বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রতিক্ষেত্রে, ৩ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠন করতে হবে।
এক্ষেত্রে কমিটি গঠন করার উপায়,
= ^৬c_৩ × ^৬c_৩
= ৪০০

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 

∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = ⁶C₂
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15 

∴ প্রতিযোগিতায় মোট 15 টি খেলা অনুষ্ঠিত হবে।

17 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়ক সহ ১১ জনের একটি দল বাছাই করা যায়
= ¹C₁ × ¹⁶C₁₀
= 8008

প্রশ্নমতে,
⇒ ⁿC₂ = 78
⇒ {(n(n - 1)}/2 = 78
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ (n - 13)(n + 12) = 0
⇒ n = 13, -12

প্রশ্ন: যদি ⁷P_r = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁷P_r = 210
⇒ 7!/(7 - r)! = 210
∴ 5040/(7 - r)! = 210
⇒ (7 - r)! = 5040/210 
⇒ (7 - r)! = 24
⇒ (7 - r)! = 4!
⇒ 7 - r = 4
⇒ r = 7 - 4
∴ r = 3

প্রশ্ন: একজন পরীক্ষার্থীকে 13 টি প্রশ্ন থেকে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে প্রথম 5টি থেকে ঠিক 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
মোট প্রশ্ন 13 টি
প্রথম 5টি থেকে ঠিক 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে,
তাহলে বাকি 8টি থেকে 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।

মোট বাছাই সংখ্যা = ⁵c₃ × ⁸c₃
= 10 × 56
= 560

প্রশ্ন: 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি গণিতের বই একত্রে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
৪টি গণিত বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (8 - 4) + 1 = 5 টি
5টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5! = 120

বিশেষ বই 4টি সাজানোর মোট উপায় = 4! = 24

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 120 × 24
= 2880

প্রশ্ন: ৮ জন খেলোয়াড়কে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!
∴ ৮ জন খেলোয়াড়কে বসানোর উপায় = (৮ - ১)! = ৭!
= ৫০৪০

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 

∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = ⁶C₂
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

৩টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা ১০।
১ জনকে নির্বাচনের উপায় ^১০c_১ = ১০
২ জনকে নির্বাচনের উপায় ^১০c_২ = ৪৫
৩ জনকে নির্বাচনের উপায় ^১০c_৩ = ১২০
∴ নির্বাচনের মোট উপায় = ১০+৪৫+১২০ = ১৭৫।

প্রতি দু'জনের সমাবেশ থেকে একবার করমর্দন সংগঠিত হয়,
সুতরাং মোট করমর্দন সংখ্যা = ^৮c₂
= ২৮

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 

∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = ⁶C₂
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15 

∴ প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 15 টি। 

Combination শব্দটিতে 11 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে স্বরবর্ণ 5 টি এবং ব্যঞ্জনবর্ণ 6 টি।
যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন হবে না তাই তাদের বাদ দিয়ে অবশিষ্ট বর্ণ গুলোর বিন্যাস করতে হবে।
অবশিষ্ট বর্ণ আছে 6 টি যার মধ্যে n = 2 টি
∴6 টি বর্ণের বিস্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 360
∴Combination শব্দটি কে পুনরায় সাজানো যায় (360 - 1)= 359 উপায়ে।

‘POSTAGE’ শব্দটিতে ৭টি অক্ষর আছে যার মধ্যে ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৩ টি স্বরবর্ণ। ৭টি স্থানের মধ্যে ৪টি বিজোড় স্থান এবং ৩টি জোড় স্থান।
৩ টি স্বরবর্ণকে ৩টি জোড়স্থানে মোট 3P₃ = 6 উপায়ে সাজনো যায়।
৪ টি ব্যঞ্জনবর্ণ ৪ টি বিজোড়স্থানে মোট 4p₄ = 24 উপায়ে সাজনো যায়।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 6 x 24 = 144

প্রশ্ন: 'EDUCATION' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'EDUCATION' শব্দটিতে,
মোট অক্ষর = 9 টি 
স্বরবর্ণ = E, U, A, I, O অর্থাৎ 5টি
এবং ব্যঞ্জনবর্ণ = D, C, T, N অর্থাৎ 4টি

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 5! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে 'EDUCATION' শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 5! × 5!
= 120 × 120  ; [5! = 120]
= 14400

6 জন গণিত ছাত্র থেকে 6 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়= ⁶C₆ = 1
6 জন গণিত ছাত্র থেকে 5 জন নিয়ে এবং 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 1 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায় = ⁶C₅ × ⁴C₁ 
                                                                                                                                                                       = 6 × 4
                                                                                                                                                                       = 24

6 জন গণিত ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে এবং 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 2 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায় = ⁶C₄ × ⁴C₂
                                                                                                                                                                      = 15 × 6

                                                                                                                                                                      = 90
কমিটি গঠনের মোট উপায় = (1 + 24 + 90) = 115

• 'THESIS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে 2টি S আছে।
• 2টি S কে একটি ধরে বর্ণ সংখ্যা হয় 5টি।

(a) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ⁵C₄ = 5
(b) দুটি অভিন্ন বর্ণ এবং দুটি ভিন্ন বর্ণ হলে সমাবেশ সংখ্যা = ²C₂ × ⁴C₂
= 1 × (4×3)/2‌
= 6

• সুতরাং বর্ণগুলো বাছাইয়ের মোট সংখ্যা = 5 + 6
= 11

যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। অর্থাৎ ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৪টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৩টি।
∴ উপায় সংখ্যা ৪×৩ = ১২

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2) = 360

‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1)বা, 359

ⁿ⁺¹c₁₂ = ⁿc₆ + ⁿc₇
বা, ⁿ⁺¹c_n+1-12 = ⁿ⁺¹c₇
বা, ⁿ⁺¹c_n-11 = ⁿ⁺¹c₇
বা, n - 11 = 7
∴ n = 18

নির্ণেয় বাছাইয়ের সংখ্যা = 2ⁿ - 1 = 2⁸ -1 = 255.

APPLE শব্দে মোট অক্ষর 5টি যাদের 2টি P
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 60
∴ পূর্নবিন্যাস করার উপায় = 60 - 1
= 59

প্রশ্ন: TRIANGLE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
TRIANGLE শব্দটিতে,
মোট অক্ষর = 8 টি 
স্বরবর্ণ = A, E, I অর্থাৎ 3 টি 

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে TRIANGLE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

প্রশ্ন: "BALANCE" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "BALLOON" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
BALANCE শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
A দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।

∴ মোট বিন্যাস = 7!/2!
= 5040/2
= 2520

BALLOON শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
L দুইবার, O দুইবার, বাকিগুলো একবার করে।

∴ মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 5040/4 = 1260

∴ অনুপাত = 2520/1260
= 2

অতএব, "BALANCE" শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা "BALLOON" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 2 গুণ।

প্রশ্ন: ঢাকা কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত ২টি ভিন্ন রাস্তা আছে। শাহবাগ থেকে মগবাজার পর্যন্ত ৩টি ভিন্ন রাস্তা আছে। মগবাজার থেকে বনানী পর্যন্ত ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে। ঢাকা কলেজ থেকে বনানী পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঢাকা কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ২টি
শাহবাগ থেকে মগবাজার পর্যন্ত রাস্তা = ৩টি
মগবাজার থেকে বনানী পর্যন্ত রাস্তা = ৪টি
 
∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ২ × ৩ × ৪ = ২৪ টি 
সুতরাং, ২৪টি ভিন্ন পথ আছে।

a , n বাদে বর্ণ হয় 6 টি । সুতরাং তিনটি করে বর্ণ নিয়ে সাজানো সংখ্যা = 6p₃ = 120.

প্রশ্ন: যদি কুমিল্লা শহরের টেলিফোন নম্বরগুলো 5 অঙ্ক বিশিষ্ট হয়, তবে কুমিল্লার কত জনকে টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে?

সমাধান:
টেলিফোন ডায়ালে অঙ্ক থাকে 0 থেকে 9 পর্যন্ত। কুমিল্লা শহরের টেলিফোন নম্বরগুলো 5 অঙ্কবিশিষ্ট, সুতরাং 5 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার ১ম অঙ্কটি ০ বাদে 9টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করা যাবে 9 উপায়ে, কারণ টেলিফোন নম্বর শূন্য দিয়ে শুরু হয় না।
২য় স্থানটি 10 টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করা যাবে।
অতএব ৩য়, ৪র্থ, ৫ম স্থানগুলোর প্রত্যেকটি পূরণ করা যায় 10 উপায়ে।
অতএব, নির্ণেয় টেলিফোন সংযোগ সংখ্যা = 9 × 10 × 10 × 10 × 10 = 90000

প্রতি সংখ্যায় প্রতিটি ডিজিট যেকোন সংখ্যকবার ব্যবহার করে গঠিত মোট সংখ্যা = 9 × 9 × 9
= 729

প্রশ্ন: প্রশ্নপত্রে দুইটি গ্রুপের প্রতিটি গ্ৰুপে 5টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে 6টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্ৰুপ থেকে 4টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে? 

সমাধান: 
                   গ্ৰুপ(১)- ৫                গ্ৰুপ(২)- ৫  
1)                  4                              2
2)                   3                             3
3)                   2                             4 

(5, 1) বা (6, 0) নেওয়া যাবে না কারণ শর্ত ভঙ্গ হবে।

এখন, 
১) নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50 
২)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 = 100 
৩)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় =  ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 = 50

∴ প্রশ্ন বাছাইয়ের মোট উপায় = 50 + 100  + 50 = 200

প্রশ্ন: EDUCATION শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
EDUCATION শব্দে মোট 9টি বর্ণ আছে।
স্বরবর্ণ: E, U, A, I, O মোট 5টি এবং সব ভিন্ন।

যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না, তাই কেবল ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে (D, C, T, N) সাজানো যাবে।
ব্যঞ্জনবর্ণ = 4টি এবং সব ভিন্ন।

∴ সাজানোর সংখ্যা = 4!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24

প্রশ্ন: কোন সমবায় সমিতির সদস্যদের মধ্যে 10 জন পুরুষ ও 8 জন মহিলা থেকে 4 জন পুরুষ ও 5 জন মহিলা মোট কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

সমাধান:
10 জন পুরুষ হতে প্রতিবার 4 জন পুরুষ বেছে নেয়া যায় = ¹⁰C₄ উপায়ে
= 210 উপায়ে

আবার, 8 জন মহিলা হতে প্রতিবার 5 জন মহিলা বেছে নেয়া যায় = ⁸C₅ উপায়ে
= 56 উপায়ে

∴ মোট বেছে নেয়া যায় = (210 × 56) উপায়ে
= 11760 উপায়ে

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₀ = ⁿC₂ হয়, তাহলে ⁿC₆ এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ⁿC_a = ⁿC_b হলে, a = b অথবা a + b = n হয় 
∴ ⁿC₁₀ = ⁿC₂
⇒ 10 + 2 = n
∴ n = 12

এখন, 
ⁿC₆ = ¹²C₆ 
= 12!/6!(12 - 6)!
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6!)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2)  × 6!
= 924

প্রশ্ন: WATER শব্দটির সবগুলো অক্ষর নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে প্রত্যেকে 1 বার করে আছে এবং মোট বর্ণ সংখ্যা 5 টি 
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₁ = ⁿC₅ হয়, তবে ¹⁸C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿC₁₁ = ⁿC₅
⇒ ⁿC_{n - 11} = ⁿC₅
⇒ n - 11 = 5
∴ n = 16

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি:
¹⁸C_n
= ¹⁸C₁₆
= ¹⁸C_{(18 - 16)} [আমরা জানি, ⁿC_r = ⁿC_{n - r}]
= ¹⁸C₂
= 18!/{2! × (18 - 2)!}
= 18! /(2! × 16!)
= (18 × 17 × 16!) /(2 × 1 × 16!)
= (18 × 17)/2
= 306/2
= 153

চার অংকের অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করার ক্ষেত্রে শেষ অংকে সর্বদা ৯ নির্দিষ্ট করতে হবে এবং প্রথম অংক ৬ অথবা ৪ দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা ^২p_১ = ২ উপায়ে পূর্ণ করা যায়। মধ্যবর্তী দু'টি অংক অবশিষ্ট ২ টি দ্বারা ২! = ২ উপায়ে পূর্ণ করতে হবে।
∴ গঠিত মোট বিজোড় সংখ্যা = ২ × ২ = ৪

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'WRITTEN' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
'WRITTEN' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি যেখানে T 2টি এবং বাকি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
∴ 7টি বর্ণকে সাজানো যায় = 7!/2! = 2520

এখণ,
স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 6টি যেখানে T 2টি
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!/2!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

সুতরাং, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = (6!/2!) × 2!
= 720

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = (2520 - 720)
= 1800

প্রশ্ন:

সমাধান:
(⁶C₃ + ⁷C₃)/¹³C₄
এখানে,
⁶C₃ = 20
⁷C₃ = 35
¹³C₄ = 715

∴ (⁶C₃ + ⁷C₃)/¹³C₄ = (20 + 35)/715
= 55/715
= 1/13