সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

L.C.M. of 6, 5, 7, 10 and 12 is 420.
So, the bells will toll together after every 420 seconds i.e. 7 minutes.
Now, 7 × 8 = 56 and 7 × 9 = 63.
Thus, in 1 hour (or 60 minutes), the bells will toll together 8 + 1 = 9 times, including the one at the start.

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 7 : 25 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = [|11M - 60H|]/2
= [| (11 × 25) - (60 × 7) |]/2
= [|275 - 420 |]/2
= [| - 145 |]/2
= 145/2
= 72.5

∴ ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = 72.5°

প্রশ্ন: দেয়ালঘড়িতে ৩টা ৩০ মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
ঘণ্টা = ৩
মিনিট = ৩০

আমরা জানি,
θ = |(১১ × মিনিট - ৬০ × ঘণ্টা)/২|
= |(১১ × ৩০ - ৬০ × ৩)/২|
= |(৩৩০ - ১৮০)/২|
= |১৫০/২|
= ৭৫°

∴ নির্ণেয় কোণ = ৭৫°

প্রশ্ন: √4 × i⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √4 = √(2)² 
= 2
এবং i⁴ = (i²)²
= (- 1)²            [∵ i² = -1]
= 1

প্রদত্ত রাশি, √4 × i⁴ = 2 × 1 = 2

সেকেন্ডে ট্রেনের গতিবেগ = (৬৩×১০০০) / (৬০×৬০) মিটার
= ১৭.৫ মিটার
∴ ৩৬ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (৩৬ × ১৭.৫) = ৬৩০ মিটার
ট্রেন বাদে দূরত্ব = ৬৩০ - ২২০ = ৪১০ মিটার।

The father of the boy's uncle → the grandfather of the boy and daughter of the grandfather → sister of father.

So, the boy can be this girl's sibling or cousin brother. 

প্রশ্ন: তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৩, ৯ এবং ১২ ঘণ্টায় সম্পন্ন করতে পারে। দুইটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘণ্টায় কতটুকু কাজ করতে পারবে?

সমাধান:
মেশিন তিনটি এক ঘণ্টায় যথাক্রমে কাজ করতে পারে ১/৩, ১/৯ এবং ১/১২ অংশ।
এখানে বেশি ক্ষমতাসম্পন্ন মেশিন হলো প্রথম দুইটি মেশিন (কারণ ৩ ও ৯ ঘণ্টা সময় অন্যটির চেয়ে কম)।

∴ এরা একত্রে এক ঘন্টায় সর্বোচ্চ কাজ করতে পারে = (১/৩) + (১/৯) অংশ 
= (৩ + ১)/৯ অংশ
= ৪/৯ অংশ

∴ দুইটি মেশিন এক ঘন্টায় সর্বোচ্চ ৪/৯ অংশ কাজ করতে পারবে।

প্রশ্ন: একটি খেলার মাঠে কয়েকটি দ্বিপদী ও চতুষ্পদী প্রাণী রয়েছে। মোট 12 টি মাথা এবং 40 টি পা দেখা গেছে। চতুষ্পদী প্রাণীর সংখ্যা বের করুন।

সমাধান:
ধরি,
চতুষ্পদী প্রাণীর সংখ্যা = x
দ্বিপদী প্রাণীর সংখ্যা = y

শর্তমতে, 
x + y = 12......(1) [মাথার সংখ্যা]
4x + 2y = 40........(2) [পায়ের সংখ্যা]

এখন, (1) নং হতে পাই, 
 ∴ y = 12- x

(2) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই, 
4x + 2(12 - x) = 40
⇒ 4x + 24 - 2x = 40
⇒ 2x = 40 - 24
⇒ 2x = 16
⇒ x = 16/2
∴ x = 8

সুতরাং, চতুষ্পদী প্রাণীর সংখ্যা 8 টি। 

প্রশ্ন: ১, ৮, ২৭, ৬৪, _______, ২১৬, এই ধারার শূন্যস্থানের লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ........., ২১৬ 
১^৩ = ১
২^৩ = ৮
৩^৩ = ২৭
৪^৩ = ৬৪
৫^৩ = ১২৫
৬^৩ = ২১৬
∴ লুপ্ত সংখ্যাটি হচ্ছে = ১২৫

∴ ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ১২৫, ২১৬  ।

বাসটি ৫০ মাইল যায় ১ ঘন্টা বা ৬০ মিনিটে
∴ ১৮০ মাইল যায় = (১৮০×৬০)/৫০ মিনিটে
= ২১৬ মিনিটে

৮০ মাইল যায় ২ ঘন্টা বা ১২০ মিনিটে।
∴ পরবর্তী ১০০ মাইল যেতে হবে ২১৬ - ১২০ = ৯৬ মিনিটে

ক ১৫ দিনে করে একটি কাজ
ক ১ দিনে করে কাজের (১/১৫) অংশ

আবার খ ৩০ দিনে করে একটি কাজ
খ ১ দিনে করে কাজের (১/৩০) অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে কাজের (১/১৫+ ১/৩০) অংশ
= (১/১০) অংশ

শর্টকাট

নির্ণেয় কাজের অংশ
= (১৫ + ৩০)/(১৫×৩০)
১/১০

প্রশ্ন: 2 টা 20 মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান: 
মধ্যবর্তী কোন = │(11m - 60h)/2│°
= │(11 × 20 -  60 × 2)/2│°
= │(220 - 120)/2│°
= │100/2│°
= 50°

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোনটি বসবে?
৩, ১৮, ৯, ১৫, ২৭, ১২, ৮১, ৯, ২৪৩, ?

সমাধান:
এখানে দুইটি ধারা পাশাপাশি লিখা হয়েছে।
যেখানে আগের সংখ্যার সাথে তিন গুণ করে পরবর্তী সংখ্যা বের করা হয়েছে।
∴ ১ম ধারাটি : ৩, ৯, ২৭, ৮১, ২৪৩, …

আবার,
যেখানে আগের সংখ্যা থেকে ৩ বিয়োগ করে পরবর্তি সংখ্যা বের করা হয়েছে।
∴ ২য় ধারাটি : ১৮, ১৫, ১২, ৯, ৬, …

∴ প্রশ্নবোধক স্থানে ৬ বসবে।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৬ ঘণ্টা, ১০ ঘণ্টা ও ১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/৬ অংশ
দ্বিতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/১০ অংশ
তৃতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/১৫ অংশ

∴ তিনটি নল একসাথে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = (১/৬) + (১/১০) + (১/১৫) অংশ
= (৫ + ৩ + ২)/৩০ অংশ
= ১০/৩০ অংশ
= ১/৩ অংশ

অর্থাৎ, তিনটি নল একসাথে ১ ঘণ্টায় চৌবাচ্চার ১/৩ অংশ পূর্ণ করে।
∴ পুরো চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে সময় লাগবে = ৩ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি ১২০ ফুট লম্বা রশি এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের এক-পঞ্চমাংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বড় অংশ = ক ফুট 
∴ ছোট অংশ = (ক এর ১/৫) = ক/৫ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/৫) = ১২০ 
⇒ (৫ক + ক)/৫ = ১২০ 
⇒ ৬ক/৫ = ১২০ 
⇒ ৬ক = ১২০ × ৫
⇒ ৬ক = ৬০০
⇒ ক = ৬০০/৬ 
∴ ক = ১০০

সুতরাং, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = ১০০/৫ = ২০ ফুট।

প্রশ্ন: ৭৫ লিটার মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে আরও ১৫ লিটার কেরোসিন মেশালে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ = ৫ 

∴ কেরোসিনের পরিমাণ = (৩/৫) × ৭৫ = ৪৫ লিটার।
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = (২/৫) × ৭৫ = ৩০ লিটার।

আবার, ১৫ লিটার কেরোসিন মেশানো হলে,
নতুন কেরোসিনের পরিমাণ = ৪৫ + ১৫ = ৬০ লিটার।
পেট্রোলের পরিমাণ অপরিবর্তিত = ৩০ লিটার।

∴ নতুন অনুপাত = কেরোসিন : পেট্রোল = ৬০ : ৩০ = ২ : ১  

প্রশ্ন: একজন লোক ঘণ্টায় q কি.মি হাঁটতে পারেন। p কি.মি দূরত্ব অতিক্রম করতে ঐ লোকের কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট 

এখন, 
q কি.মি হাঁটতে পারেন = ৬০ মিনিট 
 ∴ ১ কি.মি হাঁটতে পারেন = ৬০/q মিনিট
 ∴ p কি.মি হাঁটতে পারেন = ৬০p/q মিনিট

সুতরাং, ব্যক্তির p কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগবে ৬০p/q মিনিট।

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্ম এর দৈর্ঘ্য ৩২০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঐ প্ল্যাটফর্মকে অতিক্রম করতে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে,
= (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য)
= (২৫০ + ৩২০) মিটার
= ৫৭০ মিটার 

প্রশ্ন: A, B-এর বয়সের তিন গুণ। চার বছর আগে C, A-এর বয়সের দ্বিগুণ ছিল। চার বছর পরে A-এর বয়স 31 হবে।C-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চার বছর পরে A-এর বয়স 31 হবে।
∴ A-এর বর্তমান বয়স = 31 - 4 = 27

আবার,
চার বছর আগে C, A-এর বয়সের দ্বিগুণ ছিল।অর্থাৎ,
C - 4 = 2 × (A - 4)
⇒ C - 4 = 2 × (27 - 4)
⇒ C - 4 = 2 × 23
⇒ C - 4 = 46
∴ C = 50

∴C-এর বর্তমান বয়স 50 বছর

প্রশ্ন: জারিনের জন্ম ২৯ ফেব্রুয়ারী। তার জন্মগ্রহণের সাল কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনে হয় যখন বছরটি লিপ ইয়ার বা অধিবর্ষ হয়।

- যদি বছরটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি অধিবর্ষ (লিপ ইয়ার)।
- অপশনে প্রদত্ত সালগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ২০০৪ সালটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
- সুতরাং, ২০০৪ সালটি লিপ ইয়ার।

অতএব,
জারিনের জন্মগ্রহণের সাল হতে পারে ২০০৪।

ধরি, x = 2, y = 4
তাহলে, xy - 1 = 2.4/2 - 1 = 3
x²y + 1 = 2²4 + 1 = 17
x × (y² - 1)² = 2 × (4² - 1)² = 450
x + 2y + 1 = 2 + 2.4 + 1 = 11

প্রশ্ন: দুই যমজ ভাইয়ের মধ্যে একজন রকেটে চড়ে আলোর গতির কাছাকাছি বেগে মহাকাশে ভ্রমণ করে কয়েক বছর পরে পৃথিবীতে ফিরে এলেন। অন্য ভাইটি শুরু থেকেই পৃথিবীতে অবস্থান করছিলেন। ফিরে আসার পর তাদের বয়সের তুলনামূলক অবস্থা কী হবে?

সমাধান:
সঠিক উত্তর: গ) মহাকাশচারী ভাইয়ের বয়স পৃথিবীর ভাইয়ের চেয়ে কম হবে
• আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব (Special Relativity) অনুযায়ী, কোনো বস্তু যদি আলোর গতির কাছাকাছি বেগে ভ্রমণ করে, তবে তার জন্য সময় ধীরগতিতে চলে। একে 'টাইম ডাইলেশন' বা কাল দীর্ঘায়ন বলা হয়।

- মহাকাশচারী ভাইটি অত্যন্ত দ্রুত গতিতে ভ্রমণ করায় তার অতিবাহিত সময় পৃথিবীর সময়ের তুলনায় ধীরে চলেছে।
- ফলে পৃথিবীতে থাকা ভাইয়ের ঘড়িতে যখন কয়েক বছর পার হয়ে যাবে, মহাকাশচারী ভাইয়ের ঘড়িতে তখন হয়তো মাত্র কয়েক মাস পার হয়েছে।
- এই ঘটনাকে Twin Paradox বলা হয়।

∴ ফিরে আসার পর মহাকাশচারী ভাইটি তার পৃথিবীতে থাকা যমজ ভাইয়ের তুলনায় বয়সে তরুণ বা কম বয়সী থাকবেন।