বীজগণিত

প্রশ্ন: log_xy⁴ = 4p এবং log_yx³ = 3q হলে, pq = কত?

সমাধান:
log_xy⁴ = 4p
⇒ 4log_xy = 4p
⇒ log_xy = p

log_yx³ = 3q
⇒ 3log_yx = 3q
⇒ log_yx = q

আমরা জানি,
log_xy × log_yx = 1

∴ pq = p × q
= log_xy × log_yx
= 1

(a+b)²- 2ab = a²+ b²
= (√2)² +(√3)²
= 2+3
= 5

প্রশ্ন: 'COMILLA' শব্দের বিন্যাস সংখ্যা 'SYLHET' শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
'COMILLA' শব্দের মোট বর্ণ আছে ৭ টি।
যেখানে, L আছে ২ টি । 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৭!/২! = (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২)/২ 
= ২৫২০ 

আবার, 
'SYLHET' শব্দের মোট বর্ণ আছে ৬ টি।
যেখানে, সবগুলো বর্ণ ভিন্ন। 
 
∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১ = ৭২০ 

সুতরাং, 'COMILLA' -এর বিন্যাস সংখ্যা 'SYLHET' -এর ২৫২০/৭২০ = ৩.৫ গুণ

চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৪
∴ চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৪
= ৩/৪

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
প্রথম পদ = 27  
দ্বিতীয় পদ = 9
এবং সাধারণ অনুপাত r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
9 তম পদ = ar^{9 - 1} 
= ar⁸ 
= 27 × (1/3)⁸
= 3³ × (1/3⁸)
= 1/3⁵
= 1/243

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ 34 এবং ১৩তম পদ 64 হলে, এর ১৮তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সাধারণ পদ,
T_n = a + (n - 1)d
যেখানে, প্রথম পদ = a এবং  সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
T₇ = a + 6d = 34 ......(1)
T₁₃ = a + 12d = 64 ......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
⇒ (a + 12d) - (a + 6d) = 64 - 34
⇒ 6d = 30
⇒ d = 5
∴ d = 5 

d এর মান (1) নং এ  সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ a + 6 × 5 = 34
⇒ a + 30 = 34
∴ a = 4

এখন ১৮তম পদ, T18 = a + (18 - 1)d
= 4 + 17 × 5
= 4 + 85
= 89

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 3 । অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 বেশি। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y 
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 3 
∴ সংখ্যাটি = 10y + (y + 3) = 11y + 3 

আবার, 
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10(y + 3) + y
= 10y + 30 + y
= 11y + 30 

প্রশ্নমতে,
2(11y + 3) + 2 = 11y + 30
বা, 22y + 6 + 2 = 11y + 30
বা, 22y - 11y = 30 - 8
বা, 11y = 22
বা, y = 22/11
∴ y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11y + 3
= 11 × 2 + 3
= 22 + 3
= 25 

প্রশ্ন: যদি দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হয়, তাহলে যোগফল কমপক্ষে ১১ হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬ 

কিন্তু আমরা চাই যোগফল ≥ ১১

ছক্কায় জোড়ার যোগফল,
যোগফল = ১১ → জোড়া: (৫, ৬), (৬, ৫) → ২টি ফলাফল
যোগফল = ১২ → জোড়া: (৬, ৬) → ১টি ফলাফল
∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ২ + ১ = ৩ 

∴ সম্ভাবনা = ৩/৩৬ = ১/১২ 

(3.2ⁿ - 4.2^{n - 2})/(2ⁿ - 2^{n + 1})
= (3.2ⁿ - 2².2ⁿ.2^-2)/(2ⁿ - 2ⁿ.2)
= {2ⁿ(3 - 2^{2 - 2})}/{2ⁿ(1 - 2)}
= (3 - 2⁰)/-1
= -(3 - 1)
= -2

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে = ২৮ + ৮ = ৩৬
নবম পদ = ৩৬ + ৯ = ৪৫
দশম পদ হবে = ৪৫ + ১০ = ৫৫
একাদশ পদ হবে = ৫৫ + ১১ = ৬৬
দ্বাদশ পদ হবে = ৬৬ + ১২ = ৭৮
∴ ত্রয়োদশ পদ = ৭৮ + ১৩ = ৯১

প্রশ্ন: 1/729 এর 3√3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
ধরি,
log_3√3(1/729) = x
⇒ (3√3)^x = 1/729
⇒ (3¹.3^1/2)^x = 1/3⁶
⇒ (3^3/2)^x = 3^{- 6}
⇒ 3x/2 = - 6
⇒ 3x = - 12
∴ x = - 4

প্রশ্ন: x³ + x²y, x²y + xy², x³ + y³ এবং (x + y)³ এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম রাশি,
x³ + x²y 
= x²(x + y) 

দ্বিতীয় রাশি,
x²y + xy²
= xy(x + y) 

তৃতীয় রাশি,
x³ + y³
= (x + y)(x² - xy + y²) 

চতুর্থ রাশি,
 (x + y)³
= (x + y)(x + y)(x + y)

ল.সা.গু. = x²y(x + y)³(x² - xy + y²)
= x²y(x + y)²(x³ + y³)

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 4} এবং B = {2, 4, 5} হলে A' U B' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5},
A = {1, 2, 4}
এবং B = {2, 4, 5}

A‘ = U - A = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4}
= {3, 5}

এবং 
B’ = U - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 4, 5}
= {1, 3}

∴ A‘ U B’ = {3, 5} U {1, 3}
= {1, 3, 5}

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ৩/৪ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৮৪ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ৩ক/৪

প্রশ্নমতে,
ক + (৩ক/৪) = ৮৪
⇒ (৪ক + ৩ক)/৪ = ৮৪
⇒ ৭ক/৪ = ৮৪
⇒ ৭ক = ৮৪ × ৪
⇒ ৭ক = ৩৩৬
⇒ ক = ৩৩৬/৭
⇒ ক = ৪৮

∴ একটি সংখ্যা = ৪৮
অপর সংখ্যাটি = (৩ × ৪৮)/৪ = ৩৬

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 15টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 

∴ 15টি পদের সমষ্টি,
= 15(15 + 1)
= 15 × 16
= 240

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

প্রশ্ন: যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x/y = 2
⇒ x = 2y 
∴ y = x/2

এখন,
x + 2(x/2) = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

x³ + y³ = 20
বা, (x + y)³ - 3xy(x + y) = 20
বা, 2³ - 3xy.2 = 20
বা, -6xy = 12
∴ xy = -2
x² + y²
= (x + y)² - 2xy
= 2² - 2.(-2)
= 4 + 4
= 8

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12তম পদ 300 হলে 30তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 30তম পদ = a + (30 - 1)d
= 135 + 29 × 15
= 135 + 435
= 570
সুতরাং, ধারাটির 30তম পদ হলো 570.

a² + 6a + 8 - y² + 2y 

= a² + 2 × a × 3 + 3²  - y² + 2 × y × 1 - 1²

= (a + 3 )² - ( y² - 2y + 1 ) 

= (a + 3 )² -( y - 1)² 

= { (a + 3 ) + ( y - 1)} { (a + 3 ) - ( y - 1)} 

= (a + 3 + y - 1) (a + 3 - y + 1)

= ( a + y + 2 ) ( a - y + 4 )

ধরি সংখ্যাটি “ক”
প্রশ্নমতে,
৬ + ৮ + ১০ = ৭ + ৯ + ক
বা, ২৪ = ১৬ + ক
∴ক = ৮

প্রশ্ন: যদি p + q = √7 এবং p - q = √3 হয়, তবে 8pq(p² + q²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = √7
p - q = √3

আমরা জানি,
4pq = (p + q)² - (p - q)²
এবং,
2(p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²

এখন,
8pq(p² + q²)
= (4pq) × 2(p² + q²)
= [(p + q)² - (p - q)²] × [(p + q)² + (p - q)²]
= [(√7)² - (√3)²] × [(√7)² + (√3)²]
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40

সুতরাং, 8pq(p² + q²) এর মান 40।

এখানে,
a²b = 16.....(1)
ab = 4.........(2)
(1) নং ÷ (2) নং থেকে পাই,
a²b/ab = 16/4
বা, a = 4
(2) নং থেকে পাই,
4.b = 4
∴ b = 1

একই রকম জিনিস গুলোকে একটি ধরে মোট 11 টি জিনিস থেকে 4 টি জিনিস বাছাই করা যায় = ¹¹C₄ = 11! / 4!7! = 330 প্রকারে।

একই রকম 2 টি জিনিস থেকে 2 টি এবং বাকি 2 টি জিনিস ভিন্ন 10 টি জিনিস থেকে বাছাই করা যায় = ²C₂ × ¹⁰C₂
= 1 × 45
= 45 প্রকারে।

সুতরাং, মোট বাছাই করা যায় = 330 + 45 = 375 প্রকারে।

প্রশ্ন: এর সমাধান-

সমাধান:

প্রান্তিক রাশিদ্বয়কে গণনা করে ৫০ হতে ৭০ পর্যন্ত মোট ২১টি সংখ্যা আছে।
অতএব, n(S) = ২১
২১টি সংখ্যার মধ্যে ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭ এই চারটি মৌলিক সংখ্যা।
অতএব, n(A) = ৪
অতএব, প্রতিটানে মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা, P(A) = ৪/২১

প্রশ্ন: log₅(25/625) এর মান কত?

সমাধান:
log₅(25/625)
= log₅(1/25)
= log₅(1/5²)
= log₅(5^{- 2})
= - 2 × log₅5   [∵ log_a(Mⁿ) = n log_aM]
= - 2 × 1   [∵ log_aa = 1]
= - 2

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

এখন,
{a⁴ + (1/a⁴)} 
= (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2 · a² . (1/a²)
= [{a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)]² - 2
= {(4)² - 2}² - 2
= (14)² - 2
= 196 - 2
= 194

x⁴ + 1/x⁴ = 47
বা, (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x² = 47
বা, (x² + 1/x²)² - 2 = 47
বা, (x² + 1/x²)² = 49
x² + 1/x² = 7
(x + 1/x)² - 2.x.1/x = 7
বা, (x + 1/x)² = 9
∴ x + 1/x = ± 3

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ : ( - 1 )^{n -1}{n/(2n + 1)} 

n = 1 হলে, ১ম পদ = ( - 1 )^{1 - 1} {1/(2 × 1 + 1)} = ( - 1)⁰ ×(1/3) = 1 × (1/3) = 1/3
n = 2 হলে, ২য় পদ = ( - 1 )^{2 - 1} {2/(2 × 2 + 1)} = ( - 1)¹ ×(2/5) = - 1 × (2/5) = - 2/5
n = 3 হলে, ৩য় পদ =  ( - 1 )^{3 - 1} {3/(2 × 3 + 1)} = ( - 1)² ×(3/7) = 1 × (3/7) = 3/7
n = 4 হলে, ৪র্থ পদ = - 4/ 9
------------------------------
------------------------------
সুতরাং অনুক্রমটি : 1/3, - 2/5, 3/7. - 4/9,... ..... ......

প্রশ্ন: 10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যাগুলি থেকে একটি সংখ্যা দৈবভাবে পছন্দ করা হলে, সেই সংখ্যাটির মৌলিক সংখ্যা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
10 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 11,13,17,19
অনূকুলে মোট ফলাফল = 4
10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যা = 11টি 
নির্ণেয় সম্ভাবনা = 4/11