সূচক ও লগারিদম

x⁰ + y⁰ + z¹
= 1 + 1 + z
= 2 + z

প্রশ্ন: 3^x + 3^x + 3^x = ?

সমাধান:
3^x + 3^x + 3^x = 3 × 3^x
3 × 3^x =3¹ × 3^x = 3 ^{x + 1}
∴ 3^x + 3^x + 3^x = 3 ^{x + 1}

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন:

সমাধান:

দেওয়া আছে, 5^(2x-6) = 7^(2x-6)
বা, 5^(2x-6)/7^(2x-6) = 1
বা, (5/7)^(2x-6) = 1
বা, (5/7)^(2x-6) = (5/7)⁰
বা, 2x - 6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি, 
2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 
= log₁₀5² + log₁₀6² - log₁₀3²
= log₁₀25 + log₁₀36 - log₁₀9
= log₁₀(25 × 36) - log₁₀9
= log₁₀{(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10 ;[log_aa = 1]
= 2

2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 4.2^x
= 2².2^x
= 2^(2+x)
= 2^(x+2)

প্রশ্ন: যদি log_n3 = a এবং log_n5 = b হয়, তবে log_n(75/9) = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log_n3 = a এবং log_n5 = b

প্রদত্ত রাশি, 
log_n(75/9)
= log_n{(3 × 25)/9}
= log_n(25/3)
= log_n25 - log_n3
= log_n5² - log_n3
= 2log_n5 - log_n3
= 2b - a

প্রশ্ন: x ^{- 5} - 0.00001 = 0 হলে, x³ এর মান কত?

সমাধান:
x ^{- 5} - 0.00001 = 0
বা, 1/x⁵ = 0.00001
বা, 1/x⁵ = 1/100000
বা, (1/x)⁵ = (1/10)⁵
বা, 1/x = 1/10
বা, x = 10
বা, x³ = 10³
x³ = 1000

5^x+2 = 625
বা, 5^x+2 = 5⁴
বা, x + 2 = 4
বা, x - 2 = 0

∴ 7^x-2
= 7°
= 1

প্রশ্ন: 5^{2x + 1} = 125^{x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x + 1} = 125^{x - 1}
⇒ 5^{2x + 1} = (5³)^{x - 1}
⇒ 5^{2x + 1} = 5^{3x - 3}
⇒ 2x + 1 = 3x - 3
⇒ 2x - 3x = - 3 - 1
⇒ - x = - 4
∴ x = 4

4^{(x + 1)} = 64
or, (2²)^{(x + 1)} = 2⁶
or, 2^{(2x + 2)} = 2⁶
or, 2x + 2 = 6
or, 2x = 4
or, x = 2

প্রশ্ন: যদি log₄[log₃(log₂b)] = 0, তাহলে b এর মান কত?

সমাধান:
log₄[log₃(log₂b)] = 0
⇒ log₃(log₂b) = 4⁰ [সূত্র: log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₃(log₂b) = 1
⇒ log₂b = 3¹ [সূত্র: log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₂b = 3
⇒ b = 2³ [সূত্র: log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ b = 8
∴ b = 8

{(x^p/x^q)^p+q} {(x^q/x^r)^q+r} {(x^r/x^p)^r+p}
= (x^p-q)^p+q (x^q-r)^q+r (x^r-p)^r+p
= x^p2-q2 × x^q2-r2 × x^r2-p2
= x^{p2-q2+q2-r2+r2-p2}
= x⁰
= 1

প্রশ্ন: Log_√381 + Log₅5√5 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
Log_√381 + Log55√5
= Log_√3(√3)⁸ + Log₅(5¹ × 5^1/2) ; [3⁴ = 81, (√3)⁸ = 81]
= 8Log_√3√3 + Log₅5^{(1 + 1/2)} ; [Log_aa = 1]
= 8 + (3/2)
= (16 + 3)/2
= 19/2

প্রশ্ন:4^{x + 4} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
4^{x + 4} = 32
(2²)^{x + 4} = 2⁵
2^{2x + 8} = 2⁵
2x + 8 = 5
2x = 5 - 8
2x = - 3
x = - 3/2

বা, 15/(3^-1) = 9^{n - 1} × 5^{n - 1}
বা, (3 × 5)/(3^-1) = (9 × 5)^{n - 1}
বা 3^{1 + 1} × 5 = (45)^{n - 1}
বা, 3² × 5 = (45)^{n - 1}
বা, (45)^{n - 1} = 45 = (45)¹
বা, n - 1 = 1
∴ n = 2

ধরি, a^1/x = b^1/y = c^1/z = k
a = K^x, b = K^y, c = K^z
abc = K^x K^y K^z = K^x+y+z
দেওয়া আছে, abc = 1
K^x+y+z = 1
K^x+y+z = k⁰
x+y+z = 0

প্রশ্ন: যদি 8x^{- 2} = 2/25 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x^{- 2} = 2/25
⇒ x^{- 2} = 2/(25 × 8)
⇒ x^{- 2} = 1/(25 × 4)
⇒ x^{- 2} = 1/100 
⇒ 1/x² = 1/100
⇒ x² = 100 = 10² 
∴ x = 10 

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে m^{(a + b)} = ? 

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
⇒ a + b = 1 

এখন,
m^{(a + b)}
= m¹
= m

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log(a + b) = lag 1
∴ a + b = 1

(10x²)⁰ = (10x²)⁰ = 1 [As, a⁰ = 1]

প্রশ্ন:

সমাধান:

log_৩৭২৯
= log_৩৩^৬
= ৬log_৩৩
= ৬ × ১
= ৬