বীজগণিত

“RAJSHAHI” শব্দটির মধ্যে মোট বর্ণ 8 টি, যার মধ্যে A = 2, H= 2 টি
∴ বিন্যাস x = 8!/(2!×2!)
“BARISAL” শব্দটির মধ্যে মোট বর্ণ 7টি, যার মধ্যে A = 2 টি
∴ বিন্যাস y = 7!/2! 
x/y = (8!×2!)/(7!×2!×2!)
⇒ x = 4y
∴“RAJSHAHI” শব্দটির অক্ষর গুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা “BARISAL” শব্দটির অক্ষর গুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার চার গুণ।

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 12³ = কত?

সমাধান:
এখানে, পদসংখ্যা, n = 12
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S_n = { n(n + 1)/2 }²
∴ S₁₂ = { 12(12 + 1)/2 }²
= { (12 × 13)/2 }²
= (156/2)²
= (78)²
= 6084

∴ 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 12³ = 6084

প্রশ্ন: In e = x হলে X এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ln e = x

আমরা জানি,
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, ln ⁡e = 1

যেহেতু, ln e = ln e
সেহেতু, x = 1

∴ x = 1

প্রশ্ন: a - [a - {a - (a + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {- 1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= - 1

যেহেতু একবার খেলার জন্য দুইজন প্রতিযোগী প্রয়োজন।
সুতরাং খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 6c₂ = 15 টি।

n(A ∪ B)
= n(A) + n(B) - (A ∩ B)
= 40 + 64 – 13
= 91

EVERGIVEN শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 3 টি E, 2 টি V এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(3!2!)
= 360880/12
= 30240

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 216 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar এবং ar²।
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

আবার, প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 216
⇒ a³r³ = 216
⇒ (ar)³ = 216
⇒ b³ = 216 [যেহেতু b = ar]
⇒ b³ = 6³
∴ b = 6

x³ + ax + 10 = 0 এর একটি মূল 2
∴ 2³ + a.2 + 10 = 0
বা, 2a + 18 = 0
∴ a = -9

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৫টি সাদা এবং ৩টি কালো বল রয়েছে। যদি ২টি বল একসাথে নেওয়া হয়, দুটি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৫ + ৩ = ৮

২টি বল একত্র বাছাই করলে ফলাফল, 
= (৮ × ৭)/২ 
= ৫৬/২
= ২৮

৩টি কালো বলের মাঝে ২টি কালো বল বাছাইয়ের উপায়, 
= (৩ × ২)/২
= ৬/২
= ৩

তাহলে,
২টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/২৮

∴ ২টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/২৮

প্রশ্ন: ৭ + ১১ + ১৫ + ১৯ + ...... ধারাটির কোন পদ ১৯১?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = ৭
সাধারণ অন্তর d = ১১ - ৭ = ৪
ধারার n তম পদ = ১৯১

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৭+ (n-1) × ৪ = ১৯১
⇒ ৭ + ৪n - ৪ = ১৯১
⇒ ৪n = ১৮৮
⇒ n = ৪৭

∴ ৪৭তম পদটি হলো ১৯১

প্রশ্ন: LETTER শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন T গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
LETTER শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।

এখানে E এবং T  উভয়ই ২ বার করে এসেছে।

∴ মোট বিন্যাস = 6!/(2! × 2!)
= 720 / 4
= 180

এখন,
দুটি T একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
TT, L, E, E, R (মোট ৫টি একক, যেখানে E দুইবার আছে)।
∴  বিন্যাস = 5!/2!
= 120 / 2
= 60

∴ T একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 180 - 60
= 120

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12p² - 38p + 20 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
12p² - 38p + 20
= 2(6p² - 19p + 10)
= 2(6p² - 15p - 4p + 10)
= 2{3p(2p - 5) - 2(2p - 5)}
= 2(2p - 5)(3p - 2)

∴12p² - 38p + 20 এর উৎপাদকগুলি হলো 2, (2p - 5) এবং (3p - 2)।

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 296?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 296

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n - 1)3 = 296
⇒ 5 + 3n - 3 = 296
⇒ 3n = 294
⇒ n = 98
∴ ধারাটির 98 তম পদ 296 হবে।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৪ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। 
তাহলে ব্যবহৃত বেঞ্চ = (ক - ৪)
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৫(ক - ৪)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে।
তাহলে বেঞ্চে বসতে পারে  = ৪ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক + ৮

প্রশ্নমতে,
৫(ক - ৪) = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ২০ = ৪ক + ৮
⇒ ক = ২৮

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ২৮ টি

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a² + 2b² এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 13 এবং a - b = 3

প্রদত্ত রাশি,
2a² + 2b²
= 2(a² + b²)
= (a + b)² + (a - b)²
= 13² + 3²
= 169 + 9
= 178

প্রশ্ন: 2x + y = 10 এবং 3x - y = 5 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
2x + y = 10  ........(1)
3x - y = 5  ........(2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x + y + 3x - y = 10 + 5
⇒ 5x = 15
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2 × 3 + y = 10
6 + y = 10
⇒ y = 4

অতএব, সমাধান: (x, y) = (3, 4)

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₆ হয়, তাহলে ⁿC₃ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।
এখানে,
ⁿC₈ = ⁿC₆
⇒ 8 + 6 = n
⇒ n = 14।

∴ ⁿC₃ = ¹⁴C₃
= 14!/{3! × (14 - 3)!}
= 14!/(3! × 11!)
= (14 × 13 × 12 × 11!)/(3 × 2 × 1 × 11!)
= (14 × 13 × 12)/6
= 2184/6
= 364

P সেটের উপাদান সমূহ 4, 8, 12, 16, 20
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান জোড় সংখ্যা, 4- এর গুণিতক এবং 20 - এর চেয়ে বড় নয়
P = {x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x≤20}

প্রশ্ন: ১৬, ২৪, ১৯, ১৩, ১১, ২৯ উপাত্তগুলোর জন্য কোন তথ্যটি সত্য?

সমাধান:
উপাত্তগুলো ক্রমে সাজাই,
১১, ১৩, ১৬, ১৯, ২৪, ২৯

উপাত্ত সংখা জোড় হলে,
মধ্যক = (১৬ + ১৯)/২ 
= ৩৫/২
= ১৭.৫ 

সর্বনিম্ন মান = ১১ (অপশনে দেওয়া ১৩)
প্রচুরক = নেই (অপশনে দেওয়া ১৬, প্রত্যেক সংখ্যা একবার করে আছে)
গড় = (১৬, ২৪, ১৯, ১৩, ১১, ২৯)/৬ = ১৮.৬৭ 

∴সত্য তথ্যটি মধ্যক ১৭.৫

6/x = √2
বা, 6/√2 = x
x = 6/√2
x/√3 = 6/√2√3
= 6/√6
= (√6)²/√6
= √6

প্রশ্ন:
একজন ছাত্রের পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করার সম্ভাবনা ৫/৬ এবং পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা ৩/৪। তাহলে, সে পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার এবং পাস না করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করার সম্ভাবনা = ৫/৬
∴ পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (৫/৬)
= (৬ - ৫)/৬
= ১/৬

আবার,
পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা = ৩/৪
∴ পাস না করার সম্ভাবনা
= ১ - (৩/৪)
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪

∴ পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার এবং পাস না করার সম্ভাবনা
= (১/৬) × (১/৪)
= ১/২৪

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪২০ থেকে যত বড়, ৫৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪২০ = ৫৮০ - ক
⇒ ক + ক = ৫৮০ + ৪২০
⇒ ২ক = ১০০০
⇒ ক = ১০০০/২
∴ ক = ৫০০

REARRANGE শব্দটিতে মোট 9টি বর্ণ আছে যাদের 3টি R, 2টি E, 2টি A এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং,
2টি A, 2টি E একত্রে রেখে মোট বর্ণ হয় 7টি যাদের সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা -
= 7!/3!
= 840

4x² - 13x - 12
= 4x² - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(4x + 3)

a + b = -c
∴ a + b + c = 0
এখন,
a³ + b³ - 3abc = a³ + b³ + c³ - 3abc - c³
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) - c³
= 0 - c³
= -c³

প্রশ্ন: যদি a³ - b³ = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 a³ - b³ = 513
 a - b = 3

আমরা জানি,
(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
3³ = 513 - 3ab(3)
27 = 513  - 9ab
9ab = 513 - 27 
9ab = 486
ab = 486/9
ab = 54

প্রশ্ন: CAFFEE শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা APPLE শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
CAFFEE শব্দটিতে মোট অক্ষর ৬টি।
যার মধ্যে F আছে ২টি এবং E আছে ২টি।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= 720/4
= 180

APPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর ৫টি।
যার মধ্যে P আছে ২টি।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 120/2
= 60

∴ প্রথম শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয়টির বিন্যাস সংখ্যার = 180/60 গুণ
= 3 গুণ।

(x - y)² = (x + y)² - 4xy
=7² - (4 × 10)
= 9

প্রশ্ন: যদি n(A ∪ B) = 85, n(A) = 37 এবং n(B) = 63 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(A ∪ B) = 85
n(A) = 37
n(B) = 63

আমরা জানি, সংযোগ সেটের সূত্র হলো:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 85 = 37 + 63 - n(A ∩ B)
বা, 85 = 100 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 100 - 85
∴ n(A ∩ B) = 15

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: |3x + 2| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 |3x + 2| ≤ 11 
⇒ - 11 ≤ 3x + 2 ≤ 11
⇒ - 11 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
⇒ - 13 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 13/3 ≤ 3x/3 ≤ 9/3
∴ - 13/3 ≤ x ≤ 3

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: স্কুলের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ১৫ জন ১০০ মিটার দৌড়ে, ১২ জন ২০০ মিটার দৌড়ে এবং ৭ জন দুটিতেই অংশগ্রহণ করে। ৩ জন প্রতিযোগী কোনোটিতেই অংশগ্রহণ না করলে মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
কোনোটিতেই অংশগ্রহণ করে না = ৩ জন 
উভয় খেলায় অংশগ্রহণ করে = ৭ জন 
শুধু ১০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১৫ - ৭) জন 
= ৮ জন 

আবার, 
শুধু ২০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১২ - ৭) জন 
= ৫ জন 

∴ মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা = (৩ + ৭ + ৮ + ৫) জন 
= ২৩ জন।