সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log₂(2x - 8)⁵ = 25 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂(2x - 8)⁵ = 25
⇒ 5log₂(2x - 8) = 25  ; [loga^b = bloga]
⇒ log₂(2x - 8) = 25/5
⇒ log₂(2x - 8) = 5
⇒ (2x - 8) = 2⁵
⇒ (2x - 8) = 32
⇒ 2x = 32 + 8
⇒ 2x = 40
⇒ x = 40/2
∴ x = 20

প্রশ্ন: (১০০)y^০ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো সংখ্যার শূন্য ঘাত = ১
অর্থাৎ, y^০ = ১ (যেখানে y ≠ ০)

অতএব, (১০০)y^০
= ১০০ × y^০
= ১০০ × ১
= ১০০

y এর মান যাই হোক না কেন (শূন্য ব্যতীত), y^০ সবসময় ১ হবে।
তাই (১০০)y^০ এর মান ১০০ হবে।

log₁₆2
= log₁₆(16)^1/4
= 1/4log₁₆16
= (1/4).1
= 1/4

(2/x)^n-1 = x/2
(2/x)^n-1 = (2/x)^-1
বা, n - 1 = -1
বা, n = -1 + 1
∴ n = 0

log₂32 + log₂8 - log₂64
= log₂2⁵ + log₂2³ - log₂2⁶
= 5 log₂2 + 3 log₂2 - 6 log₂2
= 5 × 1 + 3 × 1 - 6 × 1 [log a^a = 1]
= 5 + 3 - 6
= 2

প্রশ্ন: 81 × (√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান:

3.2ⁿ - 4.2^n-2
= 3.2ⁿ - 2².2^n-2
= 3.2ⁿ - 2^2+n-2
= 3.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (3-1)
= 2ⁿ × 2
= 2ⁿ⁺¹

প্রশ্ন: 9^{2x - 5} = 1/27 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
9^{2x - 5} = 1/27
⇒ (3²)^{2x - 5} = 1/3³
⇒ 3^{4x - 10} = 3^-3
⇒ 4x - 10 = - 3
⇒ 4x = - 3 + 10
⇒ 4x = 7
∴ x = 7/4

প্রশ্ন: যদি 2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320 হয়, তাহলে n = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320
⇒ 2^{n - 1} + 2^{n - 1 + 2} = 320
⇒ 2^{n - 1} + 2^{n - 1}⋅2² = 320
⇒ 2^{n - 1} + 4⋅2^{n - 1} = 320
⇒ 2^{n - 1}(1 + 4) = 320
⇒ 2^{n - 1}⋅5 = 320
⇒ 2^{n - 1} = 320/5 = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

4^{(x + 1)} = 64
⇒ 2^{(2x + 2)} = 2⁶
⇒ 2x + 2 = 6
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

3^{2x - 1} = 3a^{2x - 2}
বা, 3^{2x - 1}/3a^{2x - 2} = 1
বা, 3^{2x - 2}/a^{2x - 2} = 1
বা, (3/a)^{2x - 2} = (3/a)⁰
বা, 2x - 2 = 0
বা, 2x = 2
∴ x = 1

Log₁₀ 5 + log₁₀ (5x + 1) = log₁₀ (x + 5) + 1
⇒ log₁₀ 5 + log₁₀ (5x + 1) = log₁₀ (x + 5) + log₁₀ 10
⇒ log₁₀ [5(5x + 1)] = log₁₀ [10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3

প্রশ্ন: log4 + log16 + log64 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log4 + log16 + log64 + ......... প্রথম 10টি পদের সমষ্টি
= log4 + log4² + log4³ + ......... + log4¹⁰
= log4 + 2log4 + 3log4 + ......... + 10log4
= (1 + 2 + 3 + ......... + 10)log4
= {10(10 + 1)/2} log4 [n সংখ্যক স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2]
= {(10 × 11)/2} log4
= 55 × log4
= 55log4

(2n)ⁿ = n²ⁿ
বা, 2ⁿ.nⁿ = n²ⁿ
বা, 2ⁿ = n^{2n - n}
বা, 2ⁿ = nⁿ
বা, n = 2
∴ m = 4

দেওয়া আছে,
2^(2x-10) = 3^(2x-10)
বা, 2^(2x-10)/3^(2x-10) = 1
বা, (2/3)^(2x-10) = 1
বা, (2/3)^(2x-10) = (2/3)⁰
বা, 2x-10 = 0
বা, 2x = 10
বা, x = 10/2
বা, x = 5

প্রশ্ন: 16^{x - 1} = 8^{x + 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
16^{x - 1} = 8^{x + 1}
⇒ 2^{4(x - 1)} = = 2^{3(x + 1)}
⇒ 4(x - 1) = 3(x + 1)
⇒ 4x - 4 = 3x + 3
⇒ 4x - 3x = 3 + 4
∴ x = 7

প্রশ্ন: log₁₀(x - 10) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀(x - 10) = 1
⇒ x - 10 = 10¹
⇒ x = 10 + 10
∴ x = 20

দেওয়া আছে,
x = 6(m+2) এবং y = 6(m-2)
এখন, log6(x/y)
= log6{6(m+2)/6(m-2)}
= log66(m+2-m+2)
= log664
= 4 log66
= 4 × 1
= 4

প্রশ্ন: (81)^0.3 × (81)^0.2  =?

2^x+7 = 4^x+2
বা, 2^x+7 = 2^2x+4
বা, x+7 = 2x + 4
∴ x = 3

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{- (x - 1)}
⇒ 2x - 5 = - (x - 1)
⇒ 2x - 5 = - x + 1
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: log₉(3/27) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/27)
= log₉(1/9)
= log₉(9^-1)
= - 1 × log₉9 [log_a(M)ⁿ = n.log_aM]
= - 1 × 1 [log_aa = 1]
= - 1

প্রশ্ন: log(a²/bc) + log(b²/ca) + log(c²/ab) = ?

সমাধান:
আমরা জানি, log(m/n) = log(m) - log(n) এবং log(m^p) = plog(m)
সুতরাং,
log(a²/bc) + log(b²/ca) + log(c²/ab)
= (log a² - log bc) + (log b² - log ca) + (log c² - log ab)
= (2log a - log b - log c) + (2log b - log c - log a) + (2log c - log a - log b)
= 2log a - log b - log c + 2log b - log c - log a + 2log c - log a - log b
= (2log a - log a - log a) + (- log b + 2log b - log b) + (- log c - log c + 2log c)
= 0 + 0 + 0
= 0

প্রশ্ন: log_ax = 2, log_ay = 3 এবং log_az = 4 হলে, log_a(x⁵y³/z²) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log_a(x⁵y³/z²)
= log_a(x⁵y³) - log_az²
= log_ax⁵ + log_ay³ - log_az²
= 5log_ax + 3log_ay - 2log_az
= (5 × 2) + (3 × 3) - (2 × 4) 
= 10 + 9 - 8
= 11

6log3 - log9
= 6log3 - log3²
= 6log3 - 2log3
= 4log3
= log3⁴
= log81

প্রশ্ন: log_x4 = - 2 হলে x = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log_x4 = - 2
⇒ 4 = x^{- 2}
⇒ 4 = 1/x²
⇒ x² = 1/4
⇒ x² = (1/2)²
∴ x = 1/2

log 3 + log 9 + log 27 + ……… ১০ম পদ পর্যন্ত
= log 3 + log3² + log3³ + log3⁴ + …… + log3¹⁰
= log 3 + 2log3 + 3log3 + 4log3 + …… + 10log3
= log3 × {1+2+3+4+ …… + 10}
= log3 × {(10(10+1))/2}
= 55 × log3
= log3⁵⁵

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂16 + 4log₃27 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂16 + 4log₃27
= 2log₅5² + 3log₂2⁴ + 4log₃3³
= 2 × 2 . log₅5 + 3 × 4 . log₂2 + 4 × 3 . log₃3 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= 4 + 12 +12 [log_aa = 1]
= 28