সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: আমার কক্ষে আমি বসে ছিলাম, এমন সময় এক নিঃসন্তান বৃদ্ধ দম্পতি ও তাদের সাথে চার দম্পতি প্রত্যেকে একজন করে সন্তানসহ আমার কক্ষে প্রবেশ করলেন। আমার কক্ষে মোট কতজন লোক হলো?

সমাধান:
প্রতি দম্পতিতে ২ জন করে ৫ দম্পতি = ১০ জন ও ৪ দম্পতির সাথে ১ জন করে ৪ জন সন্তান।
মোট ১০ + ৪ = ১৪ জন।

আমার ঘরে আমি সহ সর্বমোট ১৪ + ১ = ১৫ জন।

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল 365 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ধারাবাহিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে,  n - 1, n, n + 1 (যেখানে n মধ্যবর্তী সংখ্যা)।

প্রশ্নমতে,
(n - 1)² + n² + (n + 1)² = 365
⇒ n² - 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 = 365
⇒ 3n² + 2 = 365
⇒ 3n² = 365 - 2 = 363
⇒ n² = 363/3 = 121
⇒ n² = 11²
∴ n = 11
অতএব, সংখ্যাগুলো: 10, 11, 12
∴ বড় সংখ্যাটি = 12

ধরি,
ক এর ৪৫% = ৯
বা, ক এর ৪৫/১০০ = ৯
বা, ক = ৯ × ১০০/৪৫
বা, ক = ২০

বানরটি প্রথম ২ সেকেন্ডে উঠে (৩ - ১) মিটার বা ২ মিটার।
সুতরাং (১৯ - ৩) মিটার বা ১৬ মিটার উঠতে সময় লাগবে ১৬ সেকেন্ড।
১৬ সেকেন্ড এ ১৬ মিটার উঠার পর বাকি ৩ মিটার ১ সেকেন্ডে উঠে।
১৯ মিটার উচু পিচ্ছিল বাঁশের উপরে উঠতে সময় লাগে
= (১৬ + ১) সেকেন্ড
= ১৭ সেকেন্ড

৪, ৩ এবং ৫ এর ল.সা.গু. = ৬০
অর্থাৎ, ক, খ এবং গ এর সর্বনিম্ন মানগুলো এরকম হবে,
ক = ১৫, খ = ২০ এবং গ = ১২
এখন, ক + খ + গ = ৪৭

প্রশ্ন: আগামীকালের পরের দিন যদি শনিবার হয়, তাহলে গতকালের তিন দিন আগে কী বার ছিল?

সমাধান:
দেওয়া তথ্যমতে, 
আগামীকালের পরের দিন = শনিবার
আগামীকাল = শুক্রবার
আজ = বৃহস্পতিবার

তাহলে গতকাল = বুধবার
গতকালের ১ দিন আগে = মঙ্গলবার
গতকালের ২ দিন আগে = সোমবার
গতকালের ৩ দিন আগে = রবিবার

সুতরাং, গতকালের তিন দিন আগে ছিল রবিবার। 

স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (২ × ৬০)/২০ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (২ × ৬০)/১২ = ১০ কিমি/ঘণ্টা
আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে বেগ = স্থির পানিতে বেগ + স্রোতের বেগ ......(১)
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = স্থির পানিতে বেগ - স্রোতের বেগ ......(২)
(১) - (২) করে
স্রোতের বেগ = (১০ - ৬)/২ = ২ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ১২০ এবং বৃহত্তর সংখ্যা দুইটির গড় ১৪০ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ১২০ হলে তাদের সমষ্টি = (১২০ × ৩) = ৩৬০
বৃহত্তম দুটি সংখ্যার গড় ১৪০ হলে তাদের সমষ্টি = (১৪০ × ২) = ২৮০

তাহলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩৬০ - ২৮০ = ৮০

প্রশ্ন: যদি 'NBMHP' এর অর্থ Mango হয়, তবে MFNPO এর অর্থ কী?

সমাধান: 


এখানে শব্দগুলোকে ডিকোড করার জন্য প্রতিটি বর্ণের ঠিক আগের বর্ণের নিতে হবে

N → M 
B → a 
M → n 
H → g 
P → o 

তাহলে,
M → L 
F → e 
N → m 
P → o 
O → n 

সুতরাং, MFNPO এর অর্থ Lemon

২০০৪ থেকে ২০১২ সাল ৮ বছর হয়। তার মধ্যে ২০০৮ ও ২০১২ লিপ ইয়ার।
∴লিপ ইয়ার বাদে বাকি ৬ বছরে দিন বাড়ে ৬ দিন আর লিপ ইয়ারে ২ + ২ = ৪ দিন মোট ১০ দিন বেশি হয়।
এখন, রবিবার + ১০ দিন = রবিবার + ৭ দিন + ৩ দিন
= রবিবার + ৩ [ রবিবারের সাথে ৭ দিন যোগ করলে আবার রবিবার পাওয়া যায়]
= বুধবার

প্রশ্ন: একটি প্রিন্টার মেশিন দ্বারা সেকেন্ডের এক-তৃতীয়াংশ সময়ে ২ টি কাগজ প্রিন্ট করা যায়। এই হারে ৪ মিনিটে কতগুলো কাগজ প্রিন্ট করা যায়?

সমাধান:
৪ মিনিট = (৪ × ৬০) সেকেন্ড = ২৪০ সেকেন্ড

১/৩ সেকেন্ডে কাগজ প্রিন্ট করা যায় = ২ টি
∴ ১ সেকেন্ডে কাগজ প্রিন্ট করা যায় = ২ × ৩ টি
∴ ২৪০ সেকেন্ডে কাগজ প্রিন্ট করা যায় = ২ × ৩ × ২৪০ = ১৪৪০ টি 

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকে দুইটি নল রয়েছে। প্রথম নল দ্বারা ট্যাংকটি ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা ৩ ঘণ্টায় খালি হয়। দুইটি নল একসাথে খোলা থাকলে ট্যাংকটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
​
সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
​২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
​∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/২ অংশ 
​
​২য় নল দ্বারা,
​৩ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
 ​∴ ​১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৩ অংশ
​
​দুইটি নল একসাথে খোলা থাকলে,
​ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = (১/২) - (১/৩) = (৩ - ২)/৬ = ১/৬ অংশ 
​
​এখন,
দুইটি নল একসাথে খোলা থাকলে,
​১/৬ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে = ১ ঘণ্টা 
​∴ ১ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে = (১ × ৬) ঘণ্টা = ৬ ঘণ্টা

৩টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

০.১÷০.০০১ = ১/১০ ÷ ১/১০০০
= ১/১০ × ১০০০/১ = ১০০

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 87 বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে। 
∴ BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/3) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (1/3) × 87 
= 29 বর্গএকক।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ০.৪ মিটার। ঐ চৌবাচ্চাটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ০.৪ মিটার,
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ০.৪ মিটার এবং
চৌবাচ্চার উচ্চতা = ০.৪ মিটার

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
= (০.৪ × ০.৪ × ০.৪) ঘনমিটার
= ০.০৬৪ ঘনমিটার

প্রশ্ন: PERMUTATION শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে 5 টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে t দুই বার থাকবে।

সুতরাং সাজানোর সংখ্যা = 6!/2! = 360 টি 
এবং PERMUTATION শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা। 
∴  পুনরায় সাজানো যেতে পারে = 360 - 1 = 359 ভাবে।

উল্লেখ্য যে, পুনরায় সাজানো কথাটি না বলে যদি বলা হতো মোট কতভাবে সাজানো যেতে পারে, তাহলে সঠিক উত্তর হতো 360 উপায়ে।

ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = x
পুত্রের বর্তমান বয়স = y
১ম শর্তমতে,
x - 8 = 7(y - 8) -------------- (i)
২য় শর্তমতে,
x + 2 = 3(y + 2)
⇒ x = 3y + 6 - 2
⇒ x = 3y + 4 ------------ (ii)
(ii) নং থেকে x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
3y + 4 - 8 = 7y - 56
⇒ 7y - 3y = 56 - 4
⇒ 4y = 52
∴ y = 13
y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই -
x = 3 × 13 + 4 = 43
∴ পিতার বয়স 43 এবং পুত্রের বয়স 13.

প্রশ্ন: দেয়ালঘড়িতে রাত ১০ : ২০  বাজলে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণ কত হবে?

সমাধান:
ঘণ্টা ও কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = {(১১ × মিনিট) - (৬০ × ঘণ্টা)}/২ 
= ।(১১ × ২০) - (৬০ × ১০)।/২ 
= ।(২২০ - ৬০০)।/২
= ।- ৩৮০।/২ 
= ১৯০°

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৬০° - ১৯০° 
= ১৭০°

সুতরাং, রাত ১০ : ২০ বাজলে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণ হলো ১৭০°।

মনে করি,
দূরত্ব = x কিমি
প্রশ্নমতে,
x/15 - x/10 = 2
=> 3x - 2x = 60
সুতরাং, x = 60 কিমি।

60 কিলোমিটার দূরত্ব 10 কিমি/ঘন্টা গতিতে যেতে সময় লাগবে 6 ঘন্টা।
অর্থাৎ, রাশেদ দুপুর ২টার 6 ঘন্টা আগে যাত্রা শুরু করেছিল।
অর্থাৎ, দুপুর ১ টার পৌছাতে হলে গতি = (60/5) কিমি/ঘন্টা
= 12 কিমি/ঘন্টা

প্রশ্ন: একটি প্রতিষ্ঠানে দৈনিক ৮ ঘণ্টার কাজের মজুরি ঘণ্টা প্রতি ২৫০ টাকা। কোন শ্রমিক ৮ ঘণ্টার বেশি কাজ করলে, শুধু অতিরিক্ত কর্মঘণ্টার জন্য স্বাভাবিক মজুরির ১.৫ গুণ হারে টাকা পায়। কোন শ্রমিক যদি একদিনে ১১ ঘণ্টা কাজ করে তবে সে কত টাকা মজুরি পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈনিক স্বাভাবিক কাজের সময় = ৮ ঘণ্টা
ঘণ্টাপ্রতি স্বাভাবিক মজুরি = ২৫০ টাকা
∴ ৮ ঘণ্টার (স্বাভাবিক) মজুরি = (৮ × ২৫০) টাকা 
= ২০০০ টাকা

আবার, 
অতিরিক্ত ঘণ্টার মজুরি = স্বাভাবিকের ১.৫ গুণ = ২৫০ × ১.৫ = ৩৭৫ টাকা/ঘণ্টা
এবং শ্রমিক একদিনে মোট কাজ করেছে = ১১ ঘণ্টা

∴ অতিরিক্ত কাজের সময় = ১১ - ৮ = ৩ ঘণ্টা

∴ অতিরিক্ত ৩ ঘণ্টার মজুরি = (৩ × ৩৭৫) টাকা
= ১১২৫ টাকা

∴ মোট মজুরি = স্বাভাবিক মজুরি + অতিরিক্ত মজুরি
= ২০০০ + ১১২৫
= ৩১২৫ টাকা

সুতরাং, শ্রমিক একদিনে ১১ ঘণ্টা কাজ করলে ৩১২৫ টাকা মজুরি পাবে।

প্রশ্ন: রাকিব, মামুনের চেয়ে ৭ বছরের বড় এবং তানভীরের চেয়ে ৭ বছরের ছোট। আবার মামুন এবং সুমন হলো যমজ। তাহলে তানভীর, সুমনের চেয়ে কত বছরের বড়?

সমাধান:
ধরি, মামুনের বয়স = x বছর।

যেহেতু মামুন এবং সুমন যমজ,
সুতরাং, সুমনের বয়স = x বছর।

প্রশ্নমতে, রাকিব হলো মামুনের চেয়ে ৭ বছরের বড়।
অতএব, রাকিবের বয়স = (x + ৭) বছর।

আবার, রাকিব হলো তানভীরের চেয়ে ৭ বছরের ছোট (অর্থাৎ তানভীর হলো রাকিবের চেয়ে ৭ বছরের বড়)।
অতএব, তানভীরের বয়স = (x + ৭) + ৭ = (x + ১৪) বছর।

এখন, তানভীর এবং সুমনের বয়সের পার্থক্য হবে:
= (x + ১৪) - x = ১৪ বছর।

∴ তানভীর, সুমনের চেয়ে ১৪ বছরের বড়।

প্রশ্ন: সাবিহা একটি বালিকা লাইনের যেকোন প্রান্ত থেকে ত্রয়োদশ অবস্থানে রয়েছে। ঐ লাইনে কতজন বালিকা আছে?

সমাধান: 
সাবিহা সামনের দিক এবং পিছনের দিক উভয় দিক থেকেই ১৩তম অবস্থানে রয়েছে।

ঐ লাইনে বালিকা আছে = ১২ + ১ + ১২ = ২৫ জন

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বেসিনের প্রস্থ ২ মিটার, গভীরতা ১.৫ মিটার এবং আয়তন ১৮ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য কত?
​
​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​আয়তন, V = ১৮ ঘনমিটার
প্রস্থ, W = ২ মি.
গভীরতা, H = ১.৫ মি.
দৈর্ঘ্য, L = ?

​আমরা জানি,
​আয়তন, V = L × W × H
​L = V/(W × H)
​= ১৮/(২ × ১.৫)
​= ১৮/৩
∴ L ​= ৬
​
 ∴ ​আয়তাকার বেসিনের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।

প্রশ্ন: সাড়ে ছয়টার সময় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান: 
মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ:
= │(11M - 60H)/2│
= │(11 × 30 - 60 × 6)/2│
= │330 - 360)/2│
= │- 30/2│
= 15°

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা একদিনে কতবার মিলিত হয়?

সমাধান:
সাধারণভাবে মনে হতে পারে যে প্রতি ঘণ্টায় কাঁটা দুটি একবার মিলিত হয়, অর্থাৎ ২৪ ঘণ্টায় ২৪ বার। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে, ১১টা থেকে ১টার মধ্যে কাঁটা দুটি কেবল একবার (ঠিক ১২টার সময়) মিলিত হয়।

ফলে প্রতি ১২ ঘণ্টায় কাঁটা দুটি ১১ বার মিলিত হয়।

যেহেতু একদিন = ২৪ ঘণ্টা, 
সেহেতু ২৪ ঘণ্টায় কাঁটা দুটি মিলিত হবে = (১১ × ২) বার = ২২ বার।

∴ ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা একদিনে ২২ বার মিলিত হয়।

এছাড়া,
- প্রতি ঘণ্টায় দুইবার ঘড়ির মিনিটের কাঁটা এবং ঘণ্টার কাঁটা পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে।
- প্রতি এক ঘণ্টায় ১ বার ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ও ঘণ্টার কাঁটা পরস্পর ১৮০° কোণে অবস্থান করে।

প্রশ্ন: আয়নায় দেখা গেল ঘড়িতে ৪ টা ১৫ মিনিট বাজে। তখন প্রকৃতপক্ষে সময় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ − আয়নায় দেখা সময়

এখানে,
আয়নায় দেখা সময় = ৪ : ১৫

∴ প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ − ৪ : ১৫
= ৭ : ৪৫
= ৭ টা ৪৫ 

- সাধারণত বছরের শুরু ও শেষ দিন একই বার হয় লিপ ইয়ার ছাড়া।
- লিপ ইয়ার হলে একদিন বেশি হবে।
- যেহেতু ২০২১ সালের ১লা জানুয়ারি শুক্রবার সুতরাং ৩১ ডিসেম্বর শুক্রবার হবে।

প্রশ্ন: সন্ধ্যা ৭ : ৩৫ মিনিট থেকে রাত ৮ : ২০ মিনিট পর্যন্ত একটি দেয়াল ঘড়ির মিনিটের কাঁটা কত ডিগ্রি ঘুরে? 

সমাধান:
সময়ের ব্যবধান = (৮ : ২০ - ৭ : ৩৫) মিনিট = ৪৫ মিনিট 

এখন,
মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে ঘুরে = ৩৬০° 
∴ মিনিটের কাঁটা ১ মিনিটে ঘুরে = ৩৬০°/৬০
∴ মিনিটের কাঁটা ৪৫ মিনিটে ঘুরে = (৩৬০° × ৪৫)/৬০ = ২৭০° 

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৩৮ কি.মি. এবং প্রতিকূলে ঘণ্টায় ৩০ কি.মি. বেগে চলে। স্রোতের গতিবেগ কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে গতি ৩৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে গতি ৩০ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের বেগ = (অনুকূলে গতি - প্রতিকূলে গতি)/২
= (৩৮ - ৩০)/২
= ৮/২
= ৪

∴ স্রোতের গতি ৪ কি.মি./ঘণ্টা

ধরি, টানেলের দৈর্ঘ্য x মিটার
আমরা জানি,
বেগ (v) = সরণ (s) / সময় (t)
এখানে বেগ = (৭২ × ১০০০) / ৩৬০০ = ২০ মি./সে.
সরণ = ৮০০ + x
সময় = ৬০ সে
প্রশ্নমতে,
⇒ (৮০০ + x) / ৬০ = ২০
⇒ ৮০০ + x = ১২০০
⇒ x = ৪০০ 
∴ টানেলের দৈর্ঘ্য ৪০০ মিটার