বিন্যাস ও সমাবেশ

'NARSINGDI' শব্দটির মোট 9টি বর্ণের মধ্যে 2টি N এবং 2টি I আছে। সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/(2!2!)
= (9×8×7×6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1)
= 90720

8 জন বালক থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়া যায় ⁸C₂ উপায়ে
6 জন বালিকা থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়া যায় ⁶C₂ উপায়ে
∴ মোট বাছাই সংখ্যা = ⁸C₂ × ⁶C₂ = 28 × 15 = 420 উপায়ে

প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2
এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6! / 2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / 2
= 720 / 2
= 360

CALCULUS শব্দে 8 বর্ণ আছে
L = 2 টি
U =2টি
C = 2 টি
১ম ও শেষ অক্ষর U, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর
∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!) = 180 উপায়ে

13 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের 13 টি কৌণিক বিন্দু আছে।
2 টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ হতে একটি রেখা পাওয়া যায়
∴ মোট রেখার সংখ্যা = ¹³c₂ = 78 যাদের মধ্যে 13 টি বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = 78 - 13 = 65

PFIZER শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যাদের 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।
শব্দের শেষ অক্ষর 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ দিয়ে ⁴P₁ = 4 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট 5 টি বর্ণ সাজানো যায় = 5! = 120 উপায়ে
∴ সাজানোর মোট উপায় = 4 × 120 = 480

প্রশ্ন: 6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
3টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 3) + 1 = 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই 3টি সাজানোর মোট উপায় = 3!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 9 জনকে বসানোর উপায় = (9 - 1)! = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

প্রশ্ন: 7 × 0! এর মান কত?

সমাধান:
ফ্যাক্টোরিয়াল সূত্র অনুযায়ী,
n! = n × (n - 1)!

এখন, n = 1 হলে,
1! = 1 × (1 - 1)!
 ⇒ 1! = 1 × 0!
⇒ 1 = 0!
∴ 0! = 1

∴ 7 × 0! = 7 × 1 = 7

প্রশ্ন: A, B, C, D চারটি বর্ণ। বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
মোট বর্ণ, n = 4
প্রতিবারে নিতে হবে 3 টি বর্ণ, r = 3 (এখানে কতটি বর্ণ নিতে হবে তা বলে দেয়া আছে)

মোট সাজানোর উপায় = ⁿP_r = n!/(n - r)!
= 4!/(4 - 3)!
= 4!/1!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24

সুতরাং, মোট ২৪টি ভাবে তিনটি বর্ণ সাজানো যায়।

4টি বাহু থেকে প্রতিবার 3টি বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সংখ্যা = ⁴C₃ = 4টি
কিন্তু {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} সমাবেশ ত্রিভুজ গঠন করেনা। [যেহেতু, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।]
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি

প্রশ্ন: ৮ জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
৮ জন ব্যক্তিকে ১ টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - ১)! উপায়ে।
= (৮ - ১)!
= ৭!
= ৫০৪০

Director শব্দটিতে অক্ষর আছে 8 যার মধ্যে 3 টি স্বরবর্ণ এবং 5 টি ব্যঞ্জনবর্ণ, এবং r = 2 টি
স্বরবর্ণ গুলোর স্থান পরিবর্তন না করে Director শব্দটির অক্ষর গুলোকে পুনরায় সাজানো যায় = (5!/2!) - 1 = 59 উপায়ে।

যেহেতু একজন পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সুতরাং পুরুষ = 6-1 = 5 এবং মহিলা = 4.
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ⁵C₃×⁴C₀ + ⁵C₂×⁴C₁ + ⁵C₁×⁴C₂ + ⁵C₀×⁴C₃
= 10+40+30+4 = 84

আমরা জানি, অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা হতে হলে অবশ্যই একক স্থানে 0, 2, 4, 6, 8 ও 0 থাকতে হবে।
প্রথমে 0 থাকলে এবং একক স্থানে 2 বা 4 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব নয় = 3p₃ = 3! = 6 ভাবে।
একক স্থানে 2 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব = 4p₄ - 6 = 4! - 6 = 24 - 6 = 18 ভাবে।
তদ্রুপ একক স্থানে 4 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব = 4p₄ - 6 = 4! - 6 = 24 - 6 = 18 ভাবে।
এবং একক স্থানে 0 থাকলে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব = 4p₄ = 4! = 24 ভাবে।
মোট সংখ্যা গঠন করা যায় = 18 + 18 + 24 = 60টি।

৫ জনের মধ্যে প্রতিবার ৩ জন নিয়ে দল গঠন করতে হবে যেখানে ১জন(রাজিব) সর্বদা বিদ্যমান থাকে।
এক্ষেত্রে ভ্রমনের উপায় = ^{(৫ - ১)}c_{(৩ - ১)}
= ^৪c_২
= ৬

প্রশ্ন: 8 জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক লোককে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴  8 জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (8 - 1)! = 7! = 5040

১৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করলে প্রত্যেক দলে ৯ জন করে থাকবে।
সুতরাং, ১৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি বিভক্ত করা যায়
= ১৮!/(৯!৯!) উপায়ে

প্রশ্ন: ⁿP₄ = 12 × ⁿP₂ হয়, তবে n এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP₄ = 12 × ⁿP₂
⇒ n!​/(n - 4)! = 12 × n!​/(n - 2)!
⇒ 1/(n - 4)! = 12/(n - 2)!
⇒ 1/(n - 4)! = 12/(n - 2)(n - 3)(n - 4)!   ; [(n - 2)! = (n - 2)(n - 3)(n - 4)!]
⇒ (n - 2)(n - 3) = 12
⇒ n² - 5n + 6 - 12 = 0
⇒ n² - 5n - 6 = 0
⇒ n² - 6n + n - 6 = 0
⇒ n(n - 6) + 1(n - 6) = 0
⇒ (n - 6)(n + 1) = 0
হয়,
n - 6 = 0
∴ n = 6
অথবা, 
n + 1 = 0
∴ n = - 1 ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, n এর মান 6

উভয় বিষয়ে পাশ করে = ৬৫ জন।
শুধু বাংলায় পাশ করে = (৮৪ - ৬৫) = ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাশ করে = (৭০ - ৬৫) = ৫ জন।
মোট পাশ করে = (৬৫ + ১৯ + ৫) = ৮৯ জন।
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৮৯) জন।
= ১১জন।

১০ জন লোকের মধ্য থেকে প্রতিবার ৬ জন নিয়ে পাড়াপাড়ের উপায় = ^১০c_৬ = ২১০

চার ডিজিটের টেলিফোন নম্বরে ১ম ডিজিট পূর্ণ করা যায় = 10 উপায়ে
অনুরূপে, ২য়, ৩য়, এবং ৪র্থ ডিজিটের প্রতিটি পূর্ণ করার উপায় = 10
∴ মোট টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে
= 10 × 10 × 10 × 10
= (10)⁴
= 10000 (উত্তর)।

তবে, এই অঙ্কের সমাধান নিয়ে যথেষ্ঠ বিতর্ক রয়েছে।
যেমন - ০০০০ কারোর টেলিফোন নাম্বার হতে পারে না।
সেক্ষেত্রে প্রকৃত সংযোগ হবে (10000 - 1) = 9999টি।

আবার,
ল্যান্ডফোনের বর্তমান নিয়ম অনুসারে, প্রথম অঙ্কটি 0 হয় না।
সেক্ষেত্রে, বাম দিকে 0 বাদে 9টি ডিজিট বসানো যাবে 9 উপায়ে।
তাহলে, মোট টেলিফোন সংযোগের সংখ্যা হবে 9 × 10 × 10 ×10 = 9000টি।

উত্তর নির্ভর করে প্রশ্নকর্তা কোনটি ধরে প্রশ্ন করবেন তার উপর।
সেক্ষেত্রে অপশন বিবেচনায় উত্তর করতে হবে।
আমাদের পরামর্শঃ
১. যদি অপশনে 9999 থাকে তবে এটি উত্তর করবেন।
২. যদি 9999 না থাকে; কিন্তু অপশনে 10000 ও 9000 দুটোই থাকে তাহলে 10000 উত্তর করবেন।
কেননা, সরকারি নির্দশনা থাকলে গাণিতিকভাবে প্রথমে 0 ব্যবহার করা যায়। তাই 10000 উত্তর হবে।
৩. 9999 ও 10000 কোনটিই অপশনে না থাকলে 9000 উত্তর করা যাবে।

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করলে নমুনা বিন্দু হবে, 2³ = 8 টি
(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
নমুনা ক্ষেত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, প্রত্যেকবার T (TTT) আসার সম্ভাবনা 1 বার।
অর্থাৎ, সম্ভাব্যতা = 1/8

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা-

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ⁵C₃
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!)
= 5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।