সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 80 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 
পদ সংখ্যা, n = 80

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 80 তম পদ = 5 + {(80 - 1) × (3)}
= 5 + (79 × 3)
= 5 + 237
= 242

3×1+1×2 = 3+2 = 5
5×2+2×3 = 10+6 = 16
18×3+3×4 = 48+12 = 60
60×4+4×5 = 240+20 = 260
260×5+5×6 = 1300+30 = 1330

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 9 তম পদ 58 হলে, এর প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9 তম পদ = 58 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 9 তম পদ = a + (9 - 1)d
= a + 8d

শর্তমতে, 
a + 8d = 58 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (17 - 1)d} 
= (17/2)(2a + 16d) 
= (17/2) × {2(a + 8d)}
= (17/2) × 2 × 58 [∴ a + 8d = 58]
= 17 × 58
= 986

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = 986.

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... সমান্তর ধারাটির n তম পদটি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4
∴ ধারাটির n তম পদ = {a + (n - 1)d}
= {3 + {n - 1} × 4}
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

প্রশ্ন: 80 + 74 + 68 + …… - 16 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 80
সাধারণ অন্তর, d = 74 - 80 = - 6
প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 16
⇒ 80 + (n - 1)(- 6) = - 16
⇒ 80 - 6n + 6 = - 16
⇒ 86 - 6n = - 16
⇒ 6n = 86 + 16
⇒ 6n = 102
⇒ n = 102/6
∴ n = 17

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (n - 1)d}
= (17/2){2 × 80 + (17 - 1)(-6)}
= (17/2){160 + (- 96)}
= (17/2)(160 - 96)
= (17/2) × 64
= 17 × 32
= 544

প্রথম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৪
nতম পদ = ১৬১
∴ a + (n - ১)d = ১৬১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ১৬১
বা, ৫ + ৪n - ৪ = ১৬১
বা, ৪n = ১৬০
∴ n = ৪০

প্রশ্ন: যদি - 7, x, y, z, 29 একটি সমান্তর অনুক্রম গঠন করে, তবে x এবং z এর মান যথাক্রমে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = - 7
মোট পদের সংখ্যা, n = 5
ধরি, সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, ধারাটির 5ম পদ = 29
⇒ a + (5 - 1)d = 29
⇒ - 7 + 4d = 29
⇒ 4d = 29 + 7
⇒ 4d = 36
∴ d = 9

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ, x = a + (2 - 1)d = - 7 + 9
= 2

∴ ধারাটির চতুর্থ পদ, z = a + (4 - 1)d = - 7 + 3(9) = - 7 + 27
= 20

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ........... + 81 = ?

সমাধান: 
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= {(81 + 1)/2} × [{(81 - 1)/4} + 1]
= (82/2) × {(80/4) + 1}
= (82/2) × (20 + 1)
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 2 + 5 + 8 + 11 +......+ 20, একটি সমান্তর ধারা।

অপশন (খ) তে,
- 4 - 7 - 10 .... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = - 7 + 4 = - 3 
আবার, - 10 - (-7) = - 3

 ১ম পদ a = ২২
২য় পদ ২৭
সাধারণ অন্তর d = ২৭- ২২ =৫
১৫তম পদ = a + (১৫ -১) d
= ২২ + (১৪×৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারাঃ ১^২+৩^৩+৫^২+ ………. + n^২
ধারাটির সমষ্টি = [n(n+১)(২n+১)]/৬
এখন, প্রশ্নোক্ত ধারাটি,
১^২+৩^৩+৫^২+ ………. +৩১^২
= (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ......... + ৩১^২) - (২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ...... + ৩০^২)
= (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ......... + ৩১^২) - ২^২ (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ......... + ১৫^২)
= [৩১(৩১ + ১)(২ X ৩১ + ১)]/৬ - ৪ X [১৫(১৫+১)(২X১৫ + ১)]/৬
= ১০৪১৬ - ৪৯৬০
= ৫৪৫৬

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 22 এবং শেষ পদ - 11। যদি পদগুলোর সমষ্টি 66 হয়, তবে ধারাটিতে কতটি পদ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 22
শেষ পদ, l = - 11
এবং সমষ্টি, S_n = 66

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2)(a + l)

প্রশ্নমতে, 
(n/2)(a + l) = 66
⇒ (n/2){22 + (- 11)} = 66
⇒ (n/2)(22 - 11) = 66
⇒ 11n/2 = 66
⇒ n = (66 × 2)/11
⇒ n = 6 × 2
∴ n = 12

সুতরাং, ধারাটিতে পদ সংখ্যা 12টি।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S19 = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
= (81+1)/2 × {( 81-1)/4} +1
= 82/2 × 80/4 +1
= 41 × 21
= 861

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18-তম মাসে সঞ্চয় = a + (18 - 1)d
= 1200 + (17 × 100) = 2900 টাকা
 
আবার, প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= n/2 {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 18 মাসের সঞ্চয় = 18/2 {2 × 1200 + (18 - 1)100}
= 9(2400 + 1700)
= 36900 টাকা 

প্রথম পদ = ২
সাধারণ অন্তর = ৪
সুতরাং, ২০২ তম পদ = ২ + (২০২-১)*৪ = ৮০৬

১ম পদ a = ৮,
সাধারণ অনুপাত r = ২
∴ n তম পদ = ar^{n - ১} = ১২৮
বা, ৮ ×২^{n - ১} = ১২৮
২^{n - ১} = ১৬
বা, ২^{n - ১} = ২^৪
বা, n - ১ = ৪
∴ n = ৫

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴  77 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 77(77 + 1)/2
= (78 × 77)/2
= 39  × 77
= 3003

প্রশ্ন: হাসান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করে। সে কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, 
প্রথম মাসের সঞ্চয়, প্রথম পদ a = 1200
প্রতি মাসে সঞ্চয় বৃদ্ধি, সাধারণ অন্তর d = 100
মোট সঞ্চয়, S = 106200 টাকা

মনে করি, তিনি n মাসে 106200 টাকা সঞ্চয় করেন।
প্রশ্নানুসারে,
n/2 × {2a + (n - 1) × d} = 106200
বা, n/2 × {2 × 1200 + (n - 1) × 100} = 106200
বা, n(2400 + 100n - 100) = 212400
বা, 100n² + 2300n - 212400 = 0
বা, n² + 23n - 2124 = 0
বা, n² + 59n - 36n - 2124 = 0
বা, (n + 59)(n - 36) = 0
অর্থাৎ, n = - 59 অথবা n = 36
মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ নির্ণেয় সময়: 36 মাস বা 3 বছর।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

এখানে,
a = ১; d = ৪ ও n = ২০
∴ S = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২০/২){২.১ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৭৮
= ৭৮০

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০ তম পদ।

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার 5ম পদ 30 এবং 14তম পদ 84 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং,
5ম পদ = a + (5 - 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 ------ (1)

14তম পদ = a + (14 - 1)d = 84
⇒ a + 13d = 84 ------ (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(a + 13d) - (a + 4d) = 84 - 30
⇒ 9d = 54
⇒ d = 54/9
⇒ d = 6
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর হলো 6।

ধারাটি = 1, 9, 25, 49 ..............
= 1², 3², 5², 7², ..........
∴ ধারা অনুযায়ে পরবর্তী সংখ্যা = 9² = 81

1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
= (99 × 100)/2
= 4950

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ................ ধারাটির কোন পদ 267?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3 
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 267

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 267
বা, 3 + (n - 1)4 = 267
বা, 4(n - 1) = 267 - 3
বা, 4(n - 1) = 264
বা, n - 1= 264/4
বা, n - 1 = 66
বা, n = 66 + 1
∴ n = 67

ধারাটির 67 তম পদ = 267

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ........ + ১৬৯ = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৯ - ৫ = ৪
শেষ পদ = ১৬৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৬৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৬৯
⇒ ৫ + (n - ১) × ৪ = ১৬৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৬৪
⇒ n - ১ = ১৬৪/৪
⇒ n - ১ = ৪১
⇒ n = ৪২

∴ সমষ্টি S_n = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (৪২/২) × {২ × ৫ + (৪২ - ১) × ৪}
= ২১ × {১০ + ৪১ × ৪}
= ২১ × {১০ + ১৬৪}
= ২১ × ১৭৪
= ৩৬৫৪

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d.
দেওয়া আছে,
16 তম পদ = -20
বা, a + (16 - 1)d = -20
বা, a + 15d = -20

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
∴ ধারাটির প্রথম 31টি পদের সমষ্টি = (31/2){2a + (31 - 1)d}
                                          = (31/2) × 2(a + 15d)
                                          = 31×(-20)
                                          = -620

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 85 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 85  
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 85 এবং 
পদসংখ্যা = 85 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(85 + 1) × 85}/2
= (86 × 85)/2 
= 43 × 85 
= 3655  ।

প্রশ্ন: ১৫ + ১২ + ৯ + ৬ + ....... - ৪৮ ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ১৫ = - ৩
এবং শেষ পদ, l = - ৪৮

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৫ + (n - ১) × (- ৩) = - ৪৮ 
⇒ (n - ১) × (- ৩) = - ৪৮ - ১৫
⇒ (n - ১) × (- ৩) = - ৬৩
⇒ n - ১ = - ৬৩/- ৩
⇒ n - ১ = ২১
⇒ n = ২১ + ১ 
∴ n = ২২

সুতরাং, ধারাটিতে ২২টি পদ আছে।

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7তম পদ কত? 

সমাধান: 
​​দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 7 

∴ 7 তম পদ = a + (n - 1)d 
= 4 + (7 - 1)4 
​= 4 + (6 × 4)
​= 4 + 24 
= 28 

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণত অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯
চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৯+১২
= ৪১
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণত অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

2² + 4² + 6² + ........ + (50)²
= 2².1² + 2².2² + 2².3² +.....+ 2².(25)²
= 2²{1² + 2² + 3² + ........ + (25)²}
= 4 × [{25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6]
= (4 × 25 × 26 × 51)/6
= 22100