সমান্তর ধারা

ধরি,
প্রথম পদ = a এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1)×10
⇒ 42 = a + 40
∴ a = 2
∴ দ্বাদশ পদটি = 2 + (12 - 1)×10 = 112

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৯ ও ২৩ হলে, সাধারণত অন্তর = ২৩ - ৯ = ১৪।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৩ + ১৪
= ৩৭

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম ২০ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ২০^২ = ৪০০।

সমষ্টি = 50 × (50 + 1) / 2 = 25 × 51 = 1275

a = ২৯,
d = ২৫ - ২৯ = -৪,
n = ১০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১০/২{২ × ২৯ + (১০ - ১)(-৪)}
= ৫(৫৮ - ৩৬)
= ৫ × ২২
= ১১০

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে
n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে,7-তম পদ, 60 = a + (7 - 1)9
বা, 60 = a + 54
বা, a = 6
সুতরাং, 21-তম পদ = 6 + (21 - 1)9
= 6 + 20 × 9
= 6 + 180
= 186

প্রশ্ন: 7 + 11 + 15 + ......... ধারাটির কোন পদ 115 হবে?

সমাধান: 
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 7 = 4

ধরি,
r তম পদ = 115 
⇒ {a + (r - 1)d} = 115
⇒ {7 + (r - 1)4} = 115
⇒ 7 + 4r - 4 = 115
⇒ 4r + 3 = 115
⇒ 4r = 115 - 3
⇒ 4r = 112
⇒ r = 112/4
∴ r = 28

অতএব, ধারাটির 28 তম পদ 115 হবে ।

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) হলে, অনুক্রমের ৬ষ্ঠ পদটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) 
∴ অনুক্রমের ৬ষ্ঠ পদ = ৬/(৬ + ১) 
= ৬/৭

প্রশ্ন: রুমানা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 2000 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d = 200

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 2000 + (14 × 200)
= 2000 + 2800
= 4800

∴ রুমানা 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4800 টাকা।

৩ + ৪ + ৫ + ...... + ৪০
= ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ...... + ৪০ - (১ + ২)
= ৪০(৪০ + ১)/২ - ৩
= ২০ × ৪১ - ৩
= ৮২০ - ৩
= ৮১৭

প্রশ্ন: 10 + 15 + 20 + 25 + …............... ধারাটির প্রথম 40 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 10
সাধারণ অন্তর, d = 15 - 10 = 5
পদসংখ্যা, n = 40
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদের সমষ্টি:
S_n = n/2 × {2a + (n - 1)d}
∴ S₄₀ = 40/2 × {2 × 10 + (40 - 1) × 5}
= 20 × {20 + (39 × 5)}
= 20 × (20 + 195)
= 20 × 215
= 4300

∴ ধারাটির 40 টি পদের সমষ্টি হলো 4300

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……. + 20² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [20 × (20 + 1){(2 × 20) + 1}]/6
= (20 × 21 × 41)/6 
= 17220/6
= 2870

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ................. ধারাটির কততম পদ 96?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

মনে করি,
n তম পদ = 96

∴ a + (n - 1)d = 96
⇒ 3 + (n - 1) × 3 = 96
⇒ 3 + 3n - 3 = 96
⇒ 3n = 96
⇒ n = 96/3
⇒ n = 32

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + 21 +..... ধারাটির কোন পদ 125?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর,d = 9 - 5 = 4
ধারাটির n তম পদ = 125
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
5 + (n - 1) × 4 = 125
বা, 4(n - 1) = 125 - 5
বা, 4(n - 1) = 120
বা, n - 1 = 120/4
বা, n - 1 = 30
বা, n = 30 + 1
∴ n = 31

∴ ধারাটির 31 তম পদ = 125

প্রশ্ন: 15 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = 15
শেষ পদ = 55
সাধারণ অন্তর = 1

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1 
= {(55 - 15)/1} + 1 
= 40 + 1
= 41 

এখন, 
সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ )/2} × পদ সংখ্যা 
= {(55 + 15)/2} × 41
= (70/2) × 41
= 35 × 41 
= 1435

∴ 15 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 1435.

প্রশ্ন: 12 থেকে 88 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর) + 1}
= {(88 - 12)/(1) + 1}
= 76 + 1
= 77

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(88 + 12)/2} × 77
= (100/2) × 77
= 50 × 77
= 3850

∴ 12 থেকে 88 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল হলো 3850

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 40 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারার 12 তম পদ 40 হলে, 
a + (12 - 1)d = 40
a + 11d = 40

∴ প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি,
= (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2){2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × 40
= 920

9+2 = 11
11+4 = 15
15+8 = 23
23+16 = 39
39+32 = 71

প্রশ্ন: ২ + ৭ + ১২ + ১৭ + …......... ধারাটির ৫০ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ২
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ২ = ৫
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = ৫০

আমরা জানি,
nতম পদ = a + (n - ১)d

∴ ৫০ তম পদ = ২ + {(৫০ - ১) × ৫}
= ২ + (৪৯ × ৫)
= ২ + ২৪৫
= ২৪৭

∴ ধারাটির ৫০ তম পদ হলো ২৪৭

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}² = 225 
বা, {n(n + 1)/2}² = (15)² 
বা, n(n + 1)/2 = 15 
বা, n(n + 1) = 30 
বা, n² + n - 30 = 0 
বা, n² + 6n - 5n - 30 = 0 
বা, n (n + 6) - 5 (n + 6) = 0 
বা, (n + 6) (n - 5) = 0 
∴ n + 6 = 0 
বা, n = - 6 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

আবার, 
n - 5 = 0 
∴ n = 5 

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ................. ধারাটির কততম পদ 33?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

মনে করি, 
n তম পদ = 33

∴ a + (n - 1)d = 33
⇒ 3 + (n - 1)3 = 33
⇒ 3 + 3n - 3 = 33
⇒ 3n = 33
⇒ n = 33/3
⇒ n = 11

প্রশ্ন: 10, 15, 20, ........... 180 অনুক্রমটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?

সমাধান:
১ম পদ, a = 10
সাধারণ অন্তর, d = 15 - 10 = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 + (n - 1)5 = 180
⇒ 10 + 5n - 5 = 180
⇒ 5n + 5 = 180
⇒ 5n = 175
∴ n = 35

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n = n²

প্রশ্ন:  4 + 6 + 8 +……….+ 30 = কত? 

সমাধান: 
ধারার প্রথম পদ, a = 4 
শেষ পদ = 30 
সাধারণ অন্তর, d = (6 - 4) = 2
∴ পদসংখ্যা, n = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(30 - 4)/2} + 1 
= (26/2) + 1 
= 13 + 1
= 14

আমরা জানি,
ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d} 
= (14/2) × {2 . 4 + (14 - 1) × 2} 
= 7 × {8 + (13 × 2)}
= 7 × (8 + 26)
= 7 × 34 
= 238

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ……….. ধারাটির কোন পদ 296?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 
ধারাটির প্রথম পদ = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, = 5 - 2 = 3

মনে করি,
ধারাটির n-তম পদ = 296
∴ a + (n - 1) d = 296
বা, 2 + (n - 1) . 3 = 296
বা, 2 + 3n - 3 = 296
বা, 3n - 1 = 296
বা, 3n = 296 + 1
বা, 3n = 297
বা, n = 297/3
∴ n = 99

∴ ধারটির 99 তম পদের মান 296  ।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ১০ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৮ বেশি হলে ধারাটির ৬০তম পদ কত?

সমাধান: প্রথম পদ, a = ১০
সাধারণ অন্তর, d = ৮

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ৬০তম পদ = ১০ + (৬০ - ১) × ৮
= ১০ + (৫৯ × ৮)
= ১০ + ৪৭২
= ৪৮২

∴ ৬০তম পদটি হলো ৪৮২