সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের সদস্য প্রথম মাসে ৩০০ টাকা চাঁদা দেন এবং প্রতি মাসে ৪০ টাকা বেশি দেন। প্রথম ১০ মাসে মোট কত টাকা চাঁদা দিবে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
যার, প্রথম পদ, a = ৩০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৪০ টাকা

প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা পরিমাণ,

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১০ = ১০/২ × [২ × ৩০০ + (১০ - ১) × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৯ × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৩৬০]
= ৫ × ৯৬০
= ৪৮০০ টাকা

সুতরাং, প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা দিবে ৪৮০০ টাকা। 

ধারাটি = 3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 101 - (1 + 2)
= [{101 × (101 + 1)}/2] - 3
= 101 × 51 - 3
= 5148

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে,
৫ + (n - ১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৮,

৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৫২
বা, a + ৬ × ৮ = ৫২
বা, a = ৫২ - ৪৮ = ৪

∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ৪ + ২০ × ৮
= ৪ + ১৬০
= ১৬৪

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

প্রশ্ন: 2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?

সমাধান:
ধারাটি হলো: 2, 6, 10, 14, …
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
⇒ 102 = 2 + (n - 1) × 4
⇒ 102 - 2 = 4(n - 1)
⇒ 100 = 4n - 4
⇒ 4n = 104
⇒ n = 104/4
∴ n = 26

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 5 এবং চতুর্থ পদ 32 হলে 15 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d
বা, 32 = a + 3 × 5
বা, 32 = a + 15
বা, a = 32 - 15
∴ a = 17

এখন,15তম পদ = a + (15 - 1)d
= 17 + 14 × 5
= 17 + 70
= 87

সুতরাং, ধারাটির 15তম পদ হলো 87.

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (১০০+১০)/২ x ((১০০-১০)/১) +১
= ৫৫ x ৯১
= ৫০০৫

প্রশ্ন: প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (240/2)²
= (120)²
= 14400

৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫.....
= ৬^২, ৯^২, ১২^২, ১৫^২
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = (১৮)^২
= ৩২৪

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = (n/2) [2a + (n - 1)d]
⇒ S_n = (n/2) [2 × 3 + (n - 1)4]
⇒ S_n = (n/2) [6 + 4n - 4]
⇒ S_n = (n/2) [4n + 2]
⇒ S_n = (n/2) × 2(2n + 1)
∴ S_n = n(2n + 1)

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(2n + 1)

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রথম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10 

∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1) × 10
বা, 42 = a + 40
বা, a = 42 - 40
∴ a = 2

∴ দ্বাদশ পদটি = a + (12 - 1) × 10
= 2 + (12 - 1) × 10
= 2 + (11 × 10)
= 2 + 110
= 112

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = (0.0018)/(0.18)
= 0.01

∴ সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= (0.18)/(0.99)
= 18/99
= 2/11

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d= ৫ - ১ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৮১
⇒ a + (n - )d = ৮১
⇒ ১ + (n - ১) × ৪ = ৮১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ (n - ১) = ২০
⇒ n = ২১

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১) × ৪}
= (২১/২) × (২ + ৮০)
= (২১/২) × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭-তম পদ ২০ এবং ১৩-তম পদ ৩৮ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d

দেওয়া আছে,
৭ম পদ, a_৭ = ২০
⇒ a + (৭ - ১)d = ২০
⇒ a + ৬d = ২০  ………(১)

এবং
১৩ম পদ, a_১৩ = ৩৮
⇒ a + (১৩ - ১)d = ৩৮
⇒ a + ১২d = ৩৮  ………(২)

এখন সমীকরণ (২) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই,
(a + ১২d) - (a + ৬d) = ৩৮ - ২০
⇒ a + ১২d - a - ৬d = ১৮
⇒ ৬d = ১৮
⇒ d = ১৮/৬
∴ d = ৩

সুতরাং, সাধারণ অন্তর ৩। 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45
আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S₁₉ = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

মনে করি,
ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d
প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77
আবার,
আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d
∴ ৫ম = a + (৫ - ১)d
= a + ৪d
এবং
১২ তম পদ = a + (১২ - ১)d
= a + ১১d
∴ ৫ম পদ এবং ১২তম পদের সমষ্টি = ২a + ১৫d = ৪৯

∴ ১ম ১৬টি পদের সমষ্টি = ১৬/২ × {২a + (১৬ - ১)d}
= ৮ × (২a + ১৫d)
= ৮ × ৪৯
= ৩৯২

এখানে a = 3, d = 2
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)×2 = 2n + 1

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}2

প্রশ্নানুসারে,
{n(n + 1)/2}² = 225
বা, {n(n + 1)/2}²  = (15)² 
বা, (n² + n)/2 = 15
বা, n² + n - 30 = 0
বা, n² + 6n - 5n - 30 = 0
বা, (n + 6) (n - 5) = 0

হয়, n + 6 = 0 ⇒ n = - 6 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ n - 5 = 0 ⇒ n = 5

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে, a = 5; d =7; n = 2p + 1
∴ (2p + 1) তম পদ =5 + (2p + 1 - 1) × 7
= 5 + 14p

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 +..............+ 95 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 + 2 + 3 + .......... + n = n(n + 1)/2

1 + 2 + 3 + .......... + 95 = 95(95 + 1)/2
= (95 × 96)/2
= 95 × 48
= 4560

প্রশ্ন: ৮৫ + ৮২ + ৭৯ + …… + ২৮ ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ৮৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮২ - ৮৫ = - ৩
শেষ পদ, l = ২৮

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম, l = a + (n - 1)d
২৮ = ৮৫ + (n - ১)(- ৩)
⇒ ২৮ = ৮৫ - ৩(n - ১)
⇒ ৩(n - ১) = ৮৫ - ২৮
⇒ ৩(n - ১) = ৫৭
⇒ n - ১ = ৫৭/৩
⇒ n - ১ = ১৯
⇒ n = ১৯ + ১ 
∴ n = ২০
অর্থাৎ ধারায় মোট ২০টি পদ আছে।

আবার, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, Sₙ = (n/২) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S_২০ = (২০/২) × (৮৫ + ২৮)
= ১০ × ১১৩
= ১১৩০

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি ১১৩০। 

১ম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৩
nতম পদ = a + (n - ১)d = ৭৬
বা, ১ + (n - ১).৩ = ৭৬
বা, ৩(n - ১) = ৭৫
বা, n - ১ = ২৫
∴ n = ২৬
∴ সমষ্টি = (২৬/২){২ × ১ + (২৬ - ১)৩}
= ১৩(২ + ৭৫)
= ১০০১

১ম ৫টি সংখ্যার গড় = ৫৬০/৫ = ১১২
তাহলে সংখ্যা ৫টি = ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪
শেষ ৫ টি সংখ্যা হল = ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯
শেষ ৫ টির যোগফল = ১১৭ x ৫ = ৫৮৫

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ ১৪ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ১১২ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
৩য় পদ = a + (৩ - ১)d
⇒ a + (৩ - ১)d = ১৪ 
∴ a + ২d = ১৪ ......(১)

আবার, 
৭টি পদের সমষ্টি = ১১২
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d = ১১২ 
⇒ (৭/২)(২a + ৬d) = ১১২
∴ a + ৩d = ১৬  ......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ a + ৩d - a - ২d = ১৬ - ১৪ 
∴ d = ২ 

d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
a + ৪ = ১৪
∴ a = ১০ 

অতএব, ধারাটির প্রথম পদটি ১০

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12-1)d
= a + 11d
প্রশ্নমতে, a + 11d = 77
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771