বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৬C_৩ = (৬)!/{৩!(৬-৩)!} = ২০ ।
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০ ।
উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

তাস ভাগ করা যাবে = 52!/(13!)⁴

প্রশ্ন: 'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ENGINEER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যার মধ্যে Vowel আছে 4টি (তবে E আছে তিনটি)।
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি (যার মধ্যে n আছে দুইটি)

∴ 5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 120/2 = 60
Vowel চারটিকে সাজানো যায় = 4!/3! = 4

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 60 × 4 = 240

প্রশ্ন: প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 6, 5, 2, 3, 0 দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
এখানে, প্রত্যেকটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক 3 বা 5 হবে।
শেষ অবস্থানে 3 নির্দিষ্ট রেখে বাকি 4 অঙ্ক সাজানো যায় = 4! = 24 উপায়ে।

আবার,
প্রথম অবস্থানে 0 রেখে প্রাপ্ত সংখ্যা 5 অঙ্কের নয়।
সুতরাং প্রথম অবস্থানে 0 এবং শেষ অবস্থানে 3 রেখে বাকি 3টি অঙ্ক সাজানো যায় = 3! = 6 উপায়ে।
সুতরাং শেষ অবস্থানে 3 নিয়ে প্রাপ্ত অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 - 6 = 18

অনুরূপভাবে, 
শেষ অবস্থানে 5 নিয়ে প্রাপ্ত অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 18

∴  নির্ণেয় বিজোড় সংখ্যা = 18 + 18 = 36

সুতরাং, 6, 5, 2, 3, 0 অঙ্কগুলি ব্যবহার করে মোট 36টি অর্থপূর্ণ 5 অংকের বিজোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব।

প্রশ্ন: 6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
6 জন পুরুষ থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁶C₂
= 6!/(2! × 4!)
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

4 জন মহিলা থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁴C₂
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 6

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 15 × 6 = 90

TRIANGLE শব্দটিতে 8 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ রয়েছে
∴ 3 টি অক্ষর নিয়ে বাছাই করার উপায় = ⁸c₃
= 56

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা 4 টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে 3 টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = 4 × 3 = 12

প্রশ্ন: ১০ জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে মোট কতবার করমর্দন করা হবে?

সমাধান:
এখানে মোট ব্যক্তির সংখ্যা, n = ১০
যেহেতু করমর্দন করতে ২ জন ব্যক্তির প্রয়োজন হয়, তাই করমর্দনের সংখ্যা হবে n সংখ্যক ব্যক্তি থেকে ২ জন ব্যক্তি কত উপায়ে বাছাই করা যায় তার সমান।

আমরা জানি, করমর্দনের সংখ্যা = ⁿC_২
= {n(n - ১)}/২
= {১০ × (১০ - ১)}/২
= (১০ × ৯)/২
= ৯০/২
= ৪৫

∴ মোট ৪৫ বার করমর্দন করা হবে।

এখানে ৩টি সংখ্যা দুবার করে আছে।
সংখ্যাগুলো যে কোন ভাবে নিয়ে ৩^৩= ২৭ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিন্তু এর মধ্যে ১১১, ২২২, ৩৩৩ তিনটি সংখ্যা আসবে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
কেননা, সংখ্যাগুলো ২ বারের বেশি নেই।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ২৭ – ৩ = ২৪।

প্রশ্ন: 9 টি বলের মধ্যে 7টি লাল ও 2টি সাদা। দুইটি সাদা বল পাশাপাশি না রেখে বলগুলোকে যত প্রকারে সারিতে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
 এখানে মোট 9টি বলের মধ্যে 7টি লাল এবং 2টি সাদা বল আছে।
∴ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/(7! × 2!) 
= (9 × 8 × 7!)/(7! × 2 × 1)
= 9 × 4
=36

2টি সাদা বলকে একটি মনে করে মোট বল সংখ্যা (7+1) বা ৪টি।
৪টি বলের (যার মধ্যে 7টি লাল বল আছে) বিন্যাস সংখ্যা = 8!/7!
= (8 × 7!)/7!
= 8

∴ সাদা বল দুইটি পাশাপাশি না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 36 - 8 
= 28 

প্রশ্ন: 10 জন বালক ও 4 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?

সমাধান:
10 জন বালক থেকে 2 জন বালক বেছে নেওয়ার উপায় = ¹⁰C₂
= 10!/{2!(10 - 2)!}
= 10!/(2! × 8!)
= (10 × 9 × 8!)/(2 × 1 × 8!)
= (10 × 9)/2
= 45

4 জন বালিকা থেকে 2 জন বালিকা বেছে নেওয়ার উপায় = ⁴C₂
= 4!/{2!(4 - 2)!}
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3 × 2!)/(2 × 1 × 2!)
= (4 × 3)/2
= 6

∴ মোট উপায় = 45 × 6 = 270

আমরা জানি, np₀ = 1
∴ 6p₀ = 1

প্রশ্ন: পরিসর ২৪০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?

সমাধান:
শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান
⇒ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণি সংখ্যা
= ২৪০/১০
= ২৪ 

প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6 টি অক্ষরের মধ্যে 'E' আছে 2 টি 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2! 
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) 
= 360 

∴ 360 উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থী 5টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।
∴ মোট ফেল করার উপায়,
= ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31

ⁿc_r + ⁿc_r-1 = ⁿ⁺¹c_r
n = 6, r = 4 হলে,
⁶c₃ + ⁶c₄ = ⁷c₄

মান হিসেবে খ) ও গ) সমান। তবে এই ক্ষেত্রে সূত্র হিসাব করা উচিত।
এসকল ক্ষেত্রে নিকট তম উত্তর বাছাই করতে হবে; এই টাইপের প্রশ্ন কিছু কিছু ক্ষেত্রে হয়।
আমাদের কাছে এই মুহূর্তে গনিতের এই প্যাটার্নের প্রশ্ন মনে পড়ছে না।
তবে ২৫তম বিসিএস এর সাধারণ জ্ঞান বাংলাদেশ অংশে " কিশোর সংশোধন কেন্দ্র কোথায় অবস্থিত? -- গাজীপুর, টঙ্গী, কোনাবাড়ি, ঢাকা --  এই চারটি অপশনের প্রথম তিনটি সঠিক। নিকটতম বিচারে টঙ্গী সঠিক।
এই প্রশ্নে সবচেয়ে গ্রহণযোগ্য হিসাবে গ) সঠিক উত্তর।

MONDAY শব্দটিতে ৬ টি অক্ষর আছে। প্রথমে M রেখে বিন্যাস সংখ্যা 5! = 120
এবং প্রথমে M এবং শেষে Y রেখে বিন্যাস সংখ্যা 4! = 24
প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না এমন
শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (120 - 24) বা 96

প্রশ্ন: (n + 1)!/(n - 2)! = ?

সমাধান:
(n + 1)!/(n - 2)! 
= (n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2)!/(n - 2)! [কারণ (n + 1)! = (n + 1) n (n - 1) (n - 2)!]
= (n + 1) × n × (n - 1)
= n × (n + 1) × (n - 1)
= n × (n² - 1)
= n³ - n

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 20

∴  হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ²⁰C₂
= 20!/{2! × (20 - 2)!} 
= 20!/(2! × 18!)
= (20 × 19 × 18!)/(2! × 18!)
= 190

প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে,
মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে C = 2 টি এবং  E = 2 টি ।

∴  মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260

HAITI শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের দু'টি I;
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করার ক্ষেত্রে-
(i) 2টি I অন্য একটি ভিন্ন অক্ষর
(ii) সবগুলো অক্ষর ভিন্ন ভিন্ন।

(i) এর ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = 1 × ³c₁ × 3!/2! = 9
(ii) এর ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = ⁴p₃ = 24

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 9 + 24 = 33

প্রশ্ন: ৫ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - ১)! উপায়ে 

 ৫ জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (৫ - ১)!
= ৪!
= ২৪ উপায়ে

প্রশ্ন: 10 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 10 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (10 - 1)!
= 9! = 3,62,880

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 1920 এবং ⁿC_r = 80 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 1920 এবং ⁿC_r = 80

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 1920 = 80 × r!
​⇒ r! = 1920/80
⇒ r! = 24
⇒ r! = 4!
∴ r = 4

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। করমর্দন সংখ্যা 120 হলে, সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সদস্য সংখ্যা = n জন  

প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করেছে, অর্থাৎ প্রতিটি জোড়া একবারই করমর্দন করেছে।  
∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = দুই জনের মধ্যে নির্বাচনের সংখ্যা = ⁿC₂
= n!/2!(n - 2)
= n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে,
n(n - 1)/2 = 120
⇒ n² - n - 240 = 0
⇒ n² - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n(n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16)(n + 15) = 0
হয়, 
n - 16 = 0
∴ n = 16
অথবা, 
n + 15 = 0
∴ n = - 15  ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সদস্য সংখ্যা = 16 জন

প্রশ্ন: 'LAUGHTER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
LAUGHTER শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে এবং সবকটি বর্ণ ভিন্ন।

সুতরাং, ভিন্ন 8টি বর্ণকে সাজানোর সংখ্যা = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₅ = ⁿC₉ হয়, তবে ²⁴C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ⁿC₁₅ = ⁿC₉
⇒ ⁿC_{n - 15} = ⁿC₉ 
⇒ n - 15 = 9
∴ n = 15 + 9 = 24 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= ²⁴C_n
= ²⁴C₂₄  ; [n = 24]
= 1

প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (3 + 5 ) = 8 জন

তিন জন বালক একত্রে থাকলে তিন জনকে একজন ধরতে হয়
এক্ষেত্রে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন
= 6 জন

6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক নিজেদের মধ্যে কে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 720 × 6 = 4320

প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 190
⇒ n!/2!(n - 2)! = 190
⇒ {n × (n - 1)×(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190 [n! = n × (n - 1) × (n - 2)!]
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 190 × 2
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n² - n - 380 = 0
⇒ n² - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0

হয় n + 19 = 0 অথবা n - 20 = 0
⇒ n = - 19 অথবা n = 20

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 19 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 20

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 20টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

3, 4 ও 5 অর্থাৎ মোট 3 টি অঙ্ক থেকে 2 টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠন করা যায় - ³P₂ = 6 টি

প্রশ্ন: 6 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 6 টি
চিঠির সংখ্যা, r = 4 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r
= 6⁴
= 1296 টি উপায়ে

আমরা জানি,
নির্বাচনে ভোট দেয়ার উপায় = (প্রার্থী)^{ভোটার সংখ্যা} = ৩^৩০

প্রশ্ন: কিছু উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 90 এবং সর্বনিম্ন মান 35 হলে উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
পরিসর = (বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা) + 1
= 90 - 35 + 1
= 55 + 1
= 56

প্রশ্ন: 12 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে, 12 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹²C₃
= 12!/{3! × (12 - 3)!}
= 12!/(3! × 9!)
= (12 × 11 × 10 × 9!)/(3 × 2 × 1 × 9!)
= (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1)
= (12 × 11 × 10)/6
= 1320/6
= 220

∴ 12 টি বিন্দু দিয়ে মোট 220 টি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

COURAGE শব্দটি মোট ৭ টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে যার 4 টি স্বরবর্ণ।
∴ প্রথমে স্বরবর্ণ রেখে অবশিষ্ট ৬ টি অক্ষর সাজানো যায় ⁶P₆ উপায়ে
∴ ৪ টি স্বরবর্ণ প্রথমে স্থানে ⁴p₁ উপায়ে বসানো যায়। 
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₆ × ⁴p₁ = 2880

7 টি লাল বল
2 টি সাদা বল
মোট বল = 9 টি
∴ বিন্যাস = 9!/(7!2!) = 36

প্রশ্ন: ১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল, কত রকম উপায়ে নির্বাচন করা যায়?

সমাধান: 
১৫ সদস্য বিশিষ্ট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল বাছাই করতে হলে, ২ জন কে বাছাই এর বাইরে রাখতে হবে।
(১৫ - ২) = ১৩ জনের মধ্য থেকে (১১ - ২) = ৯ জন কে বাছাই করতে হবে। 

উপায় সংখ্যা = ১৩C৯ 
= ১৩!/{৯! × (১৩ - ৯)!}
= ১৩!/(৪! × ৯!)
= (১৩ × ১২ × ১১ × ১০ × ৯!)/(৪ × ৩ × ২ × ৯!)
= ৭১৫

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৭১৫ 

৭, ২, ৮, ৩, মোট ৪টি অংক রয়েছে।
৭০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি ৭ অথবা ৮ দিয়ে পূর্ণ করতে হবে,
যা ²p₁ = 2 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
∴ মোট গঠিত সংখ্যা = ২ × ৬
= ১২