সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 16

∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ¹⁶C₂
= 16!/2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 × 15 × 14!)/(2! × 14!)
= 120

প্রশ্ন: একটি ভাইরাস প্রতিদিন দ্বিগুণ হারে ছড়ায়। যদি ১৬ দিনে এটি একটি শহরের সব মানুষকে আক্রান্ত করে, তবে শহরের ১/৪ অংশ মানুষ আক্রান্ত হতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
যেহেতু ভাইরাস প্রতি দিনে দ্বিগুণ হারে ছড়ায়, সেহেতু এর আগের দিন আজকের দিনের অর্ধেক হবে।

শহরটি সম্পূর্ণ আক্রান্ত হতে সময় লাগে ১৬ দিন।
তাহলে ১৬ দিনের আগের দিন অর্থাৎ ১৫ দিনে শহরের অর্ধেক মানুষ আক্রান্ত হয়ে যাবে।
তার একদিন আগে, অর্থাৎ ১৪ দিনে শহরের ১/৪ অংশ মানুষ আক্রান্ত হয়ে যাবে।

ঙ বাংলা ব্যঞ্জনবর্ণের ৫ম বর্ণ, D ইংরেজী বর্ণমালার ৪র্থ বর্ণ
∴ ঙ × D = ২০
ম বাংলা ব্যঞ্জনবর্ণের ২৫ তম বর্ণ, I ইংরেজী বর্ণমালার ৯ তম বর্ণ
ম × I = ২২৫

প্রশ্ন: একটি ভোজসভার শেষে ১০ জন ব্যক্তি একে অপরের সাথে করমর্দন করে। সেখানে মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
১০ জন ব্যক্তি একে অপরের সাথে করমর্দন করছে।
তাহলে, মোট ব্যক্তি, n = 10
একটি করমর্দনে দুজন ব্যক্তি যুক্ত থাকে। তাহলে, r = 2

∴ মোট করমর্দন সংখ্যা = ⁿC_r 
= ¹⁰C₂ 
= n(n - 1)/2
= (10 × 9)/2
= 45

প্রশ্ন: ঘড়িতে রাত ৯ : ২০ বাজলে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ঘণ্টা ও কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = {(১১ × মিনিট) - (৬০ × ঘণ্টা)}/২
= |(১১ × ২০) - (৬০ × ৯)|/২
= |২২০ - ৫৪০|/২ 
= |- ৩২০|/২
= ১৬০°

সুতরাং, ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ১৬০°।

প্রশ্ন: একটি দুধ ভর্তি বালতির ওজন ২০ কেজি। বালতিটি অর্ধেক দুধ পূর্ণ থাকলে তার ওজন হয় ১২ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পূর্ণ দুধ ভর্তি বালতির ওজন = ২০ কেজি
অর্ধেক দুধ ভর্তি বালতির ওজন = ১২ কেজি

এখন,
অর্ধেক দুধের ওজন = ২০ - ১২ = ৮ কেজি
∴ পূর্ণ দুধের ওজন = ৮ × ২ = ১৬ কেজি

আবার,
খালি বালতির ওজন = পূর্ণ বালতির ওজন - পূর্ণ দুধের ওজন
∴ খালি বালতির ওজন = ২০ - ১৬ = ৪ কেজি

অতএব, খালি বালতির ওজন = ৪ কেজি।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে কিছু ৫০ টাকা, কিছু ২০ টাকা এবং কিছু ১০ টাকার নোট আছে যার আর্থিক মূল্য ৬৬০ টাকা। ঐ বাক্সে ২০ টাকার নোট ১০টি থাকলে সর্বোচ্চ কতটি ৫০ টাকার নোট আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ টাকার নোট ১০টি = (১০ × ২০) টাকা 
= ২০০ টাকা

বাকি থাকে = (৬৬০ - ২০০) = ৪৬০ টাকা

৪৬০ টাকার মধ্যে সর্বোচ্চ ৫০ টাকার নোট হতে পারে = ৯ × ৫০ + ১০
অর্থাৎ ৯ টি ৫০ টাকার নোট ও ১ টি ১০ টাকার নোট

∴ সর্বোচ্চ ৫০ টাকার নোট = ৯টি

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার এক-তৃতীয়াংশ সময় লাগে । যাতায়াতে যদি ১৬ ঘন্টা সময় লাগে, তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে -

সমাধান: 
মনে করি, 
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ক ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৩ক ঘণ্টা  

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক = ১৬ 
⇒ ৪ক = ১৬ 
⇒ ক = ১৬/৪
∴ ক = ৪

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৪ ঘণ্টা।

মনে করি,
সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে,
ক এর ৮০% - ৮০ = ৮০
বা, ক এর ৮০/১০০ = ৮০ + ৮০
বা, ৮০ক = ১৬০০০
বা, ক = ২০০

প্রশ্ন: আজ অপুর জন্মদিন। তার জন্মদিনের 49 দিন পর তার বড় বোনের জন্মদিন পালিত হয়। আজ মঙ্গলবার হলে অপুর বোনের জন্মদিন কোন দিন পালিত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো দিন হতে 7 দিন পর পর একই বার ফিরে আসে।
অর্থাৎ, 7 এর যেকোনো গুণিতক সংখ্যক দিন পর পুনরায় একই বার পাওয়া যাবে।

অপুর জন্মদিন: মঙ্গলবার
বোনের জন্মদিন: 49 দিন পর (অর্থাৎ 50 তম দিনে)

এখানে, 49 দিন = (7 × 7) + 0 দিন অবশিষ্ট
যেহেতু 49 সংখ্যাটি 7 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তাই 49 দিন পরের দিনটি (অর্থাৎ 50 তম দিন) হবে আগের বারের মতোই।

অর্থ্যাৎ, মঙ্গলবার + 49 দিন = মঙ্গলবার
∴ অপুর বড় বোনের জন্মদিন মঙ্গলবার পালিত হবে।

√2 = 1.414
√3 = 1.732
∴ √2 এবং √3 এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যাটি 1.5।

আবিরের বর্তমান বয়স = ১০ বছর
তার মায়ের বর্তমান বয়স = ২০ + ১০ = ৩০ বছর
তার বাবার বয়স = ৩০ + ৫ = ৩৫ বছর
আবিরের জন্মের সময় তার পিতার বয়স ছিলো = ৩৫ - ১০ = ২৫ বছর
∴ তার পিতা বিয়ে করেছিলেন যখন উনার বয়স = ২৫ - ২ = ২৩ বছর

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য 0.3 মিটার, প্রস্থ 0.03 মিটার ও উচ্চতা 0.3 মিটার। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরবে?

​সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 0.3 মিটার,
চৌবাচ্চার প্রস্থ = 0.3 মিটার এবং
চৌবাচ্চার উচ্চতা = 0.3 মিটার
​
∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
= (0.3 × 0.03 × 0.3) ঘনমিটার
= 0.0027 ঘনমিটার
​
∴ ​চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরবে = 0.0027 ঘনমিটার 
​= (0.0027 × 1000) লিটার 
​= 2.7 লিটার 

প্রশ্ন: যদি মাসের ৫ম দিন বুধবার হয়, তাহলে মাসের ২৭তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
মাসের ৫ম দিন বুধবার হলে,
৫ + ৭ = ১২তম,
১২ + ৭ = ১৯তম,
১৯ + ৭ = ২৬তম দিনও বুধবার হবে।
∴ ২৬তম দিন বুধবার।

সুতরাং, ২৬ + ১ = ২৭তম দিন হবে বুধবারের পরের দিন = বৃহস্পতিবার।

০.০০৩ × ০.০০১ = ০.০০০০০৩
০.০০০০০৩ × ০.১৫ = ০.০০০০০০৪৫

প্রশ্ন: একটি প্রিন্টার মেশিন দ্বারা সেকেন্ডের এক-চতুর্থাংশ সময়ে ৩ টি কাগজ প্রিন্ট করা যায়। এই হারে ৫ মিনিটে কতগুলো কাগজ প্রিন্ট করা যায়?

সমাধান:
৫ মিনিট = (৫ × ৬০) সেকেন্ড = ৩০০ সেকেন্ড

এখন, 
১/৪ সেকেন্ডে কাগজ প্রিন্ট করা যায় = ৩ টি
∴ ১ সেকেন্ডে কাগজ প্রিন্ট করা যায় = ৩ × ৪ টি
∴ ৩০০ সেকেন্ডে কাগজ প্রিন্ট করা যায় = ৩ × ৪ × ৩০০ = ৩৬০০ টি 

অতএব, ৫ মিনিটে ৩৬০০ টি কাগজ প্রিন্ট করা যায়। 

প্রশ্ন: ৬টা ৪৫ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ = │(11m - 60h)/2 │°
= │(11 × 45 - 60 × 6)/2│°
= │(495 - 360)/2│°
= │135/2│°
= 67.5°

প্রশ্ন: একটি ঘড়িতে ১০টা বাজে। ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ = | (১১M - ৬০H)/২ |
= | (১১ × ০ - ৬০ × ১০)/২ |
= |- ৬০০/২ |
= |- ৩০০ |
= ৩০০°

∴ উৎপন্ন প্রবৃদ্ধ কোণ = (৩৬০° - ৩০০°)
= ৬০°

প্রশ্ন: ৮১ লিটার মিশ্রনে দুধ ও পানি ৭ : ২ অনুপাতে মিশ্রিত আছে। কি পরিমাণ দুধ যোগ করলে মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত ৮ : ২ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২ 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাতের সমষ্টি = ৯ 
∴ দুধ = (৮১ × ৭)/৯ = ৬৩ লিটার 
এবং 
পানি = (৮১ × ২)/৯ = ১৮ লিটার 

মনে করি, 
ক লিটার দুধ যোগ করতে হবে। 

প্রশ্নমতে, 
 ৬৩ + ক : ১৮ = ৮ : ২
বা, (৬৩ + ক)/১৮ = ৮/২
​বা, (৬৩ + ক)/১৮  = ৪  
​​বা, ৬৩ + ক  = ৪ × ১৮
বা, ৬৩ + ক = ৭২ 
বা, ক = ৭২ - ৬৩ 
∴ ক = ৯ 

∴ দুধ যোগ করতে হবে = ৯ লিটার ।

প্রশ্ন: যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ১৫ মিনিট করে সময় পিছিয়ে যায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দেখাবে?

সমাধান:
ঘড়ির মোট সময় = ১২ ঘণ্টা = (১২ × ৬০) = ৭২০ মিনিট
৭২০ মিনিট পিছিয়ে গেলে ঘড়িতে আবার সঠিক সময় পাওয়া যাবে।

দেওয়া আছে, ঘড়িটি প্রতিদিন ১৫ মিনিট করে পিছিয়ে যায়।

এখন,
১৫ মিনিট পিছিয়ে যেতে সময় নেয় = ১ দিন
∴ ১ মিনিট পিছিয়ে যেতে সময় নেয় = ১/১৫ দিন
∴ ৭২০ মিনিট পিছিয়ে যেতে সময় নেয় = ৭২০/১৫ = ৪৮ দিন

∴ ঘড়িটি ৪৮ দিন পর পুনরায় সঠিক সময় দেখাবে।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ০.২ মিটার। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরবে?

​সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ০.২ মিটার,
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ০.২ মিটার এবং
চৌবাচ্চার উচ্চতা = ০.২ মিটার
​
∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
= (০.২ × ০.২ × ০.২) ঘনমিটার
= ০.০০৮ ঘনমিটার
​
∴ ​চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরবে = ০.০০৮ ঘনমিটার 
​= (০.০০৮ × ১০০০) লিটার 
​= ৮ লিটার 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি লিপ ইয়ার বা অধিবর্ষ নয়?

সমাধান:
সঠিক উত্তর: গ) ১৮০০ সাল

অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ার নির্ণয়ের দুটি প্রধান নিয়ম রয়েছে:
১. সাধারণ বছর: বছরটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।
২. শতাব্দী বছর (১০০ দ্বারা বিভাজ্য): বছরটি ৪০০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।

এখন,
ক) ২০২৪ সাল: ২০২৪ ÷ ৪ = ৫০৬ (ভাগশেষ ০)।
⇒ অধিবর্ষ।

খ) ২০২৮ সাল: ২০২৮ ÷ ৪ = ৫০৭ (ভাগশেষ ০)।
⇒ অধিবর্ষ।

গ) ১৮০০ সাল (শতাব্দী বছর): ১৮০০ ÷ ৪০০ দ্বারা বিভাজ্য নয় (ভাগশেষ ২০০)।
⇒ অধিবর্ষ নয়।

ঘ) ১৬০০ সাল (শতাব্দী বছর): ১৬০০ ÷ ৪০০ = ৪ (ভাগশেষ ০)।
⇒ অধিবর্ষ।

অতএব, ১৮০০ সালটি অধিবর্ষ নয়।

প্রশ্ন: মাহিন, সাইমা ও রাকিবকে ৪ : ৯ : ৭ অনুপাতে কিছু টাকা ভাগ করে দেওয়া হলো। যদি মাহিন ও রাকিব মোট ৭৯২ টাকা পায়, তাহলে সাইমা কত টাকা পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাহিন : সাইমা : রাকিব = ৪ : ৯ : ৭
মাহিন ও রাকিব মোট পায় = ৭৯২ টাকা।

ধরি,
অনুপাতের সাধারণ অংশ = ক
মাহিন পায় = ৪ক,
সাইমা পায় = ৯ক,
রাকিব পায় = ৭ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ৪ক + ৭ক = ৭৯২
⇒ ১১ক = ৭৯২
⇒ ক = ৭৯২/১১
∴ ক = ৭২

∴ সাইমা পায় = ৯ক = ৯ × ৭২ = ৬৪৮ টাকা

ধরি, ক এর ৩০% = ৯
বা, ক এর ৩০/১০০ = ৯
বা, ক = (৯ × ১০০)/৩০
বা, ক = ৩০

৭.০০১
-০.১
+০.৩৯৫
= ৭.২৯৬

প্রশ্নটাতে ভাষাগত সমস্যা আছে। প্রশ্নকর্তা যেভাবে করতে চেয়েছিলেন সেভাবে হয়নি। তবে, এই প্রশ্ন অনুসারে উত্তর ৩ ঘন্টা হবে। দেওয়া আছে,
ভ্রমণের সময় বিমানের গড় গতিবেগ ছিল ২০০ কিমি/ঘণ্টা
অর্থাৎ, ১ ঘন্টায় যায় ২০০ কিমি। ৩ ঘন্টায় যায় ৬০০ কিমি।