সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: log_x 81 = 4  হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x 81 = 4
⇒ x⁴ = 81
⇒ x⁴ = 3⁴
∴ x = 3

প্রশ্ন: log_a(1/3) = - 1/2 হলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
log_a(1/3) = - 1/2
⇒ a^{- 1/2} = 1/3 
⇒ 1/a^1/2 = 1/3
⇒ 1/√a = 1/3
⇒ √a = 3
∴ a = 9

log₃³√3
= log₃(3)^1/3
= 1/3 log₃3
= 1/3 × 1
= 1/3

প্রশ্ন: 125√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
log₅(125√5)
= log₅(5³ × 5^1/2)
= log₅(5^{3 + 1/2})
= log₅{5^{(6 + 1)/2}}
= log₅5^7/2
= 7/2 log₅5
= 7/2 × 1
= 7/2

এখানে, log₁₀ x = -1
বা, x = 10^-1
বা, x = 1/10¹
বা, x = 1/10
বা, x = 0.1
উৎসঃ সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

প্রশ্ন: যদি (125)^{(2x + 3)} = 5^{(3x + 6)} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
(125)^{(2x + 3)} = 5^{(3x + 6)}
বা, (5³)^{(2x + 3)} = 5^{(3x + 6)}
বা, 5^{6x + 9} = 5^{(3x + 6)}
বা, 6x + 9 = 3x + 6
বা, 6x - 3x = 6 - 9
বা, 3x = - 3
x = - 1

প্রশ্ন: log_a(b⁵) = 5x এবং log_b(a³) = 3y হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a(b⁵) = 5x
⇒ 5 × log_a(b) = 5x 
⇒ log_a(b) = x   ................(i)

আবার,
log_b(a³) = 3y
⇒ 3 × log_b(a) = 3y 
⇒ log_b(a) = y   ................(ii)

আমরা জানি, log_b(a) = 1/log_a(b)  [log_m(n) × log_n(m) = 1]
এখন,
xy = loga(b) × logb(a)
⇒ xy = log_a(b) × 1/log_a(b)
∴ xy = 1

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{3x - 4} = (b/a)^{2x - 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{3x - 4} = (b/a)^{2x - 1}
⇒ (a/b)^{3x - 4} = (a/b)^{- (2x - 1)}
⇒ 3x - 4 = - (2x - 1)
⇒ 3x - 4 = - 2x + 1
⇒ 3x + 2x = 1 + 4
⇒ 5x = 5
∴ x = 1

log_x(3/2) = -1/2
x^(-1/2) = 3/2
1/√x = 3/2
3√x = 2 
9x = 4 [উভয় পাশে বর্গ করে]
x = 4/9

2^4y = 256
বা, 2^4y = 2⁸
বা, 4y = 8
বা, y = 2
এখন, 3^y = 3² = 9

Question: log₄(x² - 3x) - log₄(x - 3) = 3, Solve x. 

Solution:

∴ x = 64

দেওয়া আছে, 5^-4
= 1/5⁴
= 1/(5 × 5 × 5 × 5)
= 1/625

³√³√a³
= ³√a^(1/3).3
= ³√a
= a^1/3

3¹⁰ + 3¹⁰ +3¹⁰ = 3^x+1
বা, 3.3¹⁰ = 3^x+1
বা, 3¹¹ = 3^x+1     
বা, x + 1 = 11
∴ x = 10

প্রশ্ন: log₅(1/25) এর মান কত?

সমাধান: 
log₅(1/25)
= log5(1/5²)
= log₅(5^-2)
= - 2

প্রশ্ন: 5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y এর মান কত?

সমাধান:
5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y
= 5^y(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^y . 5¹
= 5^{y + 1}

প্রশ্ন: log_x(0.0001) = - 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(0.0001) = - 4
⇒ x^{- 4} = 0.0001  [log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ x^{- 4} = 1/10000
⇒ x^{- 4} = 1/10⁴
⇒ x^{- 4} = (1/10)⁴
⇒ x^{- 4} = 10^{- 4}
∴ x = 10

4^x + 4^x + 4^x + 4^x
= 4.4^x
= 4^(x+1)
= 2^2(x+1)
= 2^(2x+2)

প্রশ্ন: (5x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো non-zero সংখ্যার ঘাত 0 হলে তার মান হয় 1।

সুতরাং:
(5x)⁰ = 1, যদি 5x ≠ 0, অর্থাৎ x ≠ 0।

কিন্তু যদি:
x = 0 হয়, তাহলে (5 × 0)⁰ = 0⁰, যা অসংজ্ঞায়িত (undefined)।

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

log_ab^m এখানে b হল চলক, a হল ভিত্তি, m হল ঘাত।

প্রশ্ন: log₁₆4 + log_√48 এর মান কত?

সমাধান:
log₁₆4 + log_√48
= log₁₆(16)^1/2 + log₂2³
= (1/2) × log₁₆ 16 + 3 × log₂2
= (1/2) × 1 + 3 × 1
= (1/2) + 3
= (1 + 6)/2
= 7/2

প্রশ্ন: 4^{(x + 1)} = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^{(x + 1)} = 32
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ 2(x + 1) = 5
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: log₁₀(0.001) = ?

সমাধান:
log₁₀(0.001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀(1/10³)
= log₁₀10^{- 3}
= - 3 log₁₀10
= - 3 [log₁₀10 = 1]

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
4^{x + 1} = 32 
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ 2(x + 1) = 5
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

5^x-2 = 1 = 5°
∴ x - 2 = 0 বা, x = 2
এখন, (32)^1/(x+3) = (32)^1/(2+3) = (2⁵)^1/5 = 2

x⁰+y¹+z⁰=1+y+1=y+2

(q/p)^5a-4 = (p/q)^2a+3
⇒ (p/q)^-(5a-4) = (p/q)^2a+3
⇒ -5a + 4 = 2a + 3
⇒ -7a = -1
⇒ a = 1/7

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x = m^p, y = m^q এবং m² = (x^qy^p)^r হয়, তবে pqr = কত?

সমাধান: 
m² = (x^qy^p)^r
বা, m² = {(m^p)^q (m^q)^p}^r
বা, m² = (m^pq . m^pq)^r
বা, m² = m^{(pq + pq)r}
বা, m² = m^2pqr
বা, 2 = 2pqr
বা, 2pqr = 2
বা, pqr = 2/2
∴ pqr = 1

log_x¹²⁵ = 3
বা, x³ = 125 = 5³
∴ x = 5

প্রশ্ন: 2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4 = কত হবে? 

সমাধান:
2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4
= log₂₀(5²) + log₂₀8 + log₂₀(2²)^1/2
= log₂₀25 + log₂₀8 + log₂₀2
= log₂₀(25 × 8 × 2)
= log₂₀400
= log₂₀20²
= 2log₂₀20
= 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

3log2 + log4
= log2³ + log4
= log8 + log4
= log(8×4)
= log32

log₅(0.04)
= log₅(1/25)
= log₅5^-2
= -2 log ₅5
= -2.1
= -2