সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ: a = 7
সাধারণ অন্তর: d = 13 - 7 = 6
পদের সংখ্যা: n = 20

প্রথম n পদের যোগফল সূত্র:
S_n = n/2[2a + (n - 1)d]
S₂₀ = 20/2[2 × 7 + (20 - 1)6]
S₂₀ = 10[14 + 19 × 6]
S₂₀ = 10[14 + 114]
S₂₀ = 10[128]
S₂₀ = 1280

∴20 পদের যোগফল 1280

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
দেওয়া আছে,
a₃ = a + 2d = - 13 .......(1)
a₈ = a + 7d = 2 .......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
(a + 7d) - (a + 2d) = 2 - (- 13)
⇒ 5d = 15
⇒ d = 15/5 = 3
∴ d = 3

d এর মান (1) বসিয়ে পাই,
⇒ a + 2 × 3 = - 13
⇒ a + 6 = - 13
⇒ a = - 13 - 6
∴ a = - 19

এখন ১৪তম পদ, a₁₄ = a + 13d
= - 19 + 13 × 3
= - 19 + 39
= 20

সুতরাং, ধারাটির ১৪তম পদ = 20

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৩টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৫টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩
সাধারণ অন্তর (d) = ৫
পদ সংখ্যা (n) = ২০

আমরা জানি,
n-তম পদ= a + (n - 1)d
∴ ২০ তম পদ = ৩ + (২০ - ১) × ৫
= ৩ + ১৯ × ৫
= ৩ + ৯৫
= ৯৮টি

প্রশ্ন: ২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ...... ধারাটির ১৫ তম পদ নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = - ৫ - ২ = - ৭

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
১৫তম পদ, a_১৫ = ২ + (১৫ - ১) × (- ৭)
= ২ + ১৪ × (- ৭)
= ২ - ৯৮
= - ৯৬

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৪
∴ 11 তম পদ = 85
বা, a + (n - 1)d = 85
বা, a + (11 - 1)8 = 85
বা, a + 80 = 85
∴ a = 5
∴ 16 তম পদ = a + (16 - 1)d
= 5 + 15 × 8
= 5 + 120
= 125

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি, প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে, 5ম পদ = 24
⇒ a + (5 - 1) × d = 24
⇒ a + 4d = 24

এখন, 5টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1) × d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40
⇒ a + (a + 4d) = 40
⇒ a + 24 = 40
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16

১ম পদ a = ১৩
সাধারন অন্তর d = ১৭ - ১৩
= ৪
পদ সংখ্যা = (৯৩ - ১৩)/d + ১
= ৮০/৪ + ১
= ২০ + ১
= ২১
∴ সমষ্টি = ২১/২(১৩ + ৯৩)
= (২১ × ১০৬)/২
= ২১ × ৫৩
= ১১১৩

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12 তম পদ 300 হলে 33 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 33 তম পদ = a + (33 - 1)d
= 135 + 32 × 15
= 135 + 480
= 615

সুতরাং, ধারাটির 33 তম পদ হলো 615

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 2
সাধারণ পদ, d = 5 - 2 = 3
n তম পদ = 299

প্রশ্নমতে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 299 = 2 + (n - 1) × 3
⇒ 3n - 3 + 2 = 299
⇒ 3n - 1 = 299
⇒ 3n = 299 + 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 299

a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
=(1+ 50)/2 x50
= 51/2 × 50
= 51 x 25
= 1275

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
                 = 2+140
                 =142

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(150 - 10)/5} + 1
= (140/5) + 1
= 28 + 1
= 29

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
5ম পদ = a + 4d = 44
⇒ a + 4 × 8 = 44
⇒ a + 32 = 44
⇒ a = 12

এখন
12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 12 + 11 × 8 
= 12 + 88 
= 100

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 92 হলে, তার প্রথম 29টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= a + 14d

প্রশ্নমতে,
a + 14d = 92

আমরা জানি, প্রথম n পদের সমষ্টি:
S_n = (n/2) × [2a + (n - 1)d]
∴ প্রথম 29টি পদের সমষ্টি,
S₃₀ = (29/2) × [2a + (29 - 1)d]
= (29/2) × (2a + 28d)
= (29/2) × [2(a + 14d)]
= 29 × (a + 14d)
= 29 × 92
= 2668

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + .............. + ১০৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৭ - ১২ = ৫
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ৫
শেষপদ = ১০৭

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ১০৭
বা, ৭ + (n - ১) × ৫ = ১০৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০৭ - ৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০০
বা, n - ১ = ১০০ / ৫
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি।

ধারাটির সমষ্টি = 1/6.n(n + 1)(2n + 1)
= 1/6{20(20 + 1)(40 + 1)}
= 2870

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 1 + 4 + 7 +⋯+ 100 পর্যন্ত পদগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ,  a₁ = 1,
শেষ পদ, a_n = 100,  
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3

সমান্তর ধারার এর সাধারণ সূত্র:
S_n = (n/2) × (a₁ + a_n)

প্রথমে পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে: 
a_n = a₁ + (n - 1)d
⇒ 100 = 1 + (n - 1)⋅3
⇒ 100 - 1 = (n - 1)⋅3 
 ⇒ 99 = 3(n - 1)  
⇒ n - 1 = 33  
⇒ n = 34 
 
S₃₄​ = (34/2) × ​(1 + 100)
= 17 × 101
= 1717

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ................. + 15³ = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি।
এখানে, n = 15

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (15 × 8)²
= (120)²
= 14400

১ম পদ a = 1,
শেষ পদ = 51,
সাধারণ অন্তর d = 2
∴ পদ সংখ্যা = (51 - 1)/2 + 1
= 26
∴ সমষ্টি = 26/2{2.1 + (26 - 1)2}
= 13 × (2 + 50)
= 13 × 52
∴ গড় = (13 × 52)/26
= 26

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = r
∴ 13 তম পদ = a + (13 - 1)d
= a + 12d 

শর্তমতে,
a + 12d = 77

∴ প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি = (25/2){2a + (25 - 1)d} 
= (25/2)(2a + 24d) 
= (25/2) × 2(a + 12d) 
= (25/2) × 2 × 77 
= 25 × 77 
= 1925

১২ তম পদ = ‍a+(12-1)d = 77
a+11d = 77
প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 23/2{2a+(23-1)d}
= 23/2{2a+22d}
= 23(a+11d)
= 23 x 77
= 1771

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
পদ সংখ্যা, n = (51-1)/2 + 1 = 26
n তম পদ = 51
∴ সমষ্টি, S = 26(51+1)/2 = 676

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, কততম পদটি 101 হবে?  

সমাধান:
n তম পদ, a_n​ = 101,
প্রথম পদ, a = 11
সাধারণ অন্তর, d = 5

সমান্তর ধারার n তম পদ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 101 = 11 + (n - 1) × 5 [মান বসিয়ে]
⇒ 101 - 11 = (n - 1) × 5
⇒ 90 = 5(n - 1)
⇒ n - 1 = 90/5
⇒ n - 1 = 18
⇒ n = 18 + 1
∴ n = 19

∴ 19 তম পদটি 101 হবে।

প্রশ্ন: (a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ মধ্যপদ?

সমাধান:
(a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ  নির্ণয় করতে হবে। 

(a + b)ⁿ হলে মোট পদের সংখ্যা = n + 1
মোট পদ = 20 + 1 = 21 টি

log3+log9+log27+…………………
= log3+log3²+log3³+…………………
= log3+2log3+3log3+……………
প্রথম পদ = log3
সাধারন অন্তর = (2log3 - log3) = log3

সমান্তর প্রগমনে দ্বিতীয় ও প্রথম সংখ্যার ব্যবধান এবং তৃতীয় ও  দ্বিতীয় সংখ্যার ব্যাবধান সমান হবে।
এখানে ১৭ - ৫ = ১২
অতএব,১৭ + ১২ = ২৯

{(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৩০৫ + ৫)/২ x ((৩০৫ - ৫)/৩) +১
= ১৫৫ x ১০১
= ১৫৬৫৫

প্রশ্ন: 25 + 20 + 15 + ... ধারাটির কততম পদের মান শূন্য হবে?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 25,
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 25 = - 5 

সমান্তর ধারার n তম পদ, 
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = 25 + (n - 1)(- 5) [a_n​ = 0]
⇒ 0 = 25 - 5(n - 1)
⇒ 5(n - 1) = 25 
⇒ 5n - 5 = 25
⇒ 5n = 30
⇒ n = 30/5
n = 6

∴ শূন্য হবে 6 তম পদে।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯
∴ সাধারণ অন্তর = (১৯ - ৭) 
= ১২ 

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর 
= ১৯ + ১২ 
= ৩১

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 20, এবং অষ্টম পদ 32 হলে, ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি, ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
তাহলে,
a₅​ = a + 4d = 20............ (1)
a_8​ = a + 7d = 32.............(2)

(2) - (1) করে পাই, 
a + 7d - a - 4d = 32 - 20
⇒ 3d = 12
⇒ d = 4

d এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 16 = 20
⇒ a = 4

তাহলে 12 তম পদ,
a₁₂ = a + (12 - 1) d
⇒ a₁₂ = 4 + 11 × 4
⇒ a₁₂ = 4 + 44
⇒ a₁₂ = 48

∴ 12 তম পদ 48.

পদ সংখ্যা
= {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= {(১১১-১৩)/৭}+১
= ১৪+১
= ১৫ তম পদ