সূচক ও লগারিদম

log₂256 + log₂32
= log₂2⁸ + log₂2⁵
= 8log₂2 + 5log₂2
= 8.1 + 5.1
= 13

(log √27 + log8 - log √1000) ÷ log1.2
= log(3³)^1/2 + log2³ - log(10³)^1/2 ÷ log12/10
= log3^3/2 + log2³ - log10^3/2 ÷ (log(2²x3) - log10)
= 3/2log3 + 3log2 – 3/2log10 ÷ (2log2+log3-1)
= (3/2(log3+2log2-1)) ÷ (2log2+log3-1)
= 3/2

দেওয়া আছে,
(3²)^x = (3³)^y
বা, 3^2x = 3^3y
বা, 2x = 3y
বা, x/y = 3/2

log‌₂32
= log‌₂2⁵
= 5

প্রশ্ন: (2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1} = ?

সমাধান:
(2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1}
= {(1/2) + (1/5)}^{- 1}
= {(5 + 2)/10}^{- 1}
= (7/10)^{- 1}
= 1/(7/10)
= 1 × 10/7
= 10/7

প্রশ্ন: 17 . 2ⁿ - 2 . 2^{n - 1} = কত?

সমাধান: 
17 . 2ⁿ - 2 . 2^{n - 1}
= 17 . 2ⁿ - 2^{1 + n - 1}
= 17 . 2ⁿ - 2ⁿ
=  2ⁿ (17 - 1)
= 2ⁿ . 16
= 2ⁿ . 2⁴
= 2^{n + 4}

x^-4-0.0001=0
⇒1/x⁴=1/10,000
⇒x=10
⇒x²=100

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন যদি log₂(log⁡₃x) = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₂log₃x = 2
⇒ log₃x = 2²  [log₂X = 2 হলে X = 2²]
⇒ log₃x = 4
⇒ x = 3⁴
∴ x = 81

(625)^1/2 - (4096)^1/3
= (25²)^1/2 - (16³)^1/3
= 25 - 16
= 9
এখন, (625)^1/2 - (4096)^1/3 = 3a
বা, 9 = 3a
∴ a = 3

3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

প্রশ্ন: 1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান:
ধরি, ভিত্তি = a

প্রশ্নমতে,
log_a 1600 = 4
⇒ a⁴ = 1600
⇒ a⁴ = (40)²
⇒ a⁴ = (4 × 10)²
⇒ a⁴ = {(2√10)²}²
⇒ a⁴ = (2√10)⁴
⇒ a = 2√10

অর্থাৎ 1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি হবে 2√10

প্রশ্ন: যদি e^x = 2 এবং e^y = 3, তাহলে e^{3x - 2y} = ?

সমাধান:
এখানে, 
e^{3x - 2y}
= e^3x e^-2y
= (e^x)³ (e^y)^-2
= 2³ . 3^-2
= 8/9

এখানে, (- x)⁴ × (- x)⁶ × x⁰
= x⁴ × x⁶ × x⁰
= x^(4+6+0)
= x¹⁰

(125)^{(2x - 3)/3} = (1/5)^{3x - 6}
বা, (5³)^{(2x - 3)/3} = (5^-1)^{3x - 6}
বা, 5^{2x - 3} = 5^{-3x + 6}
বা, 2x - 3 = -3x + 6
বা, 5x = 9
∴ x = 9/5

2^-3
= 1/2³
= 1/8

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂{√6 × √(2/3)}
= log₂ √(6 × 2/3)
= log₂ √(12/3)
= log₂ √4
= log₂ 2
= 1

প্রশ্ন: 243 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
243 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম
= log_√3243
= log_√33⁵
= 5 × log_√33
= 5 × log_√3(√3)²
= 2 × 5 × log_√3√3
= 2 × 5 × 1  ; [log_aa = 1] 
= 10

(x/2)^a+1 = 1
(x/2)^a+1 = (x/2)⁰
a+1 = 0
a = -1

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: log₂​(8√2​) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
 log_2​(8√2​)
= log₂ (2³ × 2^1/2)
= log₂ (2^{3 + 1/2})
= log₂ (2^{(6 + 1)/2})
= log₂ 2^7/2
= 7/2
= 3.5

∴ log_⁡2(8√2) = 3.5

প্রশ্ন:

সমাধান:
প্রশ্ন:

log₃²⁴³ + log₃²⁷ + log₃⁸¹
= log₃³⁵ + log₃³³ + log₃³⁴
= 5 log₃³ + 3 log₃³ + 4 log₃³
= 5 × 1 + 3 × 1 + 4 × 1 [log_a^a = 1]
= 5 + 3 + 4
= 12

log 11 + log 121 + log 1331 + .........
= log11 + log11² + log11³ + .........
= log11 + 2log11 + 3log11 + .........
= (1 + 2 + 3 + ......... ) × log11
∴ ১ম ১১টি পদের সমষ্টি = [{11(11+1)}/2] × log11
= 66 log11

log₂1024
= log₂2¹⁰
= 10 log₂2
= 10.1
= 10

প্রশ্ন: a² = 9,  b² = 16 হলে (a + b) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² = 9 = 3²
∴ a = 3

এবং, 
b² = 16 = 4²
∴ b = 4

এখন, 
∴ a + b = 3 + 4 = 7

প্রশ্ন: log₂128 এর মান কত?

সমাধান:
log₂128
= log₂2⁷
= 7log₂2
= 7 × 1
= 7

প্রশ্ন: যদি log_x324 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = 81 × 4
⇒ x⁴ = 3⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (3√2)⁴
⇒ x = 3√2
∴ x = 3√2

প্রশ্ন: 4^{log₄3 + log₄6} এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_bM + log_bN = log_b(M × N)

 অতএব, প্রদত্ত রাশি, 4^{log₄3 + log₄6}
= 4^{log₄(3 × 6)}
= 4^log₄18                         
= 18                      [ আমরা জানি, a^log_ax = x]
 
∴ নির্ণেয় মান 18

প্রশ্ন: a^x = b², b^y = c এবং c^z = a হলে xyz এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a^x = b², b^y = c
এবং c^z = a
⇒ (b^y)^z = a  ; [c এর মান বসিয়ে]
⇒ b^yz = a
⇒ b^xyz = a^x   ; [ঘাতে x দ্বারা গুণ করে]
⇒ b^xyz = b²   ; [a এর মান বসিয়ে]
∴ xyz = 2

প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য 72 × 3^{3x - 5} = 2³ × 2⁰ হবে?

সমাধান:
72 × 3^{3x - 5} = 2³ × 2⁰
⇒ 72 × 3^{3x - 5} = 8 × 1
⇒ 72 × 3^{3x - 5} = 8
⇒ 9 × 3^{3x - 5} = 1
⇒ 3² × 3^{3x - 5} = 1
⇒ 3^{2 + 3x - 5} = 1
⇒ 3^{3x - 3} = 3⁰
⇒ 3x - 3 = 0
⇒ 3x = 3
∴ x = 1