সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন ৫ টা ৪৫ মিনিট বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রী হবে?

সমাধান:
এখানে, H = ৫ এবং M = ৪৫

মধ্যবর্তী কোণ = |(১১M - ৬০H)/২|
= |(১১ × ৪৫ - ৬০ × ৫)/২|
= |(৪৯৫ - ৩০০)/২|
= |১৯৫/২|
= |৯৭.৫|
= ৯৭.৫°

৫ টি গরু ১ দিনে দুধ দেয় ৫ লিটার
∴ ১ 〃〃 ১ 〃〃〃৫/৫ 〃
∴ ২০〃〃২০〃〃〃(৫×২০×২০)/৫〃
= ৪০০ লিটার

ধরি,
স্রোতের গতি 'ক' কিমি/ঘন্টা

তাহলে,
ভাটি তথা স্রোতের দিকে নৌকার গতি = ১৫ + ক
উজান তথা স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার গতি = ১৫ - ক

প্রশ্নমতে,
{৩০/(১৫ + ক)} + {৩০/(১৫ - ক)} = ৪.৫
=> ৯০০ / (২২৫ - ক^২) = ৯/২
=> ৯ক^২ = ২২৫
=> ক^২ = ২৫
∴ ক = ৫

বড় অংশ ক হলে ছোট অংশ ২ক/৩ ফুট।
এখন, ক + ২ক/৩ = ৪০
বা, ৫ক/৩ = ৪০
বা, ক = ১২০/৫
বা, ক = ২৪
সুতরাং ছোট অংশ = (২×২৪)/৩
= ১৬ ফুট।

এখানে প্রতি জোড়ের বর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করেছে নিজেদের মধ্যে। তাই সঠিক উত্তর হবে BATSARTC

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে ১২ জন অতিথি উপস্থিত আছেন। যদি তারা প্রত্যেকে একে অপরের সাথে করমর্দন করেন, তবে মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
অনুষ্ঠানে অতিথি আছে, n = 12 জন

আমরা জানি, করমর্দন সংখ্যা = ⁿC₂

∴ অনুষ্ঠানে মোট করমর্দন সংখ্যা = ¹²C₂
= 12!/{2!(12 - 2)!}
= (12 × 11 × 10!)/(2 × 10!)
= 6 × 11
= 66 টি

∴ মোট করমর্দন সংখ্যা = 66 টি

প্রশ্ন: ৫০ কেজি মিশ্রণে চাল ও ডালের অনুপাত ৭ : ৩ । ঐ মিশ্রণে আর কত কেজি ডাল মেশালে অনুপাত ৭ : ৮ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​মিশ্রণের অনুপাত = ৭ : ৩
​মোট অংশ = ৭ + ৩ = ১০
​
∴ ​মিশ্রণে চালের পরিমাণ = ৫০ এর (৭/১০) = ৩৫ কেজি
এবং ​ডালের পরিমাণ = ৫০ এর (৩/১০) = ১৫ কেজি 
​
​ধরি,
​ডাল মেশাতে হবে = ক কেজি 
​
​প্রশ্নমতে,
​৩৫/(১৫ + ক) = ৭/৮
⇒ ​৭(১৫ + ক) = ৩৫ × ৮
​ ⇒ ১০৫ + ৭ক = ২৮০
​ ⇒ ৭ক = ২৮০ - ১০৫
 ⇒ ​৭ক = ১৭৫
 ⇒ ​ক = ১৭৫/৭ 
​ ⇒ ক = ২৫ 
​
​∴ ডাল মেশাতে হবে ২৫ কেজি।  

প্রশ্ন: নিচের কোনটি লিপ ইয়ার বা অধিবর্ষ?

সমাধান:
অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ার নির্ণয়ের দুটি প্রধান নিয়ম রয়েছে:
১. সাধারণ বছর: বছরটি 4 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।
২. শতাব্দী বছর (১০০ দ্বারা বিভাজ্য): বছরটি ৪০০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।

এখন,
ক) ২০২২ সাল: এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়। (২০২২ ÷ ৪ ⇒ ভাগশেষ ২)। 
⇒ অধিবর্ষ নয়।

খ) ১৯০০ সাল (শতাব্দী বছর): ১৯০০ ÷ ৪০০ দ্বারা বিভাজ্য নয় (ভাগশেষ ৩০০)।
 ⇒অধিবর্ষ নয়।

গ) ২০১০ সাল: এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়। (২০১০ ÷ ৪ ⇒ ভাগশেষ ২)।
⇒ অধিবর্ষ নয়।

ঘ) ২০০০ সাল (শতাব্দী বছর): ২০০০ ÷ ৪০০= ৫ (ভাগশেষ ০)।
⇒ অধিবর্ষ।

অতএব, ২০০০ সালটি অধিবর্ষ।

প্রশ্ন: একটি ভাইরাস প্রতিদিন দ্বিগুণ হারে ছড়ায়। যদি ১৮ দিনে এটি একটি শহরের সব মানুষকে আক্রান্ত করে, তবে শহরের ১/৪ অংশ মানুষ আক্রান্ত হতে কত দিন লাগবে?
​
​সমাধান:
​যেহেতু ভাইরাস প্রতি দিনে দ্বিগুণ হারে ছড়ায়, সেহেতু এর আগের দিন আজকের দিনের অর্ধেক হবে।
​
​শহরটি সম্পূর্ণ আক্রান্ত হতে সময় লাগে ১৮ দিন।
​তাহলে ১৮ দিনের আগের দিন অর্থাৎ ১৭ দিনে শহরের অর্ধেক মানুষ আক্রান্ত হয়ে যাবে।
​তার একদিন আগে, অর্থাৎ ১৬ দিনে শহরের ১/৪ অংশ মানুষ আক্রান্ত হয়ে যাবে।

১৫, ২১, ২৮ এর ল.সা.গু = ৪২০
৬ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০০
১০০০০০ = ৪২০ × ২৩৮ + ৪০

৬ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হচ্ছে = ১০০০০০ + (৪২০-৪০)
= ১০০০০০ + ৩৮০
= ১০০৩৮০

প্রশ্ন: পাঁচজন বন্ধু এক লাইনে বসে আছে। আরিফ সবচেয়ে বামদিকে। রিয়াদ আরিফের ঠিক পাশে। সাজিদ রিয়াদের ডানে। তানভীর, সাজিদ আর শুভর মাঝে। বামদিক থেকে চতুর্থ জন কে? 

সমাধান:
আরিফ সবচেয়ে বামদিকে ⇒ আরিফ ⇐ ১ম
রিয়াদ আরিফের ঠিক পাশে ⇒ রিয়াদ ⇐ ২য় 
সাজিদ রিয়াদের ডানে ⇒ সাজিদ ⇐ ৩য়
তানভীর, সাজিদ আর শুভর মাঝে ⇒ অর্থাৎ সাজিদ, তানভীর, শুভ এই ক্রমে

∴ সারি অনুযায়ী বসানো যায়- আরিফ, রিয়াদ, সাজিদ, তানভীর, শুভ

সুতরাং, বামদিক থেকে চতুর্থ জন তানভীর। 
 
 
 

প্রশ্ন: ২৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কি.মি. গতিতে চললে, ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = (২৫০ + ১৫০) মিটার = ৪০০ মিটার 

দেওয়া আছে,
ট্রেনের গতিবেগ = ৯০ কি.মি. /ঘণ্টা = (৯০ × ১০০০)/(৬০ × ৬০) মিটার/সেকেন্ড = ২৫ মিটার/সেকেন্ড 

ট্রেনটি ২৫ মিটার অতিক্রম করে = ১ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার অতিক্রম করে = ১/২৫ সেকেন্ডে
∴ ৪০০ মিটার অতিক্রম করে  = (১ × ৪০০)/২৫ = ১৬ সেকেন্ডে 

সুতরাং, প্ল্যাটফর্মটি পার হতে ট্রেনটির ১৬ সেকেন্ড সময় লাগবে। 

৩টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: যদি + অর্থ বিয়োগ, - অর্থ গুণ, × অর্থ ভাগ এবং ÷ অর্থ যোগ হয় তবে, ৩ - ৩ + ৩ ÷ ৩ × ৩ এর মান কত? 

সমাধান:
যদি + অর্থ বিয়োগ, - অর্থ গুণ, × অর্থ ভাগ এবং ÷ অর্থ যোগ হয়
৩ - ৩ + ৩ ÷ ৩ × ৩ এর শর্ত সাপেক্ষ চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই 
৩ × ৩ - ৩ + ৩ ÷ ৩ 
= ৩ × ৩ - ৩ + ১
= ৯ - ৩ + ১
= ১০ - ৩
= ৭

প্রশ্ন: একটি নির্ভুল ঘড়িতে সময় দেখাচ্ছে সকাল ১০টা। ঘড়িটিতে দুপুর ২টা দেখাতে গেলে ঘণ্টার কাঁটা মোট কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ১২ ঘণ্টায় মোট ৩৬০° ঘোরে।
∴ ১ ঘণ্টায় ঘোরে = ৩৬০°/১২ = ৩০° 

সকাল ১০টা থেকে দুপুর ২টা পর্যন্ত সময় ৪ ঘণ্টা

∴ মোট ঘূর্ণন হবে = ৩০° × ৪ = ১২০°