বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: 6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
3টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 3) + 1 = 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই 3টি সাজানোর মোট উপায় = 3!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

প্রশ্ন: যদি ⁷P_r = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ ⁷P_r = 210
⇒ 7!/(7 - r)! = 210
⇒ (7 - r)! = 7!/210
⇒ (7 - r)! = 5040/210 = 24
⇒ (7 - r)! = 4!
⇒ 7 - r = 4
⇒ r = 7 - 4
∴ r = 3

প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (3 + 4) = 7 জন
তিনজন পুরুষ একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন
∴ 5 জনকে সাজানো যায় = 5!
∴ 3 জন পুরুষকে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720

সমাবেশ সংখ্যা = ^{(12 - 2)}C₅
= ¹⁰C₅
= 252

৭ জন মেয়ে বন্ধু থেকে ৪ জনকে সাজানো যায় 7C₄ উপায়ে
(১২ - ৭) বা ৫ জন ছেলে বন্ধু থেকে (৬ - ৪) বা ২ জন ছেলে বন্ধুকে সাজানো যায় 5C₂ উপায়ে
মোট সাজানো সংখ্যা =7C₄ x 5C₂ 
= 7.6.5.4!/4!3! x 5.4.3!/2!3!
= 35 x 10 = 350

প্রশ্ন: একটি সম্মেলনে কিছু প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন। যদি তারা প্রত্যেকেই পরস্পরের সাথে কেবল একবার করমর্দন করে এবং করমর্দনের মোট সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ সম্মেলনে কতজন প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন?

সমাধান:
মনে করি, ঐ সম্মেলনে n সংখ্যক প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন।

প্রশ্নানুসারে,
ⁿC₂ = 105
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 105
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 105
⇒ n(n - 1)/2 = 105
⇒ n(n - 1) = 210
⇒ n² - n = 210
⇒ n² - n - 210 = 0
⇒ n² - 15n + 14n - 210 = 0
⇒ n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
⇒ (n + 14)(n - 15) = 0
⇒ n = - 14 অথবা n = 15

n এর মান - 14 গ্রহণযোগ্য নয় (কারণ n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না)।
∴ n = 15

∴ ঐ সম্মেলনে 15 জন প্রতিনিধি উপস্থিত ছিলেন।

‘DEGREE’ শব্দটিতে 3 টি E সহ 6 টি বর্ণ আছে।
4 টি অক্ষর প্রত্যেক বার নিয়ে বাছাই করা যায় 4 টি অক্ষরই ভিন্ন = ^₄C₄ = 1
2 বর্ণ একই এবং 2 বর্ণ ভিন্ন = ²C₂ x ³C₂ = 3
3 টি বর্ণ একই এবং 1 বর্ণ ভিন্ন = ³C₃ x ³C₁ = 3
বর্ণগুলো বাছাই এর মোট সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 5 জন মহিলা এবং 7 জন পুরুষ আছে। 4 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে একজন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

 সমাধান:
যেহেতু 1 জন মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই
(5 - 1) + 7 = 4 + 7 = 11 জন থেকে বাকি 3 সদস্য বাছাই করা যাবে = ¹¹C₃ 
= 11!/3!(11 - 3)!
= (11 × 10 × 9 × 8!)/(3 × 2) × 8!
= 11 × 5 × 3
= 165

∴ কমিটি গঠন করা যেতে পারে ১৬৫ প্রকারে।

এখানে মোট বর্ণ 8 টি, ব্যাঞ্জনবর্ণ 3 টি এবং বিজোড় স্থান 4 টি । সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATIONS শব্দটিকে সাজানো যায় = 4p₃ × 5p₅ = 24 × 120 = 2880.

দু'টি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা পরিচালিত হয়
∴ মোট খেলার সংখ্যা = ^৮c_২ = ২৮

প্রশ্ন: (1/6!) + (1/7!) = (x/8!) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(1/6!) + (1/7!) = (x/8!)
বা, (1/6!) + {1/(7 × 6!)} = (x/8!)
বা, {1 + (1/7)}(1/6!) = (x/8!)
বা, (7 + 1)/(7 × 6!) = (x/8!)
বা, 8/(7 × 6!) = (x/8!)
বা, 8/(7 × 6!) = x/(8 × 7 × 6!)
বা, 8 = x/8
∴ x = 64 

প্রশ্নমতে,
বা, ⁿC₂ = 45
বা,(n(n-1)/2 = 45
বা,n2 - n - 90 = 0
বা,n2 -10n + 9n -90 = 0
বা,(n-10)(n+9) = 0
বা,n = 10  [n =-9 গ্রহন যোগ্য নয়]
∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন।

ⁿc₆ = ⁿc₃
বা, ⁿc_n-6 = ⁿc₃
∴ n - 6 = 3
বা, n = 9

ধরি,
সভায় মোট লোকছিল = n, 2 জন এর সমাবেশ হতে 1 টি করমর্দন সংগঠিত হয়।
∴ মোট করমর্দন ⁿc₂ = 66
বা, {(n)(n - 1)}/2! = 66
বা, (n² - n)/2 = 66
বা, n² - n = 132
বা, n² - n - 132 = 0
বা, n² - 12n + 11n - 132 = 0
বা, n(n - 12) + 11(n - 12) = 0
বা, (n - 12)(n + 11) = 0
∴ n = 12

লাল বল = ১২টি
সবুজ বল = ১৪টি
হলুদ বল = ২২টি
মোট বল = (১২ + ১৪ + ২২)
= ৪৮টি
লাল বা সবুজ বল = ১২ + ১৪
= ২৬টি
∴ সম্ভাবনা = ২৬/৪৮
= ১৩/২৪

প্রশ্ন: 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?  

সমাধান:
'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

আবার, 
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

এখন,
 BARISAL/RAJSHAHI  = 2520/10080
⇒ BARISAL/RAJSHAHI = 1/4

অর্থাৎ 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার 1/4 গুণ।

প্রশ্ন: ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত ২টি ভিন্ন রাস্তা আছে। শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত ৩টি ভিন্ন রাস্তা আছে। মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে। ঢাকা সিটি কলেজ থেকে বনানী পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ২টি
শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ৩টি
মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত রাস্তা = ৪টি
 
∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ২ × ৩ × ৪ = ২৪ টি 
সুতরাং, ২৪টি ভিন্ন পথ আছে।

প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দের বর্ণ গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে A সবসময় প্রথম বর্ণ থাকে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দে মোট 7 টি বর্ণ আছে। যথা  A, L, G, E, B, R, A
এখানে A বর্ণটি 2 বার আছে।

যেহেতু প্রথম স্থান A দিয়ে বাধ্যতামূলকভাবে পূরণ করা হবে, তাই প্রথম স্থানের জন্য কোনো আলাদা বাছাই নেই।

সুতরাং বাকি 6 টি বর্ণ L, G, E, B, R, A
এখানে কোনো বর্ণই একাধিকবার নেই (কারণ A দুটির একটি প্রথমে ব্যবহার করায় বাকি 1 টি A আছে, তাই পুনরাবৃত্তি নেই)।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6 টি ভিন্ন বস্তুর বিন্যাস = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720

1টি সরলরেখা 2টি বিন্দুর সমাবেশ।
∴ 12টি বিন্দু থেকে প্রাপ্ত রেখা = ¹²c₂
= 66

প্রশ্ন: 'ENGINEERING' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে তিনটি E একসাথে পাশাপাশি থাকে? 

সমাধান: 
ENGINEERING শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে,  11টি 
যেখানে, E আছে 3টি, N আছে 3টি, G আছে 2টি, I আছে 2টি এবং R আছে 1টি
তিনটি E-কে একসাথে রাখতে হলে তাদের একটা একক ইউনিট বা 'ব্লক' হিসেবে ধরতে হবে। 
অর্থাৎ, EEE কে একটা বর্ণের মতো বিবেচনা করা হবে। 

সুতরাং, মোট বর্ণ হবে = 11 - 3 + 1 = 9 ; [EEE, N, N, N, G, G, I, I, R]
যেখানে, N আছে 3টি, G আছে 2টি এবং I আছে 2টি। 

সুতরাং বিন্যাসের সংখ্যা হবে = 9!/(3! × 2! × 2!)
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(3 × 2 × 2 × 2)
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5
= 15120

দাবা খেলায় প্রতি খেলায় একজন অন্যজনের সাথে খেলবে অর্থাৎ এক খেলার জন্য দুইজন প্রতিযোগী প্রয়োজন।
সুতরাং, মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = ⁶c₂ = (6 × 5) / (1 × 2) = 15 টি।

প্রশ্ন: COMMON শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন M গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
COMMON শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।
এখানে O দুইবার এবং M দুইবার এসেছে।
∴ মোট বিন্যাস = 6!/(2! × 2!)
= 720/4
= 180

এখন,
দুটি M একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
MM, C, O, O, N (মোট ৫টি একক, যেখানে O দুইবার আছে)।
∴ বিন্যাস = 5!/2!
= 120/2
= 60

∴ M একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 180 - 60
= 120

মোট বই = 12 টি; সর্বদা বাদ যাবে 2 টি বই, বই বাছায় করতে হবে 5 টি
∴বই বাছাই করা যাবে ^(12-2)C₅ = ¹⁰C₅ উপায়ে।

APPLE শব্দে মোট ৫টি বর্ণ আছে, যাদের মধ্যে ২টি স্বরবর্ণ।
সুতরাং স্বরবর্ণ দু'টি একত্রে রাখলে বর্ণগুলোকে ৪!/২! = ১২ উপায়ে সাজানো যায়।
আবার স্বরবর্ণ ২টি নিজেদের মধ্যে ২! = ২ উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং সাজানোর মোট উপায় = ১২ × ২
= ২৪

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে 5টি করে মোট 10টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট 6টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ 4টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট 6টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে 4টির বেশি নেওয়া যাবে না।
সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-
1) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
2) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
3) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(1) ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 = 50
(2) ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 = 100
(3) ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50

∴ মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200

প্রশ্ন: 'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা:
মোট বর্ণ সংখ্যা: 6টি
পুনরাবৃত্ত বর্ণ:  E এবং T প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। 

বিন্যাস সংখ্যা =  6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

 আবার, 

'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা:
মোট বর্ণ সংখ্যা: 6টি
পুনরাবৃত্ত বর্ণ:  E এবং T প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। 

বিন্যাস সংখ্যা =  6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

সুতরাং, 'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 180/180 = 1 গুণ। 

9 জন মানুষ সারিতে দাঁড়াতে পারবে = 9! = 362880

• একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
• এর মধ্যে লাল কালো তাসের সংখ্যা = 26টি করে।
• রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
• টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
• নম্বর যুক্ত তাপ ৩৬টি।
• ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।
• সুতরাং দৈবভাবে একটি তাস টানলে সেটি ছবিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা = 12/52
= 3/13।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 6 টি ভিন্ন রঙের বল আছে। 3 টি বল একসাথে নির্বাচন করার কতটি উপায় আছে?

সমাধান:
ভিন্ন রঙের মোট বল আছে = 6 টি 
একসাথে নির্বাচন করতে বল নিতে হবে = 3 টি 

∴ নির্বাচন করার উপায় আছে = ⁶C₃ 
= 6⋅5⋅4​/ 3⋅2⋅1​ 
= 20 

প্রশ্ন: বাংলাদেশ হকি দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা দরকার। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৫C_১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৪C_১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে

প্রশ্ন: 'TEACHER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'TEACHER' শব্দে মোট বর্ণ = ৭টি
যার মধ্যে E = ২ বার আছে। 
বাকি অক্ষর (T, A, C, H, R) প্রতিটি ১ বার করে।

একই অক্ষর থাকলে ভিন্ন ভিন্ন সাজানোর উপায় = ৭!/২!
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২)/২ 
= ২৫২০

∴ সাজানোর উপায় ২৫২০

যেহেতু 4টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সুতরাং 4টি বই সর্বদাই বাদ রেখে হিসাব করতে হবে।
সুতরাং, (8 - 4) টি বই হতে (6 - 4) টি বই ^{(8 - 4)}C_{(6 - 4)} বা 6 প্রকারে বাছাই করা যায়।

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৯১ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
ⁿC₂ = 91
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ n(n - 1)/2 = 91
⇒ n(n - 1) = 182
⇒ n² - n - 182 = 0
⇒ n² - 14n + 13n - 182 = 0
⇒ n(n - 14) + 13(n - 14) = 0
⇒ (n + 13)(n - 14) = 0

n = 14 কিন্তু n এর মান - 13 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 14 জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'M'?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে।

এখন,
'M' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ১০টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে - I, I, I, I, S, S, S, S, P, P।
এখানে I চারটি, S চারটি, P দুটি রয়েছে।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা =

অতএব, 'M' দিয়ে শুরু হওয়া 'MISSISSIPPI' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 3150.

প্রশ্ন: 'PARALLEL' শব্দটির বর্ণগুলোকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?

সমাধান:
'PARALLEL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি
যেখানে, A আছে 2 বার, L আছে 3 বার এবং P, R, E প্রত্যেকে 1 বার করে আছে। 

∴ মোট বিন্যাস = 8!/(2! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 3 × 2)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 2
= 56 × 60
= 3360

সুতরাং, 'PARALLEL' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে 3360 প্রকারে বিন্যাস করা যায়। 

বাসা থেকে কলেজে যাওয়ার 4টি উপায়
কলেজ থেকে লাইব্রেরিতে যাওয়ার 5টি উপায়
∴ বাসা থেকে কলেজ হয়ে লাইব্রেরিতে যাওয়ার 4 × 5
= 20টি উপায়
[এক্ষেত্রে গণনার গুণন বিধি হয়]

EQUATION শব্দে 8 বর্ণ আছে
Q, T, N 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
জোড় স্থান আছে 4 টি
∴ ব্যাঞ্জনবর্ণ বসতে পারবে = ⁴P₃ = 24 উপায়ে
স্বরবর্ণ আছে 5 টি
স্বরবর্ণ বসতে পারে ⁵P₅ = 120 উপায়ে
∴ব্যাঞ্জনবর্ণ গুলি কেবল জোড় স্থানে বসতে পারবে = 120 × 24 = 2880 উপায়ে.

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= ³⁰C₁ 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= ²⁹C₁
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870