সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: log₄(2/512) এর মান কত?

সমাধান:
log₄(2/512)
= log₄(1/256)
= log₄(1/4⁴)
= log₄(4^-4)
= - 4 log₄4  [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 × 1
= - 4

∫(1/x²)dx
= ∫x^-2dx
= [x^(-2+1)/(-2+1)] + c
= - (x-¹ ) + c
= - (1/x) + c

প্রশ্ন: log₃(1/27) = কত? 

সমাধান: 
log₃(1/27)
= log₃(1/3³)
= log₃3^{- 3} [∵ 1/a³ = a^{- 3}]
= - 3 × log₃3
= - 3 × 1 [∵ log_aa = 1]
= - 3

ab/x = √a
x.√a = ab
x = ab/√a
x = (√a. √a.b)/√a
x = √a.b

প্রশ্ন: x^-2 = 1/4 হলে 13^x এর মান নির্ণয় কর?

সমাধান:
x^-2 = 1/4
বা, 1/x² = 1/4
বা, x² = 4
বা, x = 2

13^x এর মান 13² = 169

x√0.04 = 2
বা, x²(0.04) = 4 [বর্গ করে]
বা, 4x² = 400 [100 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 100
∴ x = 10

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{2x - 3} থাকে, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{2x - 3}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{-(2x - 3)}
⇒ 2x - 5 = -(2x - 3)
⇒ 2x - 5 = - 2x + 3
⇒ 2x + 2x = 3 + 5
⇒ 4x = 8
∴ x = 2

প্রশ্ন: 3^x​/9 = 27 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^x​/9 = 27
⇒ 3^x/3² = 3³
⇒ 3^{x - 2} = 3³
⇒ x - 2 = 3
⇒ x = 3 + 2
∴ x = 5

প্রশ্ন: (5ⁿ⁺² + 35 × 5^n-1)/(8 × 5ⁿ) এর মান কত?

সমাধান: 
(5ⁿ⁺² + 35 × 5^n-1)/(8 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 5² + 7 × 5 × 5^{n - 1})/(8 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 25 + 7 × 5^{1 + n - 1})/(8 × 5ⁿ)
= (5ⁿ. 25 + 7 × 5ⁿ)/(8 × 5ⁿ)
= 5ⁿ(25 + 7)/(8 × 5ⁿ)
= 32/8
= 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি 10^2x = 1000 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
10^2x = 1000
⇒ 10^2x = 10³
⇒ 2x = 3 
 ⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: 9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

সমাধান: 
ধরি, 
9³ × 81² ÷ 27³ = 3^a
⇒ (3²)³ × (3⁴)² ÷ (3³)³ = 3^a
⇒ 3⁶ × 3⁸ ÷ 3⁹ = 3^a
⇒ 3^{6 + 8 - 9} = 3^a
⇒ 3⁵ = 3^a
∴ a = 5 

প্রশ্ন: (100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ [আমরা জানি, a⁰ =1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (100 × 1) + 1
= 1 + 100 + 1
= 102

2^x + 2^x + 2^x + 2^x = 1
বা, 4.2^x = 1
বা, 2².2^x = 2°
বা, 2^{x + 2} = 2⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = -2

প্রশ্ন: যদি (√2)^{3x + 1} = 16 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(√2)^{3x + 1} = 16
⇒ (2^1/2)^{3x + 1} = 2⁴
⇒ 2^{(3x + 1)/2} = 2⁴
⇒ (3x + 1)/2 = 4
⇒ 3x = 8 - 1
⇒ 3x = 7
⇒ x = 7/3

প্রশ্ন: (1/2)^x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(1/2)^x = 1
⇒ (1/2)^x = (1/2)⁰
∴ x = 0

3^x + 3^x + 3^x
= 3.3^x 
= 3^x+1 

প্রশ্ন: log_mn² = 4a এবং log_nm³ = 6b হলে, ab = কত?

সমাধান: 
log_mn² = 4a
⇒ 2log_mn = 4a
⇒ log_mn = 2a

আবার,
log_nm³ = 6b
⇒ 3log_nm = 6b
⇒ log_nm = 2b

আমরা জানি,
log_mn = 1/log_nm
⇒ 2a = 1/2b
⇒ 2a × 2b = 1
⇒ 4ab = 1
∴ ab = 1/4 

X^(x√x) = (X√X)^x
X^(x√x) = (X¹X^1/2)^x
X^(x√x) = (X^3/2)^x
((X^x)^√x) = (X^x)^3/2
√x = 3/2
X = (3/2)²
X = 9/4

সমাধান:
3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)}
⇒3^{(a + 6)} = 3^{2(a+ 4)}
⇒ a + 6 = 2(a + 4)
⇒ a + 6 = 2a + 8
⇒ 2a - a = 6 - 8
⇒ a = - 2

প্রশ্ন: [log₁₀(5 log₁₀100)]² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
[log₁₀ (5 log₁₀100)]²
= [log₁₀ (5 log₁₀10²)]²
= [log₁₀ (5 × 2 log₁₀10)]²
= [log₁₀10]²
= [1]²
= 1

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_a1 = 0 ?

সমাধান:

log₅125 + log₂8
= log₅5³ + log₂2³
= 3 log₅5 + 3 log₂2
= 3 + 3
= 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (a/b)^{p - 5} = (b/a)^{p - 7} হয়, তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{p - 5} = (b/a)^{p - 7}
⇒(a/b)^{p -5} = (a/b)^{7 - p} [(a/b)ⁿ = (b/a)^{- n}]
⇒ p - 5 = 7 - p
⇒ p + p = 7 + 5
⇒ 2p = 12
⇒ p = 12/2
∴ p = 6