সমান্তর ধারা

এটি একটি সমান্তর ধারা যার
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 = 3
আমরা জানি,
n তম পদ = a+(n-1)d
∴ 29 তম পদ = 1+(29-1)3 = 85

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ...... + 62 ধারাটির, 
(i) একটি সসীম ধারা,
(ii) একটি গুণোত্তর ধারা
(iii) এর 19 তম পদ 59

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
শেষ পদ = 62
যেহেতু একটি নির্দিষ্ট পদ আছে, তাই এটি সসীম ধারা।

আবার, 
আমরা জানি, 
n-তম পদে, an = a + (n - 1)d
19-তম পদে, an = 5 + (19 - 1)3
= 5 + 18 × 3
= 5 + 54
= 59

∴ 19তম পদ = 59
এটি সসীম ধারা এবং 19তম পদ = 59

সঠিক উত্তর খ) i ও iii

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে অষ্টম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখন,
তৃতীয় পদ = a + (3 - 1) × 5
⇒ 30 = a + (2 × 5)
⇒ a + 10 = 30
⇒ a = 30 - 10
⇒ a = 20

∴ অষ্টম পদ = a + (8 - 1)d = 20 + (7 × 5) = 20 + 35 = 55

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){(2 × 5) + (17 - 1)4}
= (17/2){10 + (16 × 4)}
= (17/2)(10 + 64)
= (17/2) × 74 
= 629

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৭ = ৬
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1)d
৭ + (১৫-১) × ৬
= ৭ + ১৪ × ৬
= ৯১

n = 1 হলে, ধারাটির ১ম পদ /১ম পদের সমষ্টি = 1(1 + 1) = 2
n = 2 হলে, ধারাটির ১ম দুটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 – 2 = 4
n = 3 হলে, ধারাটির ১ম তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 12
ধারাটির ৩য় পদ = 12 – (2 + 4) = 6
তাহলে, ধারাটি 2 + 4 + 6 +………………………

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ............ + 24³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 24
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₄ = {24(24 + 1)/2}²
⇒ S₂₄ = {24 × 25/2}²
⇒ S₂₄ = (12 × 25)²
⇒ S₂₄ = (300)²
∴ S₂₄ = 90000

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 90000

2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ..... + (30)³
= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ...... + (30)³ - 1³
= {(30(30 + 1))/2}² - 1
= (15² × 31²)- 1
= 216224

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে, 
a + 11d = 77 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d} 
= (23/2)(2a + 22d) 
= (23/2) × {2(a + 11d)}
= (23/2) × 2 × 77 [∴ a + 11d = 77]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি = 1771.

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + …. ধারাটির প্রথম 25 টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, 
9 - 4 = 5 , 14 - 9 = 5
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5
n = 25

∴ ধারাটির প্রথম 25 পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= (25/2){(2 × 4)+ (25 - 1) × 5}
= (25/2){8 + (24 × 5)}
= (25/2)(8 + 120)
= (25/2) × 128
= 25 × 64
= 1600

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + .............. +  ৮৫ = ?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
শেষ পদ, p = ৮৫

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ৮৫ = ৫ + (n - ১)৪
⇒ ৮৫ - ৫ = (n - ১)৪
⇒ ৮০ = (n - ১)৪
⇒ n - ১ = ৮০/৪
⇒ n - ১ = ২০
⇒ n = ২১

সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র অনুযায়ী,
S_n = (n/২){2a + (n - ১)d}
⇒ S_২১ = (২১/২){২ × ৫ + (২১ - ১)৪}
⇒ S_২১ = (২১/২){১০ + ২০ × ৪}
⇒ S_২১ = (২১/২){১০ + ৮০}
⇒ S_২১ = (২১/২) × ৯০
⇒ S_২১ = ২১ × ৪৫

∴ সমষ্টি = ৯৪৫

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 

∴ 10তম পদ,
a + (10 - 1)d = 77
∴ a + 9d = 77

এখন, প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 77
= 1463

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + .......... ধারাটির 90 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 
পদ সংখ্যা, n = 90

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 90 তম পদ = 5 + {(90 - 1) × (3)}
= 5 + (89 × 3)
= 5 + 267
= 272

প্রশ্ন: ৩ + ৮ + ১৩ + ১৮ + ............ + ১৪৮ ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৮

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৮ = ৩ + (n - ১) × ৫
⇒ (n - ১) × ৫ = ১৪৮ - ৩ 
⇒ (n - ১) × ৫  = ১৪৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫ 
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে মোট ৩০টি পদ আছে।

প্রথম পদ a = 1
n তম পদ = 99
s_n = 2500
আমরা জানি, a + (n-1)d = 99
⇒ (n-1)d = 98 ..........(1)

আবার, s_n = n/2 {2a + (n-1)d}
2500 = n/2 . (2+98)
⇒ n = (2500×2)/100
⇒ n = 50
n এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
(50 - 1)d = 98
⇒ d = 98/49
∴ d = 2

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
পদসংখ্যা (n) = ২০
∴ সমষ্টি (s) = (২০/২){২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × (১০ + ৭৬)
= ৮৬০

১ম পদ a = 1,
সাধারন অন্তর d = 2,
শেষ পদ = 2n + 1
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/d} + 1
= {(2n + 1 - 1)/2} + 1
= n + 1
∴ সমষ্টি = {পদ সংখ্যা (শেষ পদ + ১ম পদ)}/2
= {(n + 1)(2n + 1 + 1)}/2
= {(n + 1)(2n + 2)}/2
= (n + 1)²

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ - 5 এবং সাধারণ অন্তর 7 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = - 5
সাধারণ অন্তর, d = 7
∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= - 5 + (n - 1)7
= - 5 + 7n - 7
= 7n - 12

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 log 8 + log 64 + log 512 +...............
= log (8¹) + log (8²) + log (8³) + ............ 
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8+.......... 
=( 1 + 2 + 3 +......) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +............. ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = {n(n + 1)}/2 
= {9(9 + 1)}/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি = 45 log 8

প্রথম ৬টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ২১

বিকল্প পদ্ধতিঃ
প্রথম ৬টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {৬ × (৬ + ১)}/২
= ৪২/২ = ২১

n তম পদ
= a+(n-1)d
76 = 1+(n-1)3
n = 26
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a+(n-1)d}
= 26/2{2.1 +(26-1)3}
= 13×(2+75)
=1001

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 -1) 10
⇒ 52 = a + 50
⇒ a = 2
∴ 17-তম পদ = 2 + (17 - 1) 10
= 2 + 160
= 162

১ম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ ৬ষ্ঠ পদ = a (৬ - ১)d = a + ৫d এবং
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১)d = a + ১৪d
∴ (a + ৫d) + (a + ১৪d) = ৮৫
বা, ২a + ১৯d = ৮৫
∴ প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = (২০/২){২a + (২০ - ১)d}
= ১০(২a + ১৯d)
= ১০ × ৮৫ [২a + ১৯d = ৮৫ বসিয়ে]
= ৮৫০

2² + 3² + 4² + …… + 11²
= (1² + 2² + 3² + 4² + …… + 11²) - 1
= [{11(11 + 1)(2.11+1)}/6] - 1
= {(11 × 12 × 23)/6} - 1
= (22 × 23) - 1
= 506 - 1
= 505

প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ - 5?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 19 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = (17 - 19) = - 2
ধারাটির n তম পদ = - 5 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 5 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 5 = 19 - 2n + 2
বা, - 5 = 21 - 2n
বা, - 5 - 21 = - 2n
বা, - 26 = - 2n
বা, 26 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2n = 26
বা, n = 26/2
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ - 5.

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৭, শেষ পদ ৪৬ এবং সাধারণ অন্তর ৩ হলে ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = ৭
শেষ পদ = ৪৬ 
সাধারণ অন্তর = ৩

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৪৬ - ৭)/৩} + ১
= (৩৯/৩) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + … + 91 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
3 + 7 + 11 + … + 91

এখানে,
প্রথম পদ = 3
শেষ পদ = 91
সাধারণ অন্তর = 7 - 3 = 4

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারণ অন্তর } + 1
= {(91 - 3)/4} + 1
= 22 + 1
= 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

আবার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 4
∴ n তম পদ = a + (n -1)d
= 3 + (n - 1)4
 
ATQ, 
3 + (n - 1)4 = 91
⇒ n - 1 = 88/4
⇒ n = 22 + 1
∴ n = 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

গড় = (১ম পদ+শেষ পদ)/২
= (1+99)/2
= 50
পদ সংখ্যা = (শেষ পদ-১ম পদ) / সাধারণ অন্তর + ১
= (99-1)/1 + 1
=99
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= 50×99
= 4950

এখানে,
a = ১,
d = ৪,
n = ৩৫
∴ ৩৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১ + (৩৫ - ১)৪
= ১ + ১৩৬
= ১৩৭

প্রশ্ন: প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (5 × 11)²
= (55)²
= 3025

১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d = ৪ - ১ = ৩

∴ ৩৫-পদ = a + (৩৫ - ১)d
= ১ + (৩৪ × ৩)
= ১০৩

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ….... ধারাটির কোন পদ 205 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 205
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
∴ a + (n - 1) d = 205
⇒ 5 + (n - 1). 4 = 205
⇒ 4(n - 1) = 205 - 5 = 200
⇒ n - 1 = 200/4 = 50
∴ n = 50 + 1 = 51

∴ প্রদত্ত ধারার 51 তম পদ = 205