PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১১ / ১৮ · ১,০০১–১,১০০ / ১,৭৫০
প্রশ্ন: যদি nC12 = nC8 হয়, তবে 22Cn এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
nC12 = nC8
⇒ nCn - 12 = nC8
⇒ n - 12 = 8
∴ n = 12 + 8 = 20
সুতরাং, প্রদত্ত রাশি,
= 22Cn
= 22C20 ; [n = 20]
= 22!/(20! × 2!)
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= 11 × 21
= 231
প্রশ্ন: যদি nC6 = nC4 হয়, তাহলে nC3 এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
যদি nCa = nCb হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।
এখানে,
nC6 = nC4
⇒ 6 + 4 = n
⇒ n = 10
∴ nC3 = 10C3
= 10!/3!(10 - 3)!
= (10 × 9 × 8 × 7!)/(6 × 7!)
= 120
nCr = nCn-r = n!/(r!(n-r)!) [সূত্র]
প্রশ্ন: a, b, c, d, e, f, g, h - এই আটটি ভিন্ন বর্ণ থেকে 3টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যাবে?
সমাধান:
মোট ভিন্ন বর্ণ = 8টি
আমরা 3টি করে বর্ণ নিয়ে সাজাতে হবে।
8টি থেকে 3টি নিয়ে সাজানোর উপায় = 8P3
= 8!/(8 - 3)!
= 8!/5!
= (8 × 7 × 6 × 5!)/5!
= 8 × 7 × 6
= 336
সুতরাং, 336 ভাবে সাজানো যাবে।
5 questions can be selected in the following ways,
2 question from first group and 3 question from second group Or 3 question from first group and 2 question from second group.
= (4C2 × 4C3) + (3C4 × 4C2)
= 24 + 24
= 48
এক্ষেত্রে,
সংখ্যার ১ম অংকটি ৫ বা ৯ দ্বারা পূর্ণ করতে হবে। যা ২ উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
সুতরাং তৈরী সংখ্যা = ২ × ৬ = ১২টি।
5টি বাহু থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা = 5c4 = 5
যা নির্ণেয় চতুর্ভূজ সংখ্যা।
nC5 = nC7
5 + 7 = n = 12
এখন,12C11 = 12
প্রশ্ন: BEAUTIFUL শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?
সমাধান:
BEAUTIFUL শব্দে মোট 9টি বর্ণ আছে।
স্বরবর্ণ: E, A, U, I, U মোট 5টি, যার মধ্যে U আছে 2 বার।
যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না, তাই কেবল ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে (B, T, F, L) সাজানো যাবে।
ব্যঞ্জনবর্ণ = 4টি এবং সব ভিন্ন।
∴ সাজানোর সংখ্যা = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
গলার হার যেহেতু বৃত্তাকার তাই একটি স্থির রেখে বাকিগুলো হিসাব করতে হবে।
আবার সামনের দিক থেকে হার যেমন দেখায় পিছন দিক থেকেও একই রকম দেখায় তাই ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
∴ ১৮টি ভিন্ন রংয়ের পাথর হারে লাগানোর উপায় = (১৮ - ১)!/২
= ১৭!/২
প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?
সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 9 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= 9C4
= 9!/{4! × (9 - 4)!}
= 9!/(4! × 5!)
= (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 126
প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?
সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2
এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6!/2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 720/2
= 360
সুতরাং দলটি ভ্রমণ করতে পারবে 9C2 + 9C3 + 9C4 = 246 উপায়ে
প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়,যাতে R-দুইটি পাশাপাশি থাকবে না।
সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ 7 টি, R দুইটি, A দুইটি, তাহলে মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 1260
.
R দুইটিকে একটি বর্ণ ধরে মোট বর্ণ হয় 6 টি যাতে A দুইটি এবং R দুইটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2!/2! ,
তাহলে R দুইটিকে পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হয় = (6!/2!) × (2!/2!) = 360.
∴ ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো সাজানো যায়, যখন R দুইটি পাশাপাশি থাকবে না = 1260 - 360 = 900 প্রকারে।
প্রশ্ন: 'SCIENCE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি
এর মধ্যে C = 2 টি এবং E = 2 টি ।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260
৫, ৩, ৭, ২, ৩, মোট অংক আছে যাদের মধ্যে ২টি ৩ এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
পাঁচ অংকের জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ অংকে ২ নির্দিষ্ট করতে হবে।
এক্ষেত্রে অবশিষ্ট অংকগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যা = ৪!/২!
= ১২
প্রশ্ন: 25 জন সদস্যের একটি ক্লাব থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সহ-সভাপতি কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
সমাধান:
প্রথমে 25 জন সদস্য থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায় = 25C1
= 25
সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে 24 জন।
∴ 24 জন থেকে 1 জন সহ-সভাপতি নির্বাচন করা যায় = 24C1
= 24
∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 25 × 24 = 600
যেহেতু, একটি কালো রঙের মার্বেল মাঝখানে রাখতে হবে সেহেতু ৫টির মধ্যে ১টি স্থানে তা 5P1 = 5 উপায়ে রাখা যাবে।
অবশিষ্ট (৩-১) বা ২ স্থানে (১১-১)বা ১০ টি 10P2 = 90 উপায়ে সাজানো যাবে।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 5 x 90 = 450.
প্রশ্ন: একটি সভা শেষে প্রত্যেক সদস্য একে অপরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা ৬ হয় তাহলে সভায় কতজন সদস্য উপস্থিত ছিলেন?
সমাধান:
ধরি,
মোট সদস্য সংখ্যা = n জন
প্রশ্নমতে,
nC২ = ৬
⇒ n!/২! × (n - ২)! = ৬
⇒ {n × (n - ১) × (n - ২)}/{(n - ২)! × ২!} = ৬
⇒ n × (n - ১)/২ = ৬
⇒ n(n - ১) = ১২
⇒ n২ - n = ১২
⇒ n২ - n - ১২ = 0
⇒ n২ - ৪n + ৩n - ১২ = 0
⇒ n(n - ৪) + ৩(n - ৪) = 0
⇒ (n - ৪)(n + ৩) = 0
হয়, n - ৪ = 0 অথবা n + ৩ = 0
হয়, n = ৪ অথবা n = - ৩
কিন্তু লোকসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = ৪
অর্থাৎ মিটিঙে উপস্থিত সদস্য সংখ্যা = ৪ জন
প্রতিটি অংক প্রতিসংখ্যা যেকোন সংখ্যকবার নেয়া যাবে অর্থাৎ পুনরাবৃত্তি ঘটবে।
∴ এক্ষেত্রে 5টি সংখ্যা থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 54
= 625
প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?
সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!
∴ 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (9 - 1)!
= 8! = 40320
প্রশ্ন: যদি nPr = 720 এবং nCr = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
nPr = 720 এবং nCr = 120
আমরা জানি,
nPr = nCr × r!
⇒ 720 = 120 × r!
⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3
প্রশ্ন: nC9 = nC5 হলে, n এর মান কত?
সমাধান:
nC9 = nC5
⇒ nC9 = nCn - 5 [nCr = nCn - r সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 9 = n - 5
⇒ n = 9 + 5
∴ n = 14
১০ জন থেকে সমানসংখ্যক অর্থ্যাৎ, ৫ জন করে নিয়ে দল গঠন করার মোট উপায় = ১০!/(৫!)২
= ৩৬২৮৮০০/১৪৪০০
= ২৫২
এখন, সমান সংখ্যক বা ৫ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২৫২/২
= ১২৬
উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।
প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল কেবল একবার অন্য প্রতিটি দলের সাথে খেলবে। যদি মোট খেলার সংখ্যা 91 হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে কতগুলো দল ছিল?
সমাধান:
মনে করি, ঐ টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল ছিল।
প্রশ্নমতে,
nC2 = 91
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2 × 1 × (n - 2)!} = 91
⇒ n(n - 1)/2 = 91
⇒ n(n - 1) = 182
⇒ n2 - n - 182 = 0
⇒ n2 - 14n + 13n - 182 = 0
⇒ n(n - 14) + 13(n - 14) = 0
⇒ (n - 14)(n + 13) = 0
হয়,
n - 14 = 0 ⇒ n = 14
অথবা,
n + 13 = 0 ⇒ n = - 13 (ঋণাত্মক দলের সংখ্যা গ্রহণযোগ্য নয়)
∴ ঐ টুর্নামেন্টে 14 টি দল ছিল।
MILLENNIUM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১০ টি
প্রথমে ও শেষে M রাখলে বর্ণ থাকে (১০ - ২) বা ৮ টি তার মধ্যে L = 2, I = 2, N = 2
তাহলে সাজানো যাবে ৮!/ (২! ২! ২!)
= ৮.৭.৬.৫.৩ = ৫০৪০
প্রশ্ন: 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
সমাধান:
'SCHOOL' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 6 টি (S, C, H, O, O, L)
যেখানে, O দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (S, C, H, L) প্রতিটি একবার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) = 360
আবার,
'CLASS' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 5 টি (C, L, A, S, S)
যেখানে, S দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (C, L, A) প্রতিটি একবার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) = 60
∴ 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 360/60 = 6 গুণ।
APPLE শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 2টি p
প্রতিক্ষেত্রে 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দগঠন করার ক্ষেত্রে,
(a) দু'টি একই, বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(b) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(a) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 1×3c1 × 3!/2!
= 3×3 = 9
(b) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 4p3 = 24
∴ মোট সাজানোর উপায় = 9+24 = 33
প্রশ্ন: MISSISSIPPI শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে?
সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ আছে।
এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার
আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n!/(a! × b! × c! ……)
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11!/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650
∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650
মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা x টি
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 6(x - 2)
আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 5x + 6
প্রশ্নমতে,
6(x - 2) = 5x + 6
বা, 6x - 5x = 18
বা, x = 18
∴ বেঞ্চের সংখ্যা 18 টি।
প্রশ্ন: 10 টি ভিন্ন বই থেকে 3 টি বই নির্বাচন করে তাকের জন্য সাজাতে হবে। কতভাবে সাজানো সম্ভব?
সমাধান:
মোট বই আছে = 10 টি
10 টি থেকে নিতে হবে = 3 টি
∴ যতভাবে সাজানো সম্ভব = nPr
= 10P3
= 10! / (10 − 3)!
= 10!/7!
= 10⋅9⋅8. 7! / 7!
= 10⋅9⋅8
= 720
মোট দল ৩টি এবং প্রত্যেকে অন্যদেশের সাথে একবার খেলবে সুতরাং মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 3C2 টি।
= 3!/{(3-1)!×2!} টি
= 6/2 টি
= 3 টি
প্রশ্ন: 'ORANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
সমাধান:
মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 টি
পুনরাবৃত্তি নেই (সব বর্ণ আলাদা)।
স্বরবর্ণ হলো O, A, এবং E, অর্থাৎ 3 টি স্বরবর্ণ।
প্রথম স্থানে একটি স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা = 3 (O, A, বা E)
প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার পর, বাকি 5 টি অক্ষর সাজানোর উপায় বের করতে হবে।
যেহেতু কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, তাই বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
মোট উপায় সংখ্যা = প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা × বাকি বর্ণ সাজানোর উপায় সংখ্যা
= 3 × 120
= 360