সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: a^x = b, b^y = c এবং c^z = a হলে xyz = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
c^z = a
⇒ (b^y)^z = a
⇒ b^yz = a
⇒ (a^x)^yz = a
⇒ a^xyz = a¹
⇒ xyz = 1

প্রশ্ন: যদি (125)^2/3 + (484)^1/2 = 5a হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(125)^2/3 + (484)^1/2 = 5a
⇒ (5³)^2/3 + (22²)^1/2 = 5a
⇒ 5² + 22 = 5a
⇒ 25 + 22 = 5a
⇒ 5a = 47
∴ a = 47/5

প্রশ্ন: 27 × 27 × 27 = 3^x হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
​27 × 27 × 27 = 3^x
⇒ 3³ × 3³ × 3³ = 3^x
⇒ 3^{(3 + 3 + 3)} = 3^x
⇒ 3⁹ = 3^x
∴ x = 9 

log_x4 = 2
বা, x² = 4
∴ x = 2
∴ log_x8
= log₂8
= log₂2³
=3log₂2
= 3

a⁷ × a^-5 × a³ × a^-6 × a³ × a^-2
= a^{(7-5-2+3-6+3)}
= a^13-13
= a⁰
= 1

3^3x-12 = 7^3x-12
বা, 3^3x-12/7^3x-12 = 1
বা, (3/7)^3x-12 = (3/7)°
বা, 3x - 12 = 0
বা, 3x = 12
∴ x = 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (pqrt)⁰ = ?

সমাধান:
আমরা জানি ,
a⁰ = 1 , যেখানে, a ≠ 0.

∴ (pqrt)⁰ = 1

প্রদত্ত ধারাটি, log11 + log121 + log1331 + ......
= log11 + log11² + log11³ + ......
= 1 log11 + 2 log11 + 3 log11 + ......
= (1 + 2 + 3 + 4 + ........) log11
এখন, 1 + 2 + 3 + 4 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি = 8(8 + 1)/2
= 4 × 9
= 36
সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 36 log11

Log[98 + √(x² - 12x + 36)] = 2
[98 + √(x² - 12x + 36)] = antilog 2
[98 + √(x² - 12x + 36)] = 100
√(x² - 12x + 36) = 2
x² - 12x + 36 = 4
x² - 12x + 32 = 0
(x - 4)(x - 8) = 0
x = 4 or 8

5x + 3^1/3 + 3^2/3 = 0
বা, 3^1/3 + 3^2/3 = - 5x
বা, ( 3^1/3 + 3^2/3 )³ = (- 5x)³
বা, ( 3^1/3 )³ + ( 3^2/3 )³ + 3 × 3^1/3 × 3^2/3 ( 3^1/3 + 3^2/3 ) = (- 5x)³ 
বা, 3 + 3² + 3 × 3 × (-5x) = -125x³
বা, 12 - 45x = -125x³
বা, 125x³ - 45x + 12 = 0

প্রশ্ন: log 3 = 0.4771 এবং log 4 = 0.6020 হলে, log 12 এর মান কত?

সমাধান:
log 12 = log(3 × 4)
= log 3 + log 4
= 0.4771 + 0.6020
= 0.7781
= 1.0791

প্রশ্ন:

সমাধান:

log₂₇3√3 = log₂₇3^3/2
               = log₂₇27^1/2
               =1/2 log₂₇27
               = 1/2

প্রশ্ন: log_ba³ = 3m এবং log_ab⁵ = 5n হলে, mn = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3m
⇒ 3 × log_ba = 3m
⇒ log_ba = m

আবার,
log_ab⁵ = 5n
⇒ 5 × log_ab = 5n
⇒ log_ab = n

∴ mn = log_ba × log_ab
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

এখানে,
(- x)³ × (- x)⁵ × x²
= - x³ × (- x⁵) × x²
= x³ × x⁵ × x²
= x^(3+5+2)
= x¹⁰

প্রশ্ন: 64 × (√2)^6x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
64 × (√2)^6x = 1
⇒ 2⁶ × (2^1/2)^6x = 1
⇒ 2⁶ × 2^3x = 1 
⇒ 2^{6 + 3x} = 1
⇒ 2^{6 + 3x} = 2⁰ [যেহেতু a⁰ = 1]
⇒ 6 + 3x = 0
⇒ 3x = - 6
⇒ x = - 6/3
∴ x = - 2

log₃(9√3 )
= log₃(3².3^1/2)
= log₃3^2+1/2
= log₃3^5/2
= 5/2log₃3
= 5/2

প্রশ্ন: log₁₀ 0.01 = ?

সমাধান:
log₁₀ 0.01
= log₁₀(1/100)
= log₁₀(10^{- 2})
= - 2 × log₁₀10
= (- 2) × 1 [কারণ log₁₀10 = 1]
= - 2

প্রশ্ন: log₁₀(1/100) = ?

সমাধান:
log₁₀(1/100) 
= log₁₀(1/10²) 
= log₁₀(10^-2) 
= -2 x log₁₀10
= (-2) x 1 [যেহেতু, log₁₀10 = 1]
= -2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি (√2)^{3x + 1} = 16 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(√2)^{3x + 1} = 16
⇒ (2^1/2)^{3x + 1} = 2⁴
⇒ 2^{(1/2)(3x + 1)} = 2⁴
⇒ 2^{(3x + 1)/2} = 2⁴
⇒ (3x + 1)/2 = 4
⇒ 3x + 1 = 4 × 2
⇒ 3x = 8 - 1
⇒ 3x = 7
∴ x = 7/3

প্রশ্ন: যদি 8x^{- 2} = 2/25 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x^{- 2} = 2/25
⇒ x^{- 2} = 2/(25 × 8)
⇒ x^{- 2} = 1/(25 × 4)
⇒ x^{- 2} = 1/100
⇒ 1/x² = 1/100
⇒ x² = 100 = 10²
∴ x = 10

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_√28 = কত?

সমাধান:
log_√28
= log_√28
= log_√2{(√2)²}³
= log_√2(√2)⁶
= 6log_√2√2
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: log_pq⁴ = 4a এবং log_qp² = 2b হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
log_pq⁴ = 4a
⇒ 4log_pq = 4a
⇒ log_pq = a

আবার,
log_qp² = 2b
⇒ 2log_qp = 2b
⇒ log_qp = b

∴ab = log_pq × log_qp
⇒ ab = log_pq × (1/log_pq)
⇒ ab = 1

c^r = a
বা, (b^q)^r = a
বা, b^qr = a
বা, (a^p)^qr = a
বা, a^pqr = a¹
∴ pqr = 1

প্রশ্ন: log₄​(64) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₄​(64)
= log₄4³
= 3 log₄4
= 3 ; [log₄4 = 1]

প্রশ্ন: যদি x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে (1/8)(x + y)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি যে, যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত (power) যদি 0 হয়, তবে তার মান হয় 1।
এখানে, x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হওয়ায় (x + y) অশূন্য সংখ্যা।
সুতরাং, (x + y)⁰ = 1

এখন,
(1/8)(x + y)⁰
= (1/8) × 1 
= 1/8
= 8^{- 1}

প্রশ্ন: যদি x√x = 27 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x√x = 27
⇒ (x√x)² = (27)²   ; [বর্গ করে পাই]
⇒ x² . x = (3³)²
⇒ x³ = (3²)³
⇒ x = 3²
∴ x = 9