সূচক ও লগারিদম

a^x = b^y
a^x/x = b^y/x (উভয় পাশে 1/x ঘাত নিয়ে)
a = b^y/x
আবার, b^y = c^z
c^z/z = b^y/z (উভয় পাশে 1/z ঘাত নিয়ে)
c = b^y/z

b² = ac
b² = b^y/x.b^y/z (মান বসিয়ে)
b² = b^{y/x + y/z}
2 = y/x + y/z
2 = y(1/x + 1/z)
(1/x + 1/z) = 2/y

দেওয়া আছে, log_a √2 = 1/6
সুতরাং, a^(1/6) = √2
বা, a^(1/6) = 2^(1/2)
বা, a^(6/6) = 2^(6/2)
বা, a = 2³
সুতরাং, a^(1/3) = 2^3×(1/3)
বা, a^(1/3) = 2¹
বা, a^(1/3) = 2

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 81 হয়,  তাহলে 10^{x - 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^{x + 2} = 81
⇒ 3^{x + 2} = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 4 - 2
∴ x = 2

প্রদত্ত রাশি, 
10^{x - 2}
= 10^{2 - 2}
= 10⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি 2^4b = 256 হয়, তবে (√3)^b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2^4b = 256
⇒ 2^4b = 2⁸
⇒ 4b = 8
⇒ b = 8/4
∴ b = 2

প্রদত্ত রাশি,
= (√3)^b
= (√3)²
= 3

প্রশ্ন: (2x^-1)² ÷ x^{- 5} = ? 

সমাধান:
(2x^-1)² ÷ x^{- 5}
= (2/x)² × (1/x^{- 5})
= (4/x²) × (x⁵)
= 4x³

লাইভ পরীক্ষার সময় প্রশ্নের x⁵ এর পরিবর্তে x^{- 5} সংশোধন করে দেওয়া হয়েছে। 

প্রশ্ন: (81)^0.45 × (81)^0.30 = ?

সমাধান:
(81)^0.45 × (81)^0.30
= (81)^{(0.45 + 0.30)}
= (81)^0.75
= (81)^75/100
= (81)^3/4
= (3⁴)^(3/4)
= 3³
= 27

প্রশ্ন: 2log₈2 + log₈6 + log₈5 = কত?

সমাধান:
2log₈2 + log₈6 + log₈5
= log₈2² + log₈6 + log₈5
= log₈4 + log₈5 + log₈6
= log₈(4 × 5 × 6)
=log₈120

(ab + b²)/ab ÷ (a + b)/a
= b(a + b)/ab × a/(a + b)
= 1

³√³√a³
= ³√a
= a^1/3

আমরা জানি, a⁰ = 1
∴ 5⁰ = 7⁰
প্রশ্নমতে, 4x - 2 = 0
⇒ x = 2/4 = 1/2

প্রশ্ন: (20x)⁰ + 20x⁰ + (20x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(20x)⁰ + 20x⁰ + (20x)⁰   [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (20 × 1) + 1
= 1 + 20 + 1
= 22

প্রশ্ন: যদি log₁₀ [98+ √(x² - 12x + 36 ] = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log10 [98+ √(x² - 12x + 36 ] = 2
⇒ 98 + √(x² - 12x + 36) = 10² = 100
⇒ √(x² - 12x + 36) = 100 - 98 = 2
⇒ √(x² - 12x + 36) = 2
⇒ x² - 12x + 36 = 4 ; [বর্গ করে]
⇒ x² - 12x + 32 = 0
⇒ x² - 8x - 4x + 32 = 0
⇒ (x - 4)(x - 8) = 0
হয়,
x - 4 = 0
∴ x = 4
অথবা,
x - 8 = 0
∴ x = 8

সুতরাং, x এর মান 4 অথবা 8

log√32^x = 5(1/5) = 26/5
বা, x = (√32)^26/5
বা, x = {(32)^1/2}^26/5
= {(2⁵)^1/2}^26/5
= 2^5×1/2×26/5
= 2¹³

প্রশ্ন: যদি log⁡(a/b) + log⁡(b) = log(9) হয়, তবে a = ?

সমাধান:
log⁡(a/b) + log⁡(b) = log(9)
⇒ log(a/b × b) = log(9)
⇒ log(a) = log(9)
⇒ a = 9

প্রশ্ন: যদি a এবং b পূর্ণ সংখ্যা এবং a^b = 121 হয়, তাহলে (a - 1)^{b + 1} = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a^b = 121
a^b = 11²
যেখানে, 
a = 11 এবং b = 2

প্রদত্ত রাশি, 
(a - 1)^{b + 1}
= (11 - 1)^{2 + 1}  [a ও b এর মান বসিয়ে পাই]
= 10³
= 1000

প্রশ্ন: log_x √512 = 3/2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x √512 = 3/2
⇒ (1/2) log_x 512 = 3/2
⇒ log_x 512 = 3
⇒ x³ = 512
⇒ x³ = 8³
∴ x = 8

প্রশ্ন: (81)^0.2 × (81)^0.05 = ?

সমাধান:
(81)^0.2 × (81)^0.05 
= (81)^{0.2 + 0.05}
= (81)^0.25
= (81)^1/4
= (3⁴)^1/4
= (3)^{4 × 1/4}
= 3¹
= 3

প্রশ্ন: log₄(8/128) এর মান কত?

সমাধান:
log₄(8/128)
= log₄(1/16)
= log₄(16^{- 1})
= log₄(4²)^{- 1}
= log₄(4^{- 2})
= - 2 × log₄(4)  [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1 [log_a(a) = 1]
= - 2

প্রশ্ন: log₅125 = কত?

সমাধান:
∴ log₅125
= log₅(5³)
= 3 × log₅5
= 3 × 1
= 3

প্রশ্ন: যদি log_x324 = 4 হয়, তবে X এর মান হবে: 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = 81 × 4
⇒ x⁴ = 3⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (3√2)⁴
∴ x = 3√2

ধরি, ভিত্তি a
প্রশ্নমতে, log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (20)²
বা, a⁴ = (4 × 5)²
বা, a⁴ = 2⁴ (√5)⁴
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5
∴ ভিত্তি a = 2√5

প্রশ্ন: log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + 1
⇒ log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + log₁₀10
⇒ log₁₀{2(b + 2)} = log₁₀{10(b - 1)}
⇒ 2(b + 2) = 10(b - 1)
⇒ 2b + 4 = 10b - 10
⇒ 4 + 10 = 10b - 2b
⇒ 14 = 8b
⇒ b = 14/8
∴ b = 7/4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

x^x∜x = (x∜x)^x 
বা, x^{(1 + 1/4)} = (1 + 1/4)x
বা, x^5/4 = 5x/4
বা, (x^5/4)x= 5/4
বা, x^1/4 = 5/4
∴ x = (5/4)⁴ = 625/256

5log₁₀5 - log₁₀25
= log₁₀5⁵ - log₁₀5²
= log₁₀(5^5-2)
= log₁₀5³
= log₁₀125

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
⇒ (5²)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
⇒ 5^{4x + 6} = 5^{3x + 6}

∴ 4x + 6 = 3x + 6
⇒ 4x - 3x = 6 - 6
∴ x = 0

প্রশ্ন: যদি log_x2 = a এবং log_x3 = b হয়, তাহলে log_x72 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, log_x2 = a এবং log_x3 = b
log_x72
= log_x(8 × 9)
= log_x(2³ × 3²)
= log_x(2³) + log_x(3²) [log(mn) = logm + logn]
= 3log_x2 + 2log_x3
= 3a + 2b [মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: log_a(1/216) = - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(1/216) = - 3
⇒ a^{- 3} = 1/216
⇒ a^{- 3} = 1/6³
⇒ a^{- 3} = 6^{- 3}
∴ a = 6

10^{x + 2} = 10000
বা, 10^{x + 2} = 10⁴
বা, x + 2 = 4
∴ x = 2
∴ 2^{x + 3} = 2^{2 + 3}
= 2⁵
= 32

প্রশ্ন: যদি 5√5 × 5³ ÷ 5^-3/2 = 5^{a + 2} হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান: 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 81^0.15 × 81^0.10 = ?

সমাধান:
81^0.15 × 81^0.10
= 81^{0.15 + 0.10}
= 81^0.25
= (3⁴)^0.25
= (3⁴)^1/4
= 3¹
= 3

প্রশ্ন: log_m(n³) = 3p এবং log_n(m³) = 3q হলে, pq = কত?

সমাধান:
log_m(n³) = 3p
⇒ 3 × log_m(n) = 3p [log_b(a^k) = k log_b(a)]
⇒ log_m(n) = p

আবার,
log_n(m³) = 3q
⇒ 3 × log_n(m) = 3q 
⇒ log_n(m) = q

∴ pq = log_m(n) × log_n(m)
= 1  [log_b(a) × log_a(b) = 1]

এখানে, (12)^-1/2 × ³√54
= (4 × 3)^-1/2 × (27 × 2)^1/3
= (2² × 3)^-1/2 × (3³ × 2)^1/3
= (2^-1 × 3^-1/2) × (3 × 2^1/3)
= (2^-1+1/3) × (3^1-1/2)
= (2^-2/3) × (3^1/2)
= (3^1/2) / (2^2/3)
= (3^1/2) / (4^1/3)
= √3 / ³√4