সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদ 60 হলে 12 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 10
আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 5ম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 60 = a + 4 × 10
বা, 60 = a + 40
বা, a = 60 - 40
∴ a = 20

এখন, 12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 20 + 11 × 10
= 20 + 110
= 130
সুতরাং, ধারাটির 12তম পদ হলো 130।

প্রশ্ন: ১১ + ১৫ + ১৯ + ২৩ + ....................... + ৮৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ১১
সাধারণ অন্তর, d = ১৫ - ১১ = ৪
শেষ পদ = ৮৭

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৮৭

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) ×d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) ×d = ৮৭
⇒ ১১ + (n - ১) ×৪ = ৮৭
⇒ (n - ১) ×৪ = ৮৭ - ১১
⇒ (n - ১) ×৪ = ৭৬
⇒ (n - ১) = ৭৬/৪
⇒ n - ১ = ১৯
⇒ n = ১৯ + ১
∴ n = ২০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ২০ টি।

প্রশ্ন: log9 + log81 + log729 +................ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log9 + log81 + log729 +................
= log9 + log9² + log9³ +................ 
= log9 + 2log9 + 3log9 +................ 
= (1 + 2 + 3.............) log9

এখন, (1 + 2 +3.............) ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি 
= {20 × (20 + 1)}/2
= 420/2
= 210

∴ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি =  210log9 = (210 × 2)log3 
= 420log3

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 8, সাধারণ অন্তর d = 11 - 8 = 3
ধরি, n তম পদ = 401
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 8 + (n - 1) 3 = 401
বা, n = 132
∴ ধারাটির 132-তম পদ 401 হবে।

প্রশ্ন: 2, 4, 6, 8,..... অনুক্রমটির 20 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
2, 4, 6, 8, ... এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = 2 + (20 - 1) × 2
= 2 + (19) × 2
= 2 + 38
= 40

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ +............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= 1 log2 + 2 log2 + 3 log2 +  ............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= log2 × 15
= 15 log2

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৯০+১)/২ x ((৯০-১)/১) +১
= ৪৫.৫ x ৯০
= ৪০৯৫

অনুক্রমটি হলো ১+৫+৯+১৩+ ………………
প্রথম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত d = (৫-১) = ৪
১৫ তম পদ = a+(n-1)d
= 1+(15-1)4
= 1+56
= 57

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং
সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d

সুতরাং,
৭তম পদ, ৬০ = a + (৭-১)৮
বা, ৬০ = a + ৪৮
বা, a = ১২

সুতরাং,
১২তম পদ = ১২ + (১২-১) ৮
= ১২ + ১১ × ৮
= ১২ + ৮৮
= ১০০

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d।
এখানে, ৬তম পদ ৫২।
সুতরাং a + (৬ - ১) × ১০ = ৫২
বা, a + ৫০ = ৫২
বা, a = ২
সুতরাং,
১৬ তম পদ = ২ + (১৬ - ১) × ১০
= ২ + ১৫০
= ১৫২

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অনুপাত 2। অষ্টম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত = 2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
অষ্টম পদ a₈ = 3 × 2^{8 - 1}
= 3 × 2⁷
​= 3 × 128
= 384

∴ অষ্টম পদ 384

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৪র্থ পদটি 35 এবং প্রথম 4টি পদের যোগফল 110 হলে, প্রথম পদটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (4 - 1)d = 35
⇒ a + 3d = 35 .......... (1)

আবার, 
4টি পদের যোগফল = (4/2){2a + (4 - 1)d} = 110
⇒ 2{2a + 3d} = 110
⇒ 2a + 3d = 55 ........... (2)

(2) নং - (1) নং হতে পাই,
(2a + 3d) - (a + 3d) = 55 - 35
⇒ 2a + 3d - a - 3d = 20
∴ a = 20 

∴ ধারাটির প্রথম পদ = 20  ।

প্রশ্ন: ২ + ৬ + ১০ + ........ + ৭৮ = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৬ − ২ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৭৮
⇒ a + (n − ১)d = ৭৮
⇒ ২ + (n − ১) × ৪ = ৭৮
⇒ (n − ১) × ৪ = ৭৬
⇒ n − ১ = ৭৬/৪
⇒ n − ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n − 1)d}
= (২০/২){২ × ২ + (২০ − ১) × ৪}
= ১০ × (৪ + ৭৬)
= ১০ × ৮০
= ৮০০

১ম পদ (a) = 11,
সাধারণ অন্তর (d) = 14 - 11 = 3
মনে করি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 302 = 11 + (n - 1)3
বা, (n - 1)3 = 291
বা, n - 1 = 97
∴ n = 98

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারাতে 4তম পদটি প্রথম পদের দ্বিগুণের চেয়ে 3 বেশি, এবং প্রথম 12টি পদ-এর যোগফল 474। তাহলে 20 তম পদটি কত?
সমধান:
প্রথম পদ a, 
সাধারণ অন্তর =  d

তাহলে,
a₄ = a + 3d
3d = a + 3
a = 3d - 3

আবার,
S₁₂ = 474
⇒ (12/2)(2a + 11d) = 474
⇒ 6(2a + 11d) = 474
⇒ 2a + 11d = 79
⇒ 2(3d - 3) + 11d = 79 [a = 3d - 3]
⇒ 6d - 6 + 11d = 79
⇒ 17d = 85
⇒ d = 5

তাহলে,
a = (3 × 5) - 3
= 15 - 3
= 12

20 তম পদ, a20 = a + 19d
= 12 + 19 × 5
= 107

প্রশ্ন: log4 + log16 + log64 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log4 + log16 + log64 + ......... প্রথম 10টি পদের সমষ্টি
= log4 + log4² + log4³ + ......... + log4¹⁰
= log4 + 2log4 + 3log4 + ......... + 10log4
= (1 + 2 + 3 + ......... + 10)log4
= {10(10 + 1)/2} log4 [n সংখ্যক স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2]
= {(10 × 11)/2} log4
= 55 × log4
= 55log4

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 104 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 104

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 104
⇒ 13 + (n - 1)7 = 104
⇒ 13 + 7n - 7 = 104
⇒ 7n + 6 = 104
⇒ 7n = 104 - 6
⇒ 7n = 98
⇒ n = 98/7
⇒ n = 14

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 14 

প্রশ্ন: ৬ + ১১ + ১৬ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৪৬?

সমাধান:
এখানে, ধারার ১ম পদ, a = ৬
সাধারণ অন্তর, d = ১১ - ৬ = ৫
n তম পদ = ১৪৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৬ + (n - ১) × ৫ = ১৪৬
⇒ ৬ + ৫n - ৫ = ১৪৬
⇒ ৫n + ১ = ১৪৬
⇒ ৫n = ১৪৫
⇒ n = ২৯

∴ ১৪৬ হলো ধারাটির ২৯ তম পদ।

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির 33 তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটি 20, 23, 26, 29,........... 

এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20 
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ) 
= (23 - 20) 
= 3 
এবং পদসংখ্যা, n = 33 

∴ ধারাটির 33 তম পদ = a + (n - 1) d 
= 20 + (33 - 1) × 3 
= 20 + (32 × 3) 
= 20 + 96
= 116

প্রশ্ন: যদি - 3, p, q, 9 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে p ও q এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারাটি, a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + .......
দেওয়া আছে, 
১ম পদ, a = - 3
২য় পদ, p = a + d = - 3 + d
৩য় পদ, q = a + 2d = - 3 + 2d
এবং 
৪র্থ = a + 3d
⇒ 9 = - 3 + 3d
⇒ 3d = 9 + 3 
⇒ 3d = 12 
⇒ d = 12/3
∴ d = 4

সুতরাং, ২য় পদ, p = - 3 + d = - 3 + 4 = 1
৩য় পদ, q = - 3 + 2d = - 3 + 8 = 5

∴ p এবং q মান 1, 5

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = (8 - 5) = 3 
পদ সংখ্যা, n = 100

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)}
= 5 + (99 × 3)
= 5 + 297
= 302

১ম পদ a = ১৩,
সাধারণ অন্তর d = ৪
পদ সংখ্যা n হলে n তম পদ = a + (n - ১)d = ১৬৫
বা, ১৩ + (n - ১)৪ = ১৬৫
(n - ১)৪ = ১৫২
n - ১ = ৩৮
∴ n = ৩৯

এখানে,
দু'টি ধারা,
(i) ২, ৩, ৪, ৫
(ii) ৪, ৭, ১০, ১৩
∴ পরবর্তী পদ = ১৩

a = ৭,
d = ১০ - ৭ = ৩,
∴ ৩১ তম পদ = a + (৩১ - ১)d
= ৭ + ৩০.৩
= ৭ + ৯০
= ৯৭

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১০০ × (১০০ + ১)/২
= ১০০ × ১০১/২
= ৫০ × ১০০
= ৫০৫০

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৮ম পদ ৪২ হলে, তার প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ৮ম পদ = a + (৮ - ১)d
= a + ৭d

প্রশ্নমতে,
a + ৭d = ৪২

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, S_n = (n/২){২a + (n - ১)d}

∴ প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি, S_১৫ = (১৫/২){২a + (১৫ - ১)d}
= (১৫/২)(২a + ১৪d)
= (১৫/২) × ২(a + ৭d)
= ১৫ × (a + ৭d)
= ১৫ × ৪২
= ৬৩০

১৬ তম পদ = ‍a + (n -1)d = -20
= a + 15d = -20
৩১ তম পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n -1)d}
= 31/2 {2a + 30d}
= 31/2 (2 x -20)
= -620

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 7ম পদটি 35 এবং প্রথম 7টি পদের যোগফল 140 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a

দেওয়া আছে, 
7ম পদ = 35
∴ a + (7 - 1)d = 35
⇒ a + 6d = 35

এখন,
7টি পদের যোগফল = 140
⇒ (7/2){2a + (7 - 1)d} = 140
⇒ 2a + 6d = (140 × 2)/7
⇒ a + (a + 6d) = 40
⇒ a + 35 = 40
⇒ a = 40 - 35
∴ a = 5

সুতরাং, প্রথম পদটি 5

ধারাটি একটি গুনোত্তর ধারা
১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = -২/২ = -১ < ১
(2n+2) পদের সমষ্টি = a(1-rⁿ)/(1-r)
= 2(1-(-1)⁽²ⁿ⁺²⁾)/(1-(-1))
= 0/2
= 0

log 11 + log 121 + log 1331 + .........
= log11 + log11² + log11³ + .........
= log11 + 2log11 + 3log11 + .........
= (1 + 2 + 3 + ......... ) × log11
∴ ১ম ১১টি পদের সমষ্টি = [{11(11+1)}/2] × log11
= 66 log11