বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
COMPUTER শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8 টি 
স্বরবর্ণ O, U, E = 3 টি
ব্যঞ্জনবর্ণ C, M, P, T, R = 5 টি

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি বর্ণ ধরে COMPUTER শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

5 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁶P₅
= (6!)/(6 - 5)!
= 6!/1!
= 6!
= 720

∴ মোট 5 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 720 টি।

মোট বস্তু = ৫২, ভাগ সংখ্যা = ৪
প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা = ৫২/৪ = ১৩
আমরা জানি, বিন্যাস = (মোট বস্তু!)/(প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা!)^{ভাগ সংখ্যা}
∴ বিন্যাস = (৫২)!/(১৩!)^৪

যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৩-২)বা ১১ টি এবং ৫ টি থেকে বাছাই করতে হবে (৫-২) বা ৩ টি।
তাহলে, ১১ টি পুস্তক থেকে ৩ টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা
¹¹C₃ = 11!/3!(11-3)!
= 11!/3!8!
= 11.10.9.8!/3.2.8!
= 165

ⁿc_r + ⁿc_r-1 = ⁿ⁺¹c_r  .............(1)
(1) নং -এ n এর পরিবর্তে n+1 এবং r এর পরিবর্তে r+1 বসিয়ে পাই 
ⁿ⁺¹c_r+1 + ⁿ⁺¹c_r = ⁿ⁺²c_r+1

MATHEMATICS শব্দটির মধ্যে মোট 11 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ।
4 টি স্বরবর্ণের মধ্যে আবার 2 টি a আছে।
স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে বর্ণ সংখ্যা হয় 8 টি।
∴ সাজানো সংখ্যা 8! / 2!2! = 10080
4 টি স্বরবর্ণকে আবার নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 4! / 2! = 12 প্রকারে।
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো সংখ্যা = 10080 × 12 = 120960

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যেতে পারেঃ
1 জন চে. ----- 2 জন ভাইস চে. ---- 10 জন সদস্য
1 ------------ 1 ---------------- 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটি গঠনের সংখ্যা = ¹C₁ × ²C₁ × ¹⁰C₃
= 1 × 2 × 10!/{3! × (10-3)!}
= 1 × 2 × (10 × 9 × 8 × 7! ÷ 3! × 7!)
= 2 × 120
= 240

একটি স্থির ধরে 7 টির সবগুলো নিয়ে চক্রবিন্যাস (7-1)! = 6!
যেহেতু বামাবার্তে এবং ডানাবার্তে একই হয় তবে বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2 = 360

প্রশ্ন: 'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ENGINEER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যার মধ্যে Vowel আছে 4টি (তবে E আছে তিনটি)।
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি (যার মধ্যে n আছে দুইটি)

∴ 5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 120/2 = 60
Vowel চারটিকে সাজানো যায় = 4!/3! = 4

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 60 × 4 = 240

প্রশ্ন: চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায়ে হতে পারে?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্য:
প্রতিটি ফুটবল খেলার ফলাফল হতে পারে:
জয় (W),
হার (L),
ড্র (D)

প্রতিটি খেলার জন্য ৩টি ফলাফল হতে পারে 
∴ প্রতিটি খেলায় ৩টি ফলাফল হলে, চারটি খেলায়:
3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴ = 81

∴ চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল 81 উপায়ে হতে পারে।

5 টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত একটি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 2⁵ - 1 = 31

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁶P₄
= (6!)/(6 - 4)!
= 6!/2!
= 720/2
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।

২ জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে ৪ জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ^{(১০ - ২)}c_৪
= ৭০

প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 5
চিঠির সংখ্যা, r = 4
∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি 
= n^r
= 5⁴
= 625 টি উপায়ে 

প্রশ্ন: "SCHOOLS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
SCHOOLS শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
S দুইবার, O দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।
∴ মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 5040/4
= 1260 

SUCCESS শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
S তিনবার, C দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।
∴ মোট বিন্যাস = 7!/(3! × 2!)
= 5040/(6 × 2)
= 5040/12
= 420

∴ অনুপাত = 1260/420= 3

অতএব, "SCHOOLS" শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 3 গুণ।

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দটির অক্ষর গুলো থেকে চার অক্ষরবিশিষ্ট বিভিন্ন শব্দ গঠন হলে এদের কতগুলোতে Q থাকবে কিন্তু N থাকবে না?

সমাধান: 
'EQUATION' শব্দটিতে ৪টি বিভিন্ন বর্ণ রয়েছে।
যেহেতু গঠিত শব্দে N থাকবে না সুতরাং ব্যবহার্য বিভিন্ন বর্ণের মোট সংখ্যা (8 - 1) = 7 টি 
চার অক্ষরবিশিষ্ট শব্দের চারটি স্থানের একটি স্থান একটি নির্দিষ্ট বর্ণ Q দ্বারা পূরণ করার উপায়,
⁴P₁ = 4

অবশিষ্ট 3টি স্থান (7 - 1) বা 6 টি বর্ণ দ্বারা পূরণ করার উপায় = ⁶P₃ = 120

∴ নির্ণেয় শব্দ গঠনের উপায় = 4 × 120 = 480

প্রশ্ন বাছাই করার উপায় ^৭c_৪ × ^৭c_২ = ৩৫ × ২১ = ৭৩৫

দলটির ভ্রমণ করার উপায় নিম্নে দেখান হলো-
প্রথম যানবাহন ------ দ্বিতীয় যানবাহন
(১) 7 -------------- 2
(২) 6 -------------- 3
(৩) 5 -------------- 4
সুতরাং ভ্রমণ করার উপায় = ⁹C₇ + ⁹C₆ + ⁹C₅ = ⁹C₂ + ⁹C₃ + ⁹C₄
= 36 + 84 + 126
= 246

প্রশ্ন: একটি গাড়িতে 2টি সামনের ও 3টি পেছনের সিট আছে। 5 জন যাত্রী মোট কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট যাত্রী = 5 জন
সামনের সিট = 2টি
পেছনের সিট = 3টি

∴ 5 জন থেকে 2 জন বেছে নেওয়ার উপায় = ⁵P₂
 = 5!/(5 - 2)!
= (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

বাকি 3 জনকে পেছনের 3 সিটে বসানোর উপায় = 3! = 6

∴ মোট বসানোর উপায় = 20 × 6 = 120

প্রশ্ন: একটি সভায় এ ১৬ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি ২ জনে ১ টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ^১৬C_২
= ১৬!/{২! × (১৬ - ২)!}
= ১৬!/(২! × ১৪!)
= (১৬ × ১৫ × ১৪!)/(২! × ১৪!)
= (১৬ × ১৫)/২
= ১২০

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= ³⁰C₁ 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= ²⁹C₁
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870

8 জন আত্মীয় থেকে 5 কে ডাকা যায় = ⁸C_{5 =} 56উপায়ে 
বাকী 4 থেকে 2 জন ডাকা যায়= ⁴C₂ =6 উপায়ে
মোট ডাকা যায় = (56×6) = 336 উপায়ে

5টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 3টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।
(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁴c₂ × ⁴c₃
= 6 × 4 = 24
(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁴c₃ × ⁴c₂
= 4 × 6 = 24
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 24 + 24 = 48

^4-xP₂ = 6
(4-x)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1)(4-x-2)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1) = 6
16 – 8x + x² - 4 + x – 6 = 0
x² - 7x + 6 = 0
(x-6)(x-1) = 0
x = 6, 1
x = 6 হলে, (4-x) = 4- 6 = -2 ইহা ঋণাত্মক। এটা কখনো সম্ভব না। সেহেতু x এর মান হবে 1।