বীজগণিত

প্রশ্ন: (3a - 2)(a + 6) কোন রাশির উৎপাদক? 

সমাধান: 
(3a - 2)(a + 6)
= 3a × a + 3a × 6 - 2 × a - 2 × 6 
= 3a² + 18a - 2a - 12
= 3a² + 16a - 12

f(x) = x² - 4x + 3
∴ f(a) = a² - 4a + 3
f(a) = 0 হলে,
a² - 4a + 3 = 0
বা, a² - 3a - a + 3 = 0
বা, a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
বা, (a - 3)(a - 1) = 0
∴ a = 3, 1

প্রশ্ন: যদি 4^3x + 8 = 16 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধন: 
দেওয়া আছে, 
4^3x + 8 = 16
⇒ 4^3x = 16 - 8
⇒ 4^3x = 8
⇒ (2²)^3x = 2³
⇒ 2^6x = 2³
⇒ 6x = 3
⇒ x = 3/6
∴ x = 1/2

10 টি প্রশ্নের মধ্যে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সংখ্যা = ¹⁰C₆
= 10!/{(10-4)!6!}
= (10×9×8×7×6!)/(4×3×2×1×6!)
= 10×9×8×7/24
= 210

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 19-তম পদ 188 এবং সাধারণ অন্তর 10 হলে প্রথম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির 19 তম পদ = 188
সাধারণ অন্তর, d = 10
প্রথম পদ, a = ? 

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 19 তম পদ = a + (19 - 1)d
⇒ 188 = a + (18 × 10) 
⇒ 188 = a + 180
⇒ a = 188 - 180 
⇒ a = 8

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a(a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a² - 11a + 30) এবং (a² - 8a + 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
(a² - 11a + 30)
= a² - 5a -6a +30
= a(a - 5) - 6(a - 5)
= (a - 5)(a - 6)

আবার, 
(a² - 8a + 15)
= a² - 3a - 5a + 15
= a(a - 3) - 5(a - 3)
= (a - 3)(a - 5)

∴  সাধারণ উৎপাদক (a - 5).

প্রশ্ন: 7(2x - 3) = 3(4x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
7(2x - 3) = 3(4x + 1)
⇒ 14x - 21 = 12x + 3
⇒ 14x - 12x = 3 + 21
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
∴ x = 12

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ, ar^{10 - 1} = 27(1/3)⁹
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

সুতরাং, ধারাটির দশম পদ 1/729

1/(x - 2) - {(3 - x)/(x - 2)}
= (1 - 3 + x)/(x - 2)
= (x - 2)/(x - 2)
= 1

প্রশ্ন: (x/4) + (1/y) = 3 এবং (x/5) - (2/y) = 1 হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x/4) + (1/y) = 3 ........ (1)
(x/5) - (2/y) = 1 ........ (2)

(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করি,
(1) × 2 ⇒ x/2 + 2/y = 6 ........ (3)
(2) × 1 ⇒ x/5 - 2/y = 1 ........ (4)

(3) ও (4) নং সমীকরণ যোগ করি,
(x/2 + x/5) = 6 + 1
⇒ (5x + 2x)/10 = 7
⇒ 7x/10 = 7
⇒ 7x = 70
∴ x = 10

এখন x-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(10/4) + (1/y) = 3
⇒ (5/2) + (1/y) = 3
⇒ 1/y = 3 - (5/2)
⇒ 1/y = (6 - 5)/2
⇒ 1/y = 1/2
∴ y = 2

∴ (x, y) = (10, 2)

প্রশ্ন: 64a² + 48a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

64a² + 48a
= 64a² + 48a + 9 - 9
= (8a)² + 2 ×(8a) × (3)+ (3)² - 9
= (8a + 3)² - 9

সুতরাং, 64a² + 48a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: 7^{x - 2} = 49 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
7^{x - 2} = 49
⇒ 7^{x - 2} = 7²
⇒ x - 2 = 2
⇒ x = 2 + 2
⇒ x = 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

yz < 0
∴ y > 0, z < 0 অথবা y < 0, z > 0 ফলে z² > 0
আবার, xy > 0
∴ xyz² > 0

প্রশ্ন: a² + a - 20 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
a² + a - 20 
= a² + 5a - 4a - 20
= a(a + 5) - 4(a + 5)
= (a + 5)(a - 4)

৩৬৬ দিনের বছরে ৫২ সপ্তাহ বা ৩৬৪ দিন থাকে। সে অনুযায়ী ৫২ টি শুক্রবার থাকে।
বাকি দুই দিন পরপর (বৃহস্পতি, শুক্র) বা (শুক্র, শনি) বা (শনি, রবি) বা (রবি, সোম) বা (সোম,মঙ্গল) বা (মঙ্গল, বুধ) বা (বুধ, বৃহস্পতি) এই সাত প্রকারের যেকোন একপ্রকার হতে পারে। এর মধ্যে শুক্রবার আছে ২ বার।
সুতরাং, পরবর্তী ২ দিনে শুক্রবার হওয়ার সম্ভাব্যতা ২/৭।

একটি সমীকরণ এর নিশ্চায়কের মান শূন্য হলে, ইহা পূর্ণবর্গ হয়।এখানে নিশ্চয়াক =b² - 4ac = (-12)² - 4.a.9 = 0 বা, 36a = 144 বা, a = 4

পত্রিকা পড়েন মোট = (৬৫ + ৪০ + ৫৪ + ৫০) = ২০৯
প্রথমআলো পড়ে ৬৫ জন, তাহলে প্রথমআলো পড়ে না (২০৯ - ৬৫) বা ১৪৪ জন
প্রথমআলো পড়েন না তার সম্ভাবনা = ১৪৪/২০৯

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং xy = 16 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং xy = 16

প্রদত্ত রাশি = x³ + y³
= (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 10³ - (3 × 16 × 10)
= 1000 − 480
= 520

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

m^-3 = 0.5 = 1/2
বা, 1/m³ = 1/2
বা, m³ = 2
বা, (m³)² = 2²
∴ m⁶ = 4

প্রশ্ন:

সমাধান:
 

y² - x(x - 2) - 1
= y² - x² + 2x - 1
= y² - (x² - 2x + 1)
= y² - (x - 1)²
= (y + x - 1)(y - x + 1)
= (x + y - 1)(y - x + 1)

প্রশ্ন: 256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂256
= log₂2⁸
= 8 log₂2 [log_aM^r = r log_aM]
= 8 × 1 [log_aa =1]
=8

প্রশ্ন: (5x - y, 21) = (39, 3x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে পাই,
3x - y = 21 ........(1)
5x - y = 39 ........(2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(5x - y - 3x + y) = 39 - 21
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(9) - y = 21
⇒ 27 - y = 21
⇒ y = 27 - 21
⇒ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (9, 6)

১ম পদ a = ৫
সাধারন অন্তর d = ৮ - ৫ = ৩
মনেকরি, r তম পদ = ৩০২
a_+(r-1)d = 302
বা, 5+(r-1)3 = 302
বা, 5+3r-3 = 302
বা, r = 300/3
বা, r = 100
100-তম পদ = 302

প্রশ্ন: log₈0.25 = কত?

সমাধান:
ধরি, log₈0.25 = x
⇒ 8^x = 0.25 (যদি log_aM = x হয়, তাহলে a^x = M)
⇒ 8^x = 25/100
⇒ 8^x = 1/4
⇒ (2³)^x = 2^{- 2}
⇒ 2^3x = 2^{- 2}
⇒ 3x = - 2
∴ x = - 2/3

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 10 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 10
বা, 2{a + (1/a)} = 10
বা, a + (1/a) = 10/2
∴ a + (1/a) = 5

এখন,
 a² + (1/a²)
= a² + (1/a)²
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 5² - 2
= 25 - 2
= 23

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় অবস্থানে রেখে 'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো?

সমাধান:
DETAIL শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্য = 6 টি
স্বরবর্ণ আছে = 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
বিজোড় অবস্থান = 3 টি (1, 3, 5)

∴ স্বরবর্ণগুলো 3 টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ³P₃ = 6 

বাকি বর্ণগুলো 3 টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস = ³P₃ = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

আমরা জানি,
চিঠি পোস্ট করার উপায় = (পোস্ট বক্স)^{চিঠির সংখ্যা} = ৫^৬

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি 7 এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে 8 বেশি হলে ধারার 101তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 8
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 101 তম পদ = 7 + (101 - 1) × 8
= 7 + (100 × 8)
= 7 + 800
= 807