সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49
=2log₅(5²) + 3log₂(2⁵) + 4log₇(7²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 5log₂2 + 4 × 2log₇7 [log_a(M)ⁿ = n.log_aM]
= 4 + 15 + 8  [log_aa = 1]
= 27

প্রশ্ন: যদি (625)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(625)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
⇒ 5^{4(2x + 3)} = 5^{3x + 6}
⇒ 4(2x + 3) = 3x + 6
⇒ 8x + 12 = 3x + 6
⇒ 8x - 3x = 6 - 12
⇒ 5x = -6
∴ x = -6/5

প্রশ্ন: log₁₀(x² - 8x + 17) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log₁₀(x² - 8x + 17) = 0
⇒ x² - 8x + 17 = 10⁰
⇒ x² - 8x + 17 = 1
⇒ x² - 8x + 16 = 0
⇒ x² - 2 . x . 4 + 4² = 0
⇒ (x - 4)² = 0
⇒ x - 4 = 0
∴ x = 4

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
⇒ 5^{2(2x + 3)} = 5^{3x + 6}
⇒ 2(2x + 3) = 3x + 6
⇒ 4x + 6 = 3x + 6
⇒ 4x - 3x = 6 - 6
⇒ x = 0

a^-3 = 0.2 = 2/10 = 1/5 = 5^-1
বা, a³ = 5
বা, a⁹ = 5³
= 125

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: log₃√54 + log₃√(3/2) = ?

সমাধান:
log₃√54 + log₃√(3/2)
= log₃√(54) × √(3/2) [log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)] 
​= log₃√(54 × 3/2)
= log₃√(162/2)
= log₃(√81)
= log₃(9)
= log₃(3²)
= 2 log₃3
​= 2 × 1
​= 2

প্রশ্ন: (√2)^{(x + 1)} = 16 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(√2)(x + 1) = 16
⇒ (2^1/2)^{(x + 1)} = 2⁴
⇒ (x + 1)/2 = 4
⇒ x + 1 = 8
⇒ x = 8 - 1
∴ x = 7

log₁₀0.01
= log₁₀1/100
= log₁₀1/10²
= log₁₀10^-2
= -2log₁₀10
= -2.1
= -2 

প্রশ্ন: যদি log⁡₂(x) + log⁡₂(x - 2) = 3 হয়, তবে x এর মান কত?  

সমাধান:
log⁡₂x + log⁡₂(x - 2) = 3
⇒ log⁡₂[x × (x - 2)] = 3 (লগের যোগের নিয়ম)
⇒ x(x - 2) = 2³
⇒ x(x - 2) = 8
⇒ x² - 2x = 8
⇒ x² - 2x - 8 = 0
⇒ x² - 4x + 2x - 8 = 0
⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 2) = 0
⇒ x = 4 বা x = - 2

লগারিদমের জন্য x > 0, তাই x = - 2 বাতিল।
∴ x = 4

(³√5 × √2)⁶/³√512
= (5^1/3 × 2^1/2)⁶/³√8³
= (5² × 2³)/8
= (25 × 8)/8
= 25

প্রশ্ন: log_x(1296) = 4 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x(1296) = 4
বা, x⁴ = 1296
বা, x⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2
বা, x⁴ = 3⁴ × 2⁴
বা, x⁴ = (3 × 2)⁴
বা, x⁴ = (6)⁴
∴ x = 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_x(1/32) = - 5/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/32) = - 5/2 [log_aM = c হলে, a^c = M]
বা, x^{- 5/2} = 1/32
বা, 1/(x^5/2) = 1/32
বা, x^5/2 = 32
বা, (x^1/2)⁵ = 32
বা, (√x)⁵ = 2⁵
বা, √x = 2
বা, x = 2² [বর্গ করে]
∴ x = 4

প্রশ্ন: log₃√12 + log₃√(3/4) = কত?

সমাধান:
log₃√12 + log₃√(3/4)
= log₃(12)^1/2 + log₃(3/4)^1/2
= (1/2) × log₃12 + (1/2) × log₃(3/4)
= (1/2) × {log₃12 + log₃(3/4)}
= (1/2) × log₃(12 × 3/4)
= (1/2) × log₃9
= (1/2) × log₃3²
= (1/2) × 2 log₃3
= log₃3
= 1

প্রশ্ন: 3log₄16 + 2log₂8 + 4log₃81 এর মান কত?

সমাধান:
3log₄16 + 2log₂8 + 4log₃81
= 3log₄4² + 2log₂2³ + 4log₃3⁴
= 6log₄4 + 6log₂2 + 16log₃3 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= 6 + 6 + 16  [log_aa = 1]
= 28

log₂¹²⁸
= log₂²⁷
= 7 log₂²
= 7 × 1 [log₂² = 1]
= 7

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 4} = 5^{3x + 9} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ (25)^{2x + 4} = 5^{3x + 9}
⇒ (5²)^{2x + 4} = 5^{3x + 9}
 ⇒ 5^{4x + 8} = 5^{3x + 9}
 ⇒ 4x + 8 = 3x + 9
⇒ 4x - 3x = 9 - 8
∴ x = 1

log₂1024 + log₄1024 = log₂2¹⁰ + log₄4⁵
= 10 log₂2 + 5 log₄4
= 10 + 5 = 15

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₅(125²)^1/3
= log₅(125)^2/3
= (2/3)log₅125
= (2/3)log₅5³
= (2/3) × 3 
= 2

প্রশ্ন: log₁₀7 = a হলে, log₁₀(1/70) এর মান কত?

সমাধান:
   log₁₀(1/70)
= log₁₀(1) - log₁₀(70)
= 0 - log₁₀ (7 × 10)
= - log₁₀(7) - log₁₀(10)
= - a - 1
= - (1 + a)

দেওয়া আছে,
5^{(2x - 6)} = 7^{(2x - 6)}
বা, 5^{(2x - 6)}/7^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = (5/7)⁰
বা, 2x - 6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

প্রশ্ন: (225)^0.1 × (225)^0.4 এর মান কত?

সমাধান:
(225)^0.1 × (225)^0.4
= (225)^{0.1 + 0.4}
= (225)^0.5
= √225
= 15

(√3)⁸ 
= 3^1/2×8
= 3⁴
= 81

প্রশ্ন: log₂256 + log₂32 এর মান কত?

সমাধান:
log₂256 + log₂32
= log₂2⁸ + log₂2⁵
= 8 log₂2 + 5 log₂2
= (8 × 1) + (5 × 1)
= 8 + 5
= 13

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log₁₀(x + 4) = log₁₀x + log₁₀4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₁₀(x + 4) = log₁₀x + log₁₀4
⇒ log₁₀(x + 4) = log₁₀(x × 4)
⇒ log₁₀(x + 4) = log₁₀4x
⇒ x + 4 = 4x
⇒ 3x = 4
∴ x = 4/3

প্রশ্ন: 3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)} হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)}
⇒3^{(a + 6)} = 3^{2(a+ 4)}
⇒ a + 6 = 2(a + 4)
⇒ a + 6 = 2a + 8
⇒ 2a - a = 6 - 8
⇒ a = - 2

প্রশ্ন: 6^{2x - 1}= 216 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
6^{2x - 1}= 216
বা, 6^{2x - 1}= 6³
বা, 2x - 1 = 3
বা, 2x = 3 + 1
বা,  2x = 4
বা, x = 4/2
∴ x = 2

log_ba².log_cb².log_ac²
= 2log_ba.2log_cb.2log_ac
= 8 × log_ba(log_cb × log_ac)
= 8 × log_ba × log_ab [যেহেতু, log_bm × log_ab = log_am]
= 8 × 1 
= 8

প্রশ্ন: 3log₂(8) + 4log₃(27) + 5log₅(25) এর মান কত?

সমাধান:
3log₂(8) + 4log₃(27) + 5log₅(25)
= 3 × log₂(2³) + 4 × log₃(3³) + 5 × log₅(5²)
= 3 × 3 × log₂(2) + 4 × 3 × log₃(3) + 5 × 2 × log₅(5) [∵log_a(Mⁿ) = nlog_a(M)]
= (3 × 3 × 1) + (4 × 3 × 1) + (5 × 2 × 1)   [∵log_a(a) = 1]
= 9 + 12 + 10
= 31

প্রশ্ন: log₁₀2 + 2log₁₀5 - log₁₀3 - 2log₁₀7 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₀2 + 2log₁₀5 - log₁₀3 - 2log₁₀7
= log₁₀2 + log₁₀5² - log₁₀3 - log₁₀7²
= log₁₀2 + log₁₀25 - log₁₀3 - log₁₀49
= (log₁₀2 + log₁₀25) - (log₁₀3 + log₁₀49)
= log₁₀(2 × 25) - log₁₀(3 × 49)  ; [log_xa + log_xb = log_xab]
= log₁₀50 - log₁₀147
= log₁₀(50/147)  ; [log_xa - log_xb = log_x(a/b)]

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত? 

সমাধান: 
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂{√6 × √(2/3)} 
= log₂{(√6 × √2)/√3}
= log₂{(√3 × √2 × √2)/√3}
= log₂(√2 × √2)
= log₂(√2)²
= log₂2
= 1

প্রশ্ন: log_√232 + log₃9√3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log_√232 + log₃9√3
= log_√22⁵ + log₃(3² × 3^1/2)
= 5 log_√22 + log₃3^{(2 + 1/2)}
= 5 log_√2(√2)² + log₃3^(5/2)
= 10 log_√2(√2) + (5/2)log₃3.   ; [log_aa = 1]
= 10 + (5/2)
= (20 + 5)/2
= 25/2

3^x+2 = 243
⇒ 3^x+2 = 3⁵
⇒ x + 2 = 5
⇒ x = 3
∴ 3³⁻⁴ = 3^-1 = 1/3