সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: (2^{n + 4} - 4.2^{n + 1})/(2^{n + 2} ÷ 2) = কত? 

সমাধান: 
(2^{n + 4} - 4.2^{n + 1})/(2^{n + 2} ÷ 2) 
= (2ⁿ × 2⁴ - 4.2ⁿ × 2¹)/(2ⁿ × 2² ÷ 2) 
= (16.2ⁿ - 8.2ⁿ)/(2ⁿ.2²/2)
= {8.2ⁿ(2 - 1)}/{2ⁿ.2}
= 8 × (1/2)
= 4

প্রশ্ন: যদি log₁₀√x = - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀√x = -1
⇒ log₁₀(x^1/2) = -1
⇒ (1/2) . log₁₀x = -1
⇒ log₁₀x = - 2
⇒ x = 10^{- 2}
⇒ x = 1/10²
⇒ x = 1/100
∴ x = 0.01

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_a(b³) = 3x এবং log_b(a³) = 3y হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, log_a(b³) = 3x
⇒ 3log_a(b) = 3x
⇒ log_a(b) = x

আবার, log_b(a³) = 3y
⇒ 3log_b(a) = 3y
⇒ log_b(a) = y

আমরা জানি, log_a(b) × log_b(a) = 1
সুতরাং, xy = loga(b) × logb(a)
∴ xy = 1

প্রশ্ন: (1000)^x/3 = 10 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(1000)^x/3 = 10
বা, (10³)^x/3 = 10
বা, (10)^3x/3 = (10)¹
বা, 3x/3 = 1
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (√7 - √2) এর সমান?

সমাধান:
(√7 - √2)
= {(√7 - √2)(√7 + √2)}/(√7 + √2)
= (7 - 2)/(√7 + √2)
= 5/(√7 + √2)

∴ (√7 - √2) = 5/(√7 + √2)

প্রশ্ন: log₁₀4 + log₁₀(4b + 2) = log₁₀(b + 4) + 1 হলে , b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀4 + log₁₀(4b + 2) = log₁₀(b + 4) + 1
⇒ log₁₀4 + log₁₀(4b + 2) = log₁₀(b + 4) + log₁₀10
⇒ log₁₀{4(4b + 2)} = log₁₀{(b + 4)10}
⇒ 4(4b + 2) = (b + 4)10
⇒ 16b + 8 = 10b + 40
⇒ 6b = 32
⇒ b = 32/6
∴ b = 16/3

প্রশ্ন: log₃√(3) এর মান কত?

সমাধান:
log₃√3
= log₃(3)^1/2
= (1/2) × log₃(3)
= (1/2) ×  log₃3
= (1/2) × 1 [∴ log₃3 = 1]
= 1/2

দেওয়া আছে, x = 6^(m+1) এবং y = 6^(m-1)
এখন, log₆(x/y)
= log₆ {6^(m+1)/6^(m-1)}
= log₆ 6^(m+1-m+1)
= log₆ 6²
= 2log₆ 6
= 2 × 1
= 2

(25)^2x+3 = 5^3x+6
⇒ (5²)^2x+3 = 5^3x+6
⇒ 5^4x+6 = 5^3x+6
∴ 4x + 6 = 3x + 6
⇒ 4x - 3x = 6 - 6
∴ x = 0

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂8 + 4log₄64 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂8 + 4log₄64
= 2log₅(5²) + 3log₂(2³) + 4log₄(4³)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 3log₂2 + 4 × 3log₄4 [log_a(Mⁿ) = n·log_aM]
= (2 × 2 × 1) + (3 × 3 × 1) + (4 × 3 × 1) [log_aa = 1]
= 4 + 9 + 12
= 25

প্রশ্ন: log_5√22500 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log_5√22500 = x
⇒ (5√2)^x = 2500
⇒ (5√2)^x = (5√2)⁴
∴ x = 4

এখানে, log₁₀^x = -1
বা, x = 10^-1
বা, x = 1/10¹
বা, x = 1/10
বা, x = 0.1

উৎস: সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

(4^x+2-16×4^x-2)/4^x-1
=(4^x×4²-4²×4^x×4^-2)/4^x×4^-1
=4^x(4²-1)/4^x×4^-1
=15×4
=60

প্রশ্ন:  (32)^2/5 + (243)^1/5 = 3k হলে, k এর মান কত? 

সমাধান:
32^(2/5) = (2⁵)^2/5 = 2² = 4,
243^(1/5) = (3⁵)^1/5 = 3

∴ (32)^2/5 + (243)^1/5 = 3k
 ⇒ 4 + 3 = 3k
⇒ 7 = 3k
⇒ 3k = 7
⇒ k = 7/3

প্রশ্ন: (16)^0.375 × (16)^0.125 = ?

সমাধান: (16)^0.375 × (16)^0.125  [আমরা জানি, a^m × aⁿ = a^{m + n}]
= (16)^{(0.375 + 0.125)}
= (16)^0.50
= (16)^1/2
= (4²)^1/2  [আমরা জানি, (a^m)ⁿ = a^{m × n}]
= 4^{(2 × 1/2)}
= 4¹
= 4

∴ নির্ণেয় মান হলো 4।

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
9^x + 9^x + 9^x
= 9^x (1 + 1 + 1)
= 3. 9^x
= 3. 3^2x
= 3^{2x + 1}

প্রশ্ন: log_a(b³) = 3x এবং log_b(a³) = 3y হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, log_a(b³) = 3x
⇒ 3 log_ab = 3x
⇒ log_ab = x

আবার, log_b(a³) = 3y
⇒ 3 log_ba = 3y
⇒ log_ba = y

আমরা জানি, log_ab × log_ba = 1
সুতরাং, xy = log_ab × log_ba
∴ xy = 1

30 − {5^-1(2−3)^-3}^-2
= 30 - {1/5 (-1)^-3}^-2
= 30 - {(1/5 × (-1)}^-2
= 30 - (- 1/5)^-2
= 30 - 5²
= 5

প্রশ্ন: log_3√2(1/18) এর মান কত? 

সমাধান: 
log_3√2(1/18)
= log_3√2(1/3√2)²
= log_3√2(3√2)^-2
= - 2 log_3√23√2
= - 2 × 1
= - 2

প্রশ্ন: log_x(1/32) = - 5 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/32) = - 5
⇒ x^{- 5} = 1/32
⇒ x^{- 5} = 1/2⁵
⇒ x^{- 5} = 2^{- 5}
⇒ x = 2

প্রশ্ন:

সমাধান: 

m^{(a + b)(a - b)} × m^{(b - c)(b + c)} × m^{(c + a)(c - a)}
= m^{(a2 - b2)} × m^{(b2 - c2)} × m^{(c2 - a2)}
= m^{a2 - b2 + b2 - c2 + c2 - a2}
= m⁰
= 1

প্রশ্ন: (5ⁿ⁺² + 35 × 5^n-1)/(4 × 5ⁿ) এর মান কত?

সমাধান: 
(5ⁿ⁺² + 35 × 5^n-1)/(4 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 5² + 7 × 5 × 5^{n - 1})/(4 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 25 + 7 × 5^{1 + n - 1})/(4 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 25 + 7 × 5ⁿ)/(4 × 5ⁿ)
= 5ⁿ(25 + 7)/(4 × 5ⁿ)
= 32/4
= 8

প্রশ্ন: log_x(1/27) = - 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/27) = - 3/2
বা, x^{- 3/2} = 1/27 [log_aM = c হলে, a^c = M]
বা, 1/(x^3/2) = 1/27
বা, x^3/2 = 27
বা, (x^1/2)³ = 27
বা, (√x)³ = 3³
বা, √x = 3
বা, x = 3² [বর্গ করে]
∴ x = 9

প্রশ্ন: log₂√12 + log₂√(4/3) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂√12 + log₂√(4/3)
= log₂{√12 × √(4/3)} 
= log₂{(√12 × √4)/√3}
= log₂{(√4 × √3 × 2)/√3}
= log₂(2 × 2)
= log₂(2)²
= 2log₂2
= 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2 × 2^{n + 2} - 4 × 2ⁿ = ?

সমাধান:
2 × 2^{n + 2} - 4 × 2ⁿ
= 2 × 2^{n + 2} - 4 × 2ⁿ
= 2 × 2ⁿ × 2² - 4 × 2ⁿ
= 8 × 2ⁿ - 4 × 2ⁿ
= 2ⁿ × (8 - 4)
= 4 × 2ⁿ
= 2² × 2ⁿ
= 2^{n + 2}

প্রশ্ন: log_ax = 1, log_ay = 2 এবং log_az = 4 হলে log_a{(x³y²)/z} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ax = 1, log_ay = 2 এবং log_az = 4

প্রদত্ত রাশি,
= log_a{(x³y²)/z
= log_ax³ + log_ay² - log_az
= 3 log_ax + 2 log_ay - log_az
= 3 + (2 × 2) - 4
= 3 + 4 - 4
= 3

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log₃(9/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(9/81)
= log₃(1/9)
= log₃(1/3²)
= log₃(3^{- 2})
= - 2 × log₃3   [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1   [log_aa = 1]
= - 2