3} = (1/2)³
⇒ x^{- 3} = 2- 3
⇒ x = 2

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: log₁₀(0.001) = কত? 

সমাধান: 
ধরি,
log₁₀(0.001) = a 
⇒ 10^a = 0.001
⇒ 10^a = 1/1000
​⇒ 10^a = 1/10³
⇒ 10^a = 10^-3
∴ a = - 3

log x^(1/27) = -3
বা, x^-3 = 1/27
বা, x³ = 27
বা, x = 3

(3²)^x = (3³)^y 
3^2x = 3^3y
2x = 3y
x/y = 3/2

log₂√10 - log₂√(5/2)
= log₂(10)^1/2 - log₂(5/2)^1/2
= 1/2 log₂10 - 1/2 log₂5/2
= 1/2 [log₂(5×2) - log₂5/2]
= 1/2 [log₂5 + log₂2 - (log₂5 - log₂2)]
= 1/2 [log₂5 + 1 - log₂5 + 1]
= 1/2 × 2
= 1

1/(log_a(abc)) + 1/(log_b(abc)) + 1/(log_c(abc))
= log_ka/(log_k(abc)) + log_kb/(log_k(abc)) + log_kc/(log_k(abc))
= (log_ka + log_kb + log_kc)/( log_k(abc)) {সূত্র log_aM= (log_bM)/(log_ba)}
= ( log_k(abc)) / ( log_k(abc))
= 1

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3}
⇒ (p/q)^{3x - 7} = (p/q)^{-(x - 3)}
⇒ 3x - 7 = -(x - 3)
⇒ 3x - 7 = -x + 3
⇒ 3x + x = 3 + 7
⇒ 4x = 10
∴ x = 10/4 = 2.5

প্রশ্ন: (x²)³ কে x³ দ্বারা গুণ করলে কত হবে?

সমাধান:
(x²)³ × x³
= x⁶ × x³
= x^{6 + 3}
= x⁹

প্রশ্ন: log_x1/9 = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x1/9 = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/9
⇒ x^{- 2} = (1/3)²
⇒ x^{- 2} = 3^{- 2}
⇒ x = 3

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_aa = 1?

সমাধান:
log_⁡aa = 1 এই লগারিদমিক অভিব্যক্তিটির মান 1 হয় তখনই যখন ভিত্তি (base) এবং লঘুগুণনীয় (argument) একই হয় এবং উভয়েই ধনাত্মক, এবং ভিত্তি a ≠ 1 হয়।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
log⁡_aa = x
⇒ a^x = a

এখানে a^x = a হবে তখনই যখন x = 1। অর্থাৎ:
log⁡_aa = 1 যদি a > 0 এবং a ≠ 1

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ = log₃ (3√3)
= log₃ (3.3^1/2)
= log₃3^{1 + (1/2)}
= log₃3^3/2
= (3/2) log₃3
= 3/2 × 1  [∴ log_aa = 1] 
= 3/2

দেওয়া আছে,
4^{x + 1} = 32
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ (2x + 2) = 5
⇒ 2x = 5 - 2
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রদত্ত ধারাটি,
log11 + log121 + log1331 + ......
= log11 + log11² + log11³ + ......
= 1 log11 + 2 log11 + 3 log11 + ......
= (1 + 2 + 3 + 4 + ........) log11
এখন,
1 + 2 + 3 + 4 + ........ ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি = 12(12 + 1)/2
= 6 × 13
= 78
সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 78 log11.

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
বা, 3^{2(x - 1)} = 3⁴
বা, 3^{(2x - 2)} = 3⁴
বা, 2x - 2 = 4
বা, 2x = 4 + 2
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
∴ x = 3

প্রশ্ন: 32√2 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂(32√2)
= log₂(32 × 2^1/2)
= log₂(2⁵ × 2^1/2)
= log₂(2^{5 + 1/2})
= log₂(2^11/2)
= (11/2) × log₂(2) [যেহেতু, log_b(a^m) = m × log_b(a)]
= (11/2) × 1
= 11/2

প্রশ্ন: যদি log_x 32 = 5/2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 32 = 5/2
⇒ x^5/2 = 32   [log_xa = b হলে, x^b = a]
⇒ (x^1/2)⁵ = 32
⇒ (√x)⁵ = 2⁵
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2²
∴ x = 4

প্রশ্ন: 3^{x + 3} = 81 হলে, 3^{x - 1} = কত? 

সমাধান: 
3^{x + 3} = 81
বা, 3^{x + 3} = 3⁴
বা, x + 3 = 4
বা, x = 4 - 3
∴ x = 1

এখন, 
3^{x - 1} = 3^{1 - 1}
= 3⁰
= 1  [∴ a⁰ = 1]

প্রশ্ন: যদি log_1/2x = - 4 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
log_1/2x = - 4
⇒ x = (1/2)^{- 4}
⇒ x = 2⁴
⇒ x = 16

প্রশ্ন: log_x(0.001) = - 3 হলে ভিত্তি x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(0.001) = - 3
⇒ x^{- 3} = 0.001  [log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ x^{- 3} = 1/1000
⇒ x^{- 3} = 1/10³
⇒ x^{- 3} = 10^{- 3} 
∴ x = 10