সমান্তর ধারা

১ম পদ a = 7
সাধারন অন্তর d = 12 – 7 = 5
30 টি পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
= 30/2{2.7 + (30 - 1)5}
= 15(14 + 145) = 15 x 159 = 2385

১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর - d
∴ ৭ম পদ = a + ৬d = ৬০ ...... (১)
১২তম পদ = a + ১১d = ১০৫ ... (২)
২নং - ১নং হতে পাই,
৫d = ৪৫
∴ d = ৯
১নং থেকে পাই,
a + ৬.৯ = ৬০
বা, a = ৬০ - ৫৪
∴ a = ৬

১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = -2
প্রথম ছয়টি পদের সমষ্টি s = 2{1 - (-2)⁶}/3 = -42

ধারার ১ম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, ধারার n তম পদ = 383
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n-1)3 = 383
⇒ 5 + 3n - 3 = 383
⇒ 3n = 383 - 2
⇒ n = 127
∴ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (-২৩+৩৩)/২ x ।((-২৩-৩৩)/৪)। +১
= ৫ x ১৫
= ৭৫

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার ধারায় প্রথম পদ শেষ পদের চেয়ে ২০ কম হলে ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
তাহলে, শেষ পদ = a + ২০
সাধারণ অন্তর = ২ (ক্রমিক জোড় সংখ্যার অন্তর ২)

আমরা জানি, 
পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(a + ২০ - a)/২} + ১
= (২০/২) + ১ 
= ১০ + ১ 
= ১১  

সুতরাং,  ধারার পদসংখ্যা ১১টি

ধারাটির প্রথম পদ a = log 2
সাধারণ অন্তর d = log 2
= log 2 + (7-1) log 2
= 7log2
= log 27
= log 128

এখানে, ১ম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 6 - 3 = 3
শেষ পদ = 36
∴ পদসংখ্যা n = (36 - 3)/3 + 1 = 12
সমষ্টি S = 12 × (36 + 12)/2
= 6 × 39
= 234

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 19-তম পদ 188 এবং সাধারণ অন্তর 10 হলে প্রথম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির 19 তম পদ = 188
সাধারণ অন্তর, d = 10
প্রথম পদ, a = ? 

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 19 তম পদ = a + (19 - 1)d
⇒ 188 = a + (18 × 10) 
⇒ 188 = a + 180
⇒ a = 188 - 180 
⇒ a = 8

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

১ম পদ a = ৫
সাধারন অন্তর d = ৮ - ৫ = ৩
মনেকরি, r তম পদ = ৩০২
a_+(r-1)d = 302
বা, 5+(r-1)3 = 302
বা, 5+3r-3 = 302
বা, r = 300/3
বা, r = 100
100-তম পদ = 302

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি 7 এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে 8 বেশি হলে ধারার 101তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 8
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 101 তম পদ = 7 + (101 - 1) × 8
= 7 + (100 × 8)
= 7 + 800
= 807

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ 34 এবং ১৩তম পদ 64 হলে, এর ১৮তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সাধারণ পদ,
T_n = a + (n - 1)d
যেখানে, প্রথম পদ = a এবং  সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
T₇ = a + 6d = 34 ......(1)
T₁₃ = a + 12d = 64 ......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
⇒ (a + 12d) - (a + 6d) = 64 - 34
⇒ 6d = 30
⇒ d = 5
∴ d = 5 

d এর মান (1) নং এ  সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ a + 6 × 5 = 34
⇒ a + 30 = 34
∴ a = 4

এখন ১৮তম পদ, T18 = a + (18 - 1)d
= 4 + 17 × 5
= 4 + 85
= 89

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12তম পদ 300 হলে 30তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 30তম পদ = a + (30 - 1)d
= 135 + 29 × 15
= 135 + 435
= 570
সুতরাং, ধারাটির 30তম পদ হলো 570.

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 12³ = কত?

সমাধান:
এখানে, পদসংখ্যা, n = 12
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S_n = { n(n + 1)/2 }²
∴ S₁₂ = { 12(12 + 1)/2 }²
= { (12 × 13)/2 }²
= (156/2)²
= (78)²
= 6084

∴ 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 12³ = 6084

প্রশ্ন: ৭ + ১১ + ১৫ + ১৯ + ...... ধারাটির কোন পদ ১৯১?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = ৭
সাধারণ অন্তর d = ১১ - ৭ = ৪
ধারার n তম পদ = ১৯১

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৭+ (n-1) × ৪ = ১৯১
⇒ ৭ + ৪n - ৪ = ১৯১
⇒ ৪n = ১৮৮
⇒ n = ৪৭

∴ ৪৭তম পদটি হলো ১৯১

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 296?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 296

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n - 1)3 = 296
⇒ 5 + 3n - 3 = 296
⇒ 3n = 294
⇒ n = 98
∴ ধারাটির 98 তম পদ 296 হবে।

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.......+15² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 15
∴ সমষ্টি = {15(15 + 1)(2 × 15 + 1)}/6
= {15 × 16 × (30 + 1)}/6
= (15 × 16 × 31)/6
= 7440/6
= 1240

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ১২ এবং ১৫তম পদ ২৫০ হলে ৪২তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ১২

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - ১)d

সুতরাং,
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১) × ১২
বা, ২৫০ = a + ১৪ × ১২
বা, ২৫০ = a + ১৬৮
বা, a = ২৫০ - ১৬৮
∴ a = ৮২

এখন,
৪২তম পদ = a + (৪২ - ১)d
= ৮২ + ৪১ × ১২
= ৮২ + ৪৯২
= ৫৭৪

প্রথম পদ a = 5, নবম পদ = 69 হলে, সাধারন অন্তর = d
∴ 69 = 5 + (9 - 1)d বা, 8d = 64 ∴ d = 8
∴ 21 তম পদ = 5 + 160 = 165 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 22 এবং পনেরো তম পদ 52। প্রথম পদ কত? 

সমাধান: 
সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

a₅ = 22 থেকে:
a₁ + 4d = 22........(i)

a₁₅​ থেকে:
a₁ + 14d = 52......(ii)

(ii) থেকে (i) বাদ দিয়ে: 
(a₁ + 14d) - (a₁ + 4d) = 52 - 22
⇒ 10d = 30
⇒ d = 3 

(i) এ d = 3 স্থাপন করে:
a₁ + 4 × 3 = 22
a₁ + 12 = 22 
⇒ a₁ = 10

প্রশ্ন: প্রথম 13টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, S = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
দেওয়া আছে, n = 13

∴ S = {13(13 + 1)(2 × 13 + 1)}/6
= (13 × 14 × 27)/6
= 4914/6
= 819

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 819

ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 3 - 1 = 2
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
= n/2 {2 + (n - 1)2}
= n/2 (2 + 2n - 2)
= 2n²/2
= n²

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + 14 + .......... ধারাটির 50 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 2 = 4
পদ সংখ্যা, n = 50

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 50 তম পদ = 2 + {(50 - 1) × (4)}
= 2 + (49 × 4)
= 2+ 196
= 198

নির্ণেয় সংখ্যাটি
= {২০(২০ + ১)/২}^২ - {৮(৮ + ১)/২}^২
= (২১০)^২ - (৩৬)^২
= ৪৪১০০ - ১২৯৬
= ৪২৮০৪

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
r - তম পদ = a + (r - 1)d
6 - তম পদ = a + (6 -1) 10
=> 52 = a + 50
=> a = 2
∴ 15 - তম পদ = 2 + (15 - 1) 10
= 2 + 140
= 142

১ম পদ a = ৭,
সাধারন অন্তর d = ১০ - ৭ = ৩
∴ n-তম পদ = a + (n - ১)d = ৭৩
বা, ৭ + (n - ১)৩ = ৭৩
বা, ৭ + ৩n - ৩ = ৭৩
বা, ৩n + ৪ = ৭৩
বা, ৩n = ৬৯
∴ n = ২৩

∴ সমষ্টি = ২৩/২{২ × ৭ + (২৩ - ১)৩}
= ২৩/২(১৪ + ২২ × ৩)
= (২৩ × ৮০)/২
= ৯২০

ধারাটির ৭ম পদ = cos(7π/2) [∵ n = 7]
= cos (7 × 90°)
= cos 630°
= 0

১ম পদ a = ৩,
সাধারণ অন্তর d = ৩
n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ১১৪ = ৩ + (n - ১)৩
বা, (n - ১)৩ = ১১৪ - ৩
বা, (n - ১)৩ = ১১১
বা, n - ১ = ৩৭
বা, n = ৩৭ + ১
= ৩৮

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং তৃতীয় পদ 9 হলে ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

​সমাধান:
দেয়া আছে,
প্রথম পদ a = 5
৩য় পদ = 9

২য় পদ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7

সাধারণ অন্তর d = 7 - 5 = 2

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + ( n - 1)d}
12 টি পদের সমষ্টি = (12/2){2a + (12 - 1)d}
= 6{2 × 5 + 11 × 2}
= 6 (10 + 22)
= 6 × 32
= 192

a = 1,
d = ?
পদ সংখ্যা = n
সমষ্টি = (1 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 2500 = (100 × n)/2
∴ n = 50
আবার,
n = {(99 - 1)/d}+ 1
বা, 50 = (98/d) + 1
বা, 49 = 98/d
∴ d = 2

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 12 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log8 + log64 + log512 +...........
= log8¹ + log8²+ log8³ +...........
= log8 + 2 log8 + 3 log8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি, 
= n(n + 1)/2
= {12 × (12 + 1)}/2
= (12 × 13)/2
= 156/2
= 78

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 78 log8

এখানে,
a = 7,
d = 6,
n = 20
∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= 20/2{2.7 + (20 - 1)6}
= 10(14 + 114)
= 1280

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ (- 2)^{n - 1} × 3 হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = (- 2)^{n - 1} × 3

১ম পদ (n = 1): (- 2)^{1 - 1} × 3 = (- 2)⁰ × 3 = 1 × 3 = 3
২য় পদ (n = 2): (- 2)^{2 - 1} × 3 = (- 2)¹ × 3 = - 2 × 3 = - 6
৩য় পদ (n = 3): (- 2)^{3 - 1} × 3 = (- 2)² × 3 = 4 × 3 = 12

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল = 3 + (- 6) + 12
= 3 - 6 + 12
= 9

সাধারণ অন্তর = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
={(2n - 1 -1)/2} + 1
= n - 1 + 1
= n

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 7ম পদ 32 এবং 13তম পদ 62 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
যেখানে, ১ম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
৭ম পদ, a₇ = 32
a + 6d = 32 ...... (১)

এবং,
১৩তম পদ, a₁₃ = 62
a + 12d = 62 ...... (২)

এখন, সমীকরণ ২ থেকে সমীকরণ ১ বিয়োগ করে পাই,
(a + 12d) - (a + 6d)= 62 - 32
⇒ a + 12d - a - 6d = 30
⇒ 6d = 30
⇒ d = 30/6 = 5
∴ d = 5

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর 5

প্রশ্ন: 5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 71?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 5,
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6, 
প্রদত্ত ধারাটি সমান্তর ধারা,
মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 71

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1) d
a + (n - 1) d = 71
বা, 5 + ( n - 1)6 = 71
বা, 6(n - 1 ) = 71 - 5
বা, 6n - 6 = 66
বা, 6n = 72 
 ∴ n = 12

∴ ধারাটির 12 তম পদ 71

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?
 
সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2 × 2 + {(n - 1) × 3}]
= n/2 (4 + 3n - 3)
= n/2 (3n + 1)
= n(3n + 1)/2

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(3n + 1)/2