সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: ঘড়িতে ৩ : ৪০ মিনিট বাজার সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:
ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ,
= (১১ × M - ৬০ × H)/২
= (১১ × ৪০ - ৬০ × ৩)/২
= (৪৪০ - ১৮০)/২
= ২৬০/২
= ১৩০°

বকুল ১ দিনে করে ১/২০ অংশ কাজ
মুকুল ১ দিনে করে ১/৩০ অংশ কাজ
উভয়ে একত্রে ১ দিনে করে (১/২০+১/৩০) = ১/১২ অংশ
১/১২ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ কাজ করে ১২ দিনে।

মধ্যবর্তী কোণ
= |(১১×১৫ – ৬০×৬)/২|°
= |-(১৯৫/২)|°
= ৯৭.৫°

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় নেয়, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সেই সময়ের তিনগুণ সময় লাগে। সম্পূর্ণ যাতায়াতে মোট ১৬ ঘণ্টা সময় লাগলে, স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগে? 

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৩x ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
x + ৩x = ১৬
⇒ ৪x = ১৬ 
⇒  x = ১৬/৪ 
∴ x = ৪

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের বার্ষিক পরীক্ষায় ২০% শিক্ষার্থী পাশ করে। যদি পাশকৃত শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১৩০ জন হয়, তবে স্কুলের মোট শিক্ষার্থী কতজন?

সমাধান:
ধরি,
স্কুলের মোট শিক্ষার্থী = ক জন

প্রশ্নমতে,
ক এর ২০% = ১৩০
⇒ ২০ক/১০০ = ১৩০
⇒ ক/৫ = ১৩০
⇒ ক = ১৩০ × ৫
⇒ ক = ৬৫০ 

∴ স্কুলের মোট শিক্ষার্থী = ৬৫০ জন 

প্রশ্ন: আমার কক্ষে আমি একাই ছিলাম। এমন সময় একজন বিধবা মহিলা তার দুই ছেলে ও এক মেয়ে নিয়ে এবং তাদের সাথে তিন দম্পতি প্রত্যেকে দুজন করে সন্তানসহ প্রবেশ করলেন। মোট কতজন লোক হলো?

সমাধান:
প্রথমে কক্ষে ছিলাম শুধু আমি = ১ জন।

এরপর, 
প্রবেশ করলেন একজন বিধবা মহিলা + তার দুই ছেলে + এক মেয়ে = ১ + ২ + ১ = ৪ জন।

তিন দম্পতি = ৩ × ২ = ৬ জন (বাবা-মা)।
প্রত্যেক দম্পতির দুজন করে সন্তান = ৩ × ২ = ৬ জন সন্তান।

∴ মোট প্রবেশকারী = ৪ + ৬ + ৬ = ১৬ জন।

∴ কক্ষে মোট লোক = আমি + প্রবেশকারী = ১ + ১৬ = ১৭ জন।

অতএব, আমার কক্ষে মোট ১৭ জন লোক হলো।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ২০% বাদ দিলে যা থাকে তার ২৫% হলো ৪৮। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক 
ক-এর ২০% বাদ দিলে থাকে = ক - ক এর ২০%
= ক - (২০ক/১০০)
= (৫ক - ক)/৫
= ৪ক/৫ 

প্রশ্নমতে, 
⇒ (৪ক/৫) এর ২৫% = ৪৮ 
⇒ (৪ক/৫) × (২৫/১০০) = ৪৮
⇒ ৪ক/২০ = ৪৮
⇒ ক = (৪৮ × ২০)/৪
∴ ক = ২৪০ 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ২৪০।  

বাঁশের দৈর্ঘ্য x ফুট হলে, x/2 + x/3 + 4 = x
(3x + 2x + 24)/6 = x
5x - 6x = -24
x = 24 

প্রশ্ন: আজ যদি রবিবার হয় তবে আজ থেকে ৫২ দিন পর কোন দিনটি আসবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনো তারিখ হতে ৭ দিন পর পর (৮ম দিনে) একই বার পাওয়া যায়।অর্থাৎ, রবিবারের ৭ দিন পর বা ৮ম দিনে গিয়ে আবার রবিবার পাওয়া যাবে।
৫২ দিনের পরের দিন = ৫৩ তম দিন।
এখানে,
৭ × ৭ = ৪৯ দিন পর অর্থাৎ ৫০ তম দিন হবে রবিবার।
• ৫০তম দিন হচ্ছে - রবিবার।
• ৫১ তম দিন হচ্ছে - সোমবার।
• ৫২ তম দিন হচ্ছে - মঙ্গলবার।
• ৫৩ তম দিন হচ্ছে - বুধবার।

∴ ৫২ দিন পর অর্থাৎ ৫৩ তম দিন হলো - বুধবার।

প্রশ্ন: পিতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় অপেক্ষা মাতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় ২ বছর কম। মাতার বয়স ৩২ বছর হলে পিতার বয়স কত?

​সমাধান:
ধরি, 
​পিতার বয়স = ক বছর 
​২ পুত্রের বয়স = খ বছর 
​
​
​∴ পিতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় = (ক + খ)/৩ বছর 
এবং 
​মাতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় = (৩২ + খ)/৩ বছর

​প্রশ্নমতে,
​(৩২ + খ)/৩ = {(ক + খ)/৩} - ২
​⇒ (৩২ + খ)/৩ = {(ক + খ) - ৬}/৩
⇒ ​৩(৩২ + খ) = ৩(ক + খ - ৬)
​⇒ ​৩২ + খ = ক + খ - ৬
⇒ ​ক = ৩২ + খ - খ + ৬
​⇒ ​ক = ৩৮
​
∴ ​পিতার বয়স = ৩৮ বছর 

প্রশ্ন: মোট ৫২৪ টি ১০ পয়সা ও ২৫ পয়সার মুদ্রা মিলে ৭১ টাকা হলে ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
​২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = ক টি 
​১০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = (৫২৪ - ক) টি 
​
​প্রশ্নমতে,
​(২৫ক/১০০) + {(৫২৪ - ক)১০/১০০} = ৭১
​⇒ (২৫ক + ৫২৪০ - ১০ক)/১০০ = ৭১
​⇒ ​১৫ক + ৫২৪০ = ৭১০০
⇒ ​১৫ক = ৭১০০ - ৫২৪০
⇒ ​১৫ক = ১৮৬০
⇒ ​ক = ১৮৬০/১৫
​​⇒ ​ক = ১২৪
​
∴ ​২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = ১২৪ টি 

প্রশ্ন: √(১৫.৬০২৫) = ?

সমাধান:
√(১৫.৬০২৫) =৩.৯৫

১০ জন কৃষক ৭২০ টাকা আয় করে ৩ দিনে
১ জন কৃষক ৭২০ টাকা আয় করে (৩×১০) দিনে
৬  জন কৃষক ৭২০ টাকা আয় করে (৩×১০)/৬ = ৫ দিনে

এখানে, দুটি ধারা বিদ্যমান।
ধারাঃ J, K, M, P, T
অন্তর = 0, 1, 2, 3
ধারাঃ D, F, I, M, R
অন্তর = 1, 2, 3, 4
∴ প্রশ্নবোধক স্থানে MI হবে।

প্রশ্ন: '?' চিহ্নিত স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?



সমাধান:
এখানে,
ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত সংখ্যা = (ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোতে অবস্থিত সংখ্যাগুলোর যোগফল) ÷ 2

১ম ত্রিভুজে, (1 + 3 + 4)/2 = 8/2
= 4

২য় ত্রিভুজে, (7 + 7 + 6)/2 = 20/2
= 10

ধরি, '?' চিহ্নিত স্থানে x বসবে
৩য় ত্রিভুজে, (3 + 5 + x)/2 = 6
⇒ 8 + x = 12
⇒ x = 12 - 8
⇒ x = 4

∴ '?' চিহ্নিত স্থানে 4 বসবে। 

2 × 4 = 8, 3 × 4 = 12; 812
4 × 4 = 16, 5 × 4 = 20; 1620
6 × 4 = 24, 7 × 4 = 28; 2428

প্রতি ২ মিনিটে বানরটি উঠে ৩ মিটার
তাহলে (২×৪)বা ৮ মিনিটে উঠে (৩×৪)বা ১২ মিটার
৯ তম মিনিটে বানরটি একলাফে ৪ মিটার উঠে। যেহেতু ৪ মিটার উঠলে (১২+৪)বা ১৬ মিটার অর্থাৎ একদস বাশের মাথায় উঠে যায়। ফলে পরের মনিটে আর নামে না।
সুতরাং, বানরটির সময় লাগে(৮+১)বা ৯ মিনিট।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১২ ও ৬ কি. মি.। নদী পথে ৭২ কি. মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
নৌকার বেগ = ১২ কি. মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ৬ কি. মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতি = ১২ + ৬ = ১৮ কি. মি./ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে গতি = ১২ - ৬ = ৬ কি. মি./ঘণ্টা

এখন,
অনুকূলে যেতে নৌকাটির সময় = দূরত্ব/​গতি = ৭২/১৮​ = ৪ ঘণ্টা

আবার,
প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির সময় = দূরত্ব/​গতি = ৭২/৬ = ১২ ঘণ্টা

∴ মোট সময় = (৪ + ১২) = ১৬ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ১ জন শ্রমিক ১টি সোয়েটার তৈরি করতে ১ ঘণ্টা সময় নেয়। তাহলে ৬ জন শ্রমিক ৬টি সোয়েটার তৈরি করতে কত সময় নেবে?

সমাধান:
১ জন শ্রমিক ১টি সোয়েটার = ১ ঘণ্টা
∴ ১ জন শ্রমিক ৬টি সোয়েটার = ৬ ঘণ্টা

৬ জন শ্রমিক ১টি করে সোয়েটার তৈরি করলে, তারা একসাথে কাজ করবে,
অর্থাৎ প্রত্যেকে ১টি সোয়েটার ১ ঘণ্টায় তৈরি করবে।

অতএব, ৬ জন শ্রমিক ৬টি সোয়েটার তৈরি করবে ১ ঘণ্টায়।

কারণ: প্রতিটি শ্রমিক তার জন্য বরাদ্দকৃত একটি সোয়েটার তৈরি করতে ১ ঘণ্টা সময় নেয় এবং তারা সবাই একই সাথে কাজ শুরু করে ও শেষ করে, তাই ৬টি সোয়েটার একসাথে তৈরি হতে মোট সময় লাগবে = ১ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ২২ মিনিট আগে সময় ছিল ৫ টা বেজে ৪৮ মিনিট, ৭ টা বাজতে আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?

সমাধান:
২২ মিনিট আগে সময় ছিল ৫ টা বেজে ৪৮ মিনিট
∴ বর্তমানে সময় = ০৫ : ৪৮ মিনিট + ২২ মিনিট = ০৬ : ১০ মিনিট
৭ টা বাজতে সময় বাকি আছে = ০৭ : ০০ টা - ০৬ : ১০ মিনিট = ৫০ মিনিট

∴ ৭ টা বাজতে ৫০ মিনিট বাকি আছে।

প্রশ্ন: ২০২৫ সালে রফিকের ১২-তম এবং তার পিতার ৪০-তম জন্মদিন পালিত হয়েছে। কত বছর পর পিতার বয়স রফিকের বয়সের দ্বিগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, 
​ক বছর পর পিতার বয়স রফিকের বয়সের দ্বিগুণ হবে।
​
​প্রশ্নমতে,
​২(১২ + ক) = ৪০ + ক
⇒ ​২৪ + ২ক = ৪০ + ক
 ⇒ ​২ক - ক = ৪০ - ২৪
 ⇒ ​ক = ১৬
​
​অর্থাৎ ১৬ বছর পর রফিকের পিতার বয়স রফিকের বয়সের দ্বিগুণ হবে। 

প্রশ্ন: রাহাত শনিবার থেকে বুধবার প্রতিদিন সকাল ৭:৪৫ থেকে বিকাল ৩:৩০ পর্যন্ত কাজ করে। সপ্তাহে মোট কত ঘণ্টা কাজ করে?

সমাধান:
প্রথমে প্রতিদিনের কাজের সময় বের করব।

সকাল ৭ : ৪৫ থেকে বিকাল ৩ : ৩০ পর্যন্ত কাজ করে, অর্থাৎ,
বিকাল ৩ : ৩০ = ১৫ : ৩০ (২৪-ঘণ্টার ঘড়িতে)

∴ সময় = ১৫ : ৩০ - ৭ : ৪৫ = ৭ : ৪৫

এখন,
শনিবার থেকে বুধবার = ৫ দিন।

∴ সপ্তাহে মোট কাজের সময় = ৫ × ৭ ঘন্টা ৪৫ মিনিট
= ৫ × ৭.৭৫ ঘণ্টা
= ৩৮.৭৫ ঘণ্টা
= ৩৮ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট

 ∴ প্রতি সপ্তাহে রাহাত ৩৮ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট কাজ করে।

ধরি,
A = x,
সুতরাং, B = 2x, F = 4x এবং C = x/2,
আবার,
C = 2D,
∴ 2D = x/2,
বা, D = x/4,
সুতরাং, F > B > A > C > D