সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি 2 এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে 4 বেশি হলে ধারার 200 তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর d = 4

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
200 তম = a + (200 - 1)d
= 2 + (199 × 4)
= 2 + 796
= 798

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +......................... ধারাটির 13 তম পদ কত?

সমাধান: 
5 + 8 + 11 + 14 +......................... এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
এবং সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d 

∴ 13 তম পদ = 5 + (13 - 1). 3
= 5 + 12 × 3
= 5 + 36
= 41

∴ 13 তম পদ = 41

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 11 তম পদ 66 হলে, ধারাটির প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = d
∴ 11 তম পদ = a + (11 - 1)d
= a + 10d 

শর্তমতে,
a + 10d = 66

∴ প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি = (21/2){2a + (21 - 1)d} 
= (21/2)(2a + 20d) 
= (21/2) × 2(a + 10d) 
= (21/2) × 2 × 66 
= 21 × 66 
= 1386

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ১৫ + . . . ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, 
৭ - ৩ = ৪
১১ - ৭ = ৪
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ৩ = ৪
পদের সংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি,
 সমান্তর ধারার প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/২)[২a + (n - ১)d]
∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি = S_২৫ = (২৫/২)[২(৩) + (২৫ - ১)৪]
= (২৫/২)[৬ + (২৪)৪]
= (২৫/২)(৬ + ৯৬)
= (২৫/২) × ১০২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল ১২৭৫।

প্রশ্ন: একটি ধারা নিম্নরূপ: 1 + 5 + 9 + 13 + ................. এই ধারার n তম পদ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1, 5, 9, 13, .............
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ n তম পদ = 1 + (n - 1)4
= 1 + 4n - 4
= 4n - 3

∴ ধারাটির n তম পদ = 4n - 3

প্রশ্ন: 5,9,13,17........ অনুক্রমটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর অনুক্রমের n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

∴ প্রদত্ত অনুক্রমটির 16 টি পদের সমষ্টি = (16/2){(2 × 5) + (16 - 1)4}
= 8 × {10 + (15 × 4)}
= 8 × (10 + 60)
= 8 × 70 
= 560

প্রশ্ন: 3 + 4 + 5 + 6 +................. এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান:
3 + 4 + 5 + 6 +.................এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম তিনটি পদের যোগফল।
= 3 + 4 + 5
= 12

১ম পদ a = 11
২য় পদ 19
সাধারণ অন্তর d = 19-11=8
19 তম পদ = a + (19 -1) d
= 11 + 18 x 8
= 11 + 144
= 155

সমষ্টি S = {n(n+1)/2}
= {19(19+1)/2}
= 190

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি S_n = (n/2)(4n + 2) হলে, প্রথম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,  
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]

এখন, 
n = 1 স্থাপন করলে, প্রথম পদ a হবে,
S₁ = a
= (1/2)(4 × 1 + 2)
= (1/2)(6)
= 3

∴ প্রথম পদ = 3

ধারার প্রথম পদ, a = 8.
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 9
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S =n/2 {2a + (n – 1)d}
S =9/2 {2.8 + (9 - 1)8} [n = 9 বসিয়ে]
= 9/2 {16+ 64}
= 9/2 × 80
= 360
ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি 360

প্রশ্ন: ৩ + ৮ + ১৩ + ১৮ + ....................... + ৮৩ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৩ = ৫
শেষ পদ = ৮৩

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৮৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ৮৩
⇒ ৩ + (n - ১) ×৫ = ৮৩
⇒ (n - ১) × ৫ = ৮৩ - ৩
⇒ (n - ১) × ৫ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৫
⇒ n - ১ = ১৬
⇒ n = ১৬ + ১
∴ n = ১৭

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ১৭ টি।

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + ...... ধারাটির কোন পদ 169?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

প্রশ্নমতে,
4 + (n - 1) × 5 = 169
⇒ (n - 1) × 5 = 169 - 4
⇒ (n - 1) × 5 = 165
⇒ n - 1 = 165/5
⇒ n - 1 = 33
⇒ n = 33 + 1
∴ n = 34

∴ ধারাটির 34 তম পদ হচ্ছে 169।

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
a + (7 - 1)d = 24
a + 6d = 24
আবার, 7/2{2a + (7 - 1)d} = 105
7/2(2a + 6d) = 105
(a + a + 6d) = 30
a + 24 = 30
a = 6
d = 3
দ্বিতীয় পদ = a + d = 6 + 3 = 9

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36? 

সমাধান: 
এখানে, 
​প্রথম পদ, a = 3 
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3 

ধরি, 
​ধারার n তম পদ = 36 
​
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 36
বা, 3 + (n - 1)3 = 36
বা, (n - 1)3 = 33
বা, n - 1 = 11
∴ n = 12
​
​∴ ধারাটির 12 তম পদ 36  । 

ধারাটির ১ম পদ a = 2, সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2
মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 256
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, a + (n - 1)d = 256
বা, 2 + (n - 1)2 = 256
বা, 2 + 2n - 2 = 256
বা, 2n = 256
সুতরাং n= 128

প্রশ্ন: 169 + 171 + 173 + ...... + 209 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = 169
সাধারণ অন্তর, d = 171 - 169 = 2

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d 
a + (n - 1)d = 209
⇒ 169 + (n - 1)2 = 209
⇒ (n - 1)2 = 209 - 169
⇒ n - 1 = 40/2
⇒ n - 1 = 20
∴ n = 21

∴ ধারাটির পদ সংখ্যা 21। 

প্রশ্ন: 6 + 10 + 14 + ... + 98 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 6 = 4
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 98

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 6 + (n - 1) × 4 = 98
⇒ 4(n - 1) = 98 - 6
⇒ 4(n - 1) = 92
⇒ n - 1 = 92 / 4
⇒ n - 1 = 23
∴ n = 24

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ S₂₄ = (24/2){(2 × 6) + (24 - 1) × 4}
= 12{12 + (23 × 4)}
= 12{12 + 92}
= 12 × 104
= 1248

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1248।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ +........................... ধারাটিতে কততম পদ ১৭৩?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৬৯

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১)৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (13/2){(2 × 5) + (13 - 1)4}
= (13/2){10 + (12 × 4)}
= (13/2)(10 + 48)
= (13/2) × 58 
= 377

প্রশ্ন: সাবিনা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ২০০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে আগের মাসের তুলনায় ২৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। সাবিনা ১৫তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ২০০০
সাধারণ অন্তর, d = ২৫০

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ১৫তম পদ = ২০০০ + (১৫ - ১) × ২৫০
= ২০০০ + ১৪ × ২৫০
= ২০০০ + ৩৫০০
= ৫৫০০

∴ সাবিনা ১৫তম মাসে সঞ্চয় করবেন ৫৫০০ টাকা।

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ...... + ২৪^২ = {২৪(২৪ + ১)(২.২৪ + ১)}/৬
= (২৪ × ২৫ × ৪৯)/৬
= ৪ × ২৫ × ৪৯
= ৪৯০০

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ 12, ২য় পদ 17 হলে 21 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ 12 এবং ২য় পদ 17
সাধারণ অন্তর = 17 - 12 = 5

∴ 21 তম পদ = a + (n - 1) d
= 12 + (21 - 1) 5
= 12 + 20 × 5
= 12 + 100
= 112

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ............ + 58 = কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1 
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1
পদসংখ্যা, n = 58

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
= (58/2){2 × 1 + (58 - 1) × 1}
= 29 × (2 + 57) 
= (29 × 59)
= 1711

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {৩১(৩১ + ১)(২.৩১ + ১)}/৬
= (৩১ × ৩২ × ৬৩)/৬
= ১০,৪১৬

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ..................+ 70 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
এখানে,
 ধারাটির ১ম পদ = 2
 ধারাটির শেষ পদ = 70
 ধারাটির সাধারণ অন্তর = (6 - 2) = 4

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(70 - 2)/4} + 1
= (68/4) + 1
= (17 + 1)
= 18

∴ পদসংখ্যা = 18  ।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদ ১৫ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ৭০ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
৫ম পদ = a + (৫ - ১)d
⇒ a + (৫ - ১)d = ১৫ 
∴ a + ৪d = ১৫ ......(১)

আবার, 
৭টি পদের সমষ্টি = ৭০
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d = ৭০ 
⇒ (৭/২)(২a + ৬d) = ৭০
∴ a + ৩d = ১০  ......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ a + ৩d - a - ৪d = ১০ - ১৫
⇒ - d = - ৫  
∴ d = ৫  

d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
a + ৪d = ১৫
a + ২০ = ১৫ 
∴ a = - ৫  

অতএব, ধারাটির প্রথম পদটি - ৫ 

প্রশ্ন: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {11(11 + 1)/2}²
= {(11 × 12)/2}²
= (11 × 6)²
= (66)²
= 4356