সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: log_xy⁴ = 4a এবং log_yx³ = 3b হলে, ab = কত?

সমাধান:
log_xy⁴ = 4a
⇒ 4log_xy = 4a
⇒ log_xy = a ......(1)

আবার,
log_yx³ = 3b
⇒ 3log_yx = 3b
⇒ log_yx = b .......(2)

আমরা জানি,
log_xy × log_yx = 1

∴ ab = a × b
= log_xy × log_yx
= 1

প্রশ্ন: 9^{2a + 1} = 27 হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
9^{2a + 1} = 27
⇒ (3²)^{2a + 1} = 3³
⇒ 3^{4a + 2} = 3³
⇒ 4a + 2 = 3
⇒ 4a = 3 - 2
⇒ 4a = 1
∴ a = 1/4

= (a^l - ^m)ⁿ . (a^m - ⁿ)^l . (aⁿ - ^l)^m
= a^{ln - mn} .a^{ml - nl} . a^{nm - lm}
= a^{ln - mn + ml - nl + nm - lm}
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি log₈p + log₈(1/6) = 1/3 হলে p এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
log₈p +  log₈(1/6) = 1/3
⇒ log₈(p/6) = 1/3
⇒ p/6 = 8^1/3
⇒ p/6 = (2³)^1/3
⇒ p/6 = 2
∴ p = 12

প্রশ্ন: 125(√5)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
125(√5)^2x = 1
⇒ 5³.(5^1/2)^2x = 1 
⇒ 5³ . 5^x = 1 
⇒ 5^{3 + x} = 1 [a^m × aⁿ = a^{m + n]}
⇒ 5^{3 + x} = 5⁰ 
⇒ 3 + x = 0
∴ x = - 3

প্রশ্ন:

সমাধান:

(81)^2x+3=9^3x-6
⇒(9)^4x+6=9^3x-6
⇒4x+6=3x-6
⇔x=-12

64^2/3 + 625^1/2 = 3k
⇒ (4³)^2/3 + (25²)^1/2 = 3k
⇒ 4² + 25 = 3k
⇒ 41 = 3k
⇒ k = 41/3
∴ k = 13(2/3)

প্রশ্ন: log₁₀x = - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀x = - 2
⇒ x = 10^-2
⇒ x = 1/10²
⇒ x = 1/100
∴ x = 0.01

প্রশ্ন: 2^{x - 4} = 4a^{x - 6} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
2^{x - 4} = 4a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4} = 2².a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4}/2² = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4 - 2} = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6} = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6}/a^{x - 6} = 1
⇒ (2/a)^{x - 6} = (2/a)⁰ [∵ (2/a)⁰ = 1]
⇒ x - 6 = 0
∴ x = 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: [log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)]² এর মান কত হবে?  

সমাধান: 
log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)
= log₁₀{(a²/bc) × (b²/ac)×(c²/ab)}
= log₁₀1
= 0

∴ [log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)]² এর মান হচ্ছে (0)² = 0

প্রশ্ন: log2 + log4 + log16 + log256 + ... এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log16 + log256 + ...
প্রথম 10টি পদ হবে,
log(2¹) + log(2²) + log(2⁴) + log(2⁸) + log(2¹⁶) + log(2³²) + log(2⁶⁴) + log(2¹²⁸) + log(2²⁵⁶) + log(2⁵¹²)
= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512)log2
এখানে,
প্রথম পদ = 1, সাধারণ অনুপাত = 2 এবং সংখ্যা = 10
= a(rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
= 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 2¹⁰ - 1

এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি  (2¹⁰ - 1)log2

প্রশ্ন: log_a(1/36) = - 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 

log_a(1/36) = - 2
⇒ a^{- 2} = 1/36             [log_a​b = c ⇒ a^c = b]
⇒ 1/a² = 1/6²
⇒ a² = 6²
∴ a = 6

প্রশ্ন: সমাধান করুন, 9 × 3^{(x - 1)} = 27^x

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
9 × 3^{(x - 1)} = 27^x 
⇒ 3² × 3^{(x - 1)} = (3³)^x
⇒ 3^{(2 + x - 1)} = 3^3x
⇒ 1 + x = 3x
⇒ 3x - x = 1
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃(3^{- 4})
= - 4 × log₃3
= - 4 × 1
= - 4

প্রশ্ন:  6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6^a = কত?

সমাধান:
6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6a + 6a
= 6^a(1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1)
= 6^a × 6
= 6^{a + 1}

প্রশ্ন: যদি log₁₀x + log₁₀5 = 2 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₁₀x + log₁₀5 = 2
⇒ log₁₀(x × 5) = 2   ; [log_a(M) + log_a(N) = log_a(MN)]
⇒ log₁₀5x = 2
⇒ 5x = 10²
⇒ 5x = 100
⇒ x = 100/5
∴ x = 20

(125/27)^-(2/3)
= (5³/3³)^-(2/3)
= {(5/3)³}^-(2/3)
= (5/3)^-2
= (3/5)²
= 9/25

প্রশ্ন: 32/(64)^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
32/(64)^x = 8
32/8 = (64)^x
 4 = (4³)^x
4^3x = 4
3x = 1
x = 1/3

প্রশ্ন: যদি log_x(1/18) = - 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
log_x(1/18) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/18
⇒ x² = 18
⇒ x² = 3² × 2
⇒ x² = (3√2)²
∴ x = 3√2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি (16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
(16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, (4²)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, 4^{4x + 6} = 4^{3x + 6}
বা, 4x + 6 = 3x + 6 
বা, 4x - 3x = 6 - 6 
∴ x = 0 

প্রশ্ন: (০.০০২)^২ =কত?

সমাধান:
(০.০০২)^২ = ০.০০০০০৪

প্রশ্ন: log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(8) = 3/2
⇒ x^3/2 = 8 [সূত্র: log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ (x^1/2)³ = 8 
⇒ √x³ = 2³ 
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2² [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
∴ x = 4

প্রশ্ন: যদি log⁡(2x) = log⁡10 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
log⁡(2x) = log⁡10
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2 
⇒ x = 5

প্রশ্ন:

সমাধান:

2log(15/18) - log(25/162) + log(4/9)
= log(15/18)² - log(25/162) + log(4/9)
= log(225/324) - log(25/162) + log(4/9)
= log[(225/324)(4/9)] - log(25/162)
= log[(225/324)(4/9)]/(25/162)
= log(72/36)
= log2

(5/3)^x = 1
Or, (5/3)^x = (5/3)⁰ [(5/3)⁰ = 1]
Or, x = 0