বীজগণিত

ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)
প্রশ্নমতে,(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
৮ক^২+ ৮০ক - ২৪০০০ = ০
বা, ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
যেহেতু, ক ≠- ৬০  
∴ ক = ৫০ জন।
অর্থাৎ, প্রথমে ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ৫০ জন।
বাসে গিয়েছিলো (৫০ + ১০) = ৬০জন

ALGEBRA শব্দটিতে মোট 7টি  বর্ণ রয়েছে যাদের মধ্যে 2টি A।
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে সাজানোর ক্ষেত্রে-

(a) 2টি A অন্য একটি  ভিন্ন বর্ণ
(b) সবগুলোর বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন

(a) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায়
= 1 × ⁵c₁ × 3!/2!
= 15
(b) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায়
= ⁶p₃
= 120

∴ মোট শব্দ সংখ্যা
= 15 + 120
= 135

প্রশ্ন: 343 এর √7 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
343 এর √7 ভিত্তিক লগারিদম
= log_√7343
= log_√77³
= 3 × log_√77
= 3 × log_√7(√7)²
= 2 × 3 × log_√7√7
= 2 × 3 × 1  ; [log_aa = 1] 
= 6

একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H,T) এবং ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1,2,3,4,5,6)।
তাই মোট নমুনা বিন্দু 2 X 6 = 12টি।
এগুলো হলঃ {(1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), ;(5,H), (5,T), (6,H), (6,T)}

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং ab = 6 হলে a³ + b³ + 4a²b + 4ab² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + b³ + 4a²b + 4ab²
= a³ + b³ + 4ab(a + b)
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 4ab(a + b)
= (a + b)³ + ab(a + b)
= 5³ + 5 × 6
= 125 + 30
= 155

ধারাটির প্রথম পদ a = log 2
সাধারণ অন্তর d = log 2
= log 2 + (7-1) log 2
= 7log2
= log 27
= log 128

এখানে,
2x³ + x² = x²(2x + 1),
4x² - 1 = (2x + 1)(2x - 1),
2x2 - x = x(2x - 1)
∴ ল.সা.গু. = x²(2x + 1)(2x - 1)
= x²(4x² - 1)

প্রশ্ন: যদি x - (1/x) = 7 হয় তবে  x³ - (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x - (1/x) = 7

∴ x³ - (1/x)³ 
= {x - (1/x)}³ + 3.x.(1/x){x - (1/x)}
= (7)³ + 3 × 7
= 343 + 21
= 364

একটি করমর্দন 2 জনের সমাবেশ থেকে সংগঠিত হয়
∴ মোট করমর্দন সংখ্যা = ⁿc₂
∴ ⁿc₂ = 28
বা, n!/2!(n - 2)! = 28
বা, n(n - 1)(n - 2)!/2(n - 2)! = 28
বা, n(n - 1) = 56
বা, n² - n - 56 = 0
বা, n² - 8n + 7n - 56 = 0
বা, n(n - 8) + 7(n - 8) = 0
বা, (n - 8)(n + 7) = 0
বা, n - 8 = 0
∴ n = 8

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: p + q = 9 এবং p² + q² = 45 হলে, p³ + q³ এর মান কত?

সমাধান:
p² + q² = 45
⇒ (p + q)² - 2pq = 45
⇒ 9² - 2pq = 45
⇒ 81 - 2pq = 45
⇒ - 2pq = 45 - 81
⇒ - 2pq = - 36
∴ pq = 18

এখন,
p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q)
= 9³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 54 × 9
= 729 - 486
= 243

∴ p³ + q³ এর মান 243 

এখানে, ১ম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 6 - 3 = 3
শেষ পদ = 36
∴ পদসংখ্যা n = (36 - 3)/3 + 1 = 12
সমষ্টি S = 12 × (36 + 12)/2
= 6 × 39
= 234

প্রশ্ন: x⁴ - 6x³ + 9x² - b বহুপদটির একটি উৎপাদক যদি x - 3 হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x⁴ - 6x³ + 9x² - b

যেহেতু, (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
∴ x - 3 = 0 
অর্থাৎ, x = 3 হলে, f(x) এর মান শূণ্য হবে।

এখন,
f(x) = x⁴ - 6x³ + 9x² - b
∴ f(3) = (3)⁴ - 6(3)³ + 9(3)² - b
= 81 - 162 + 81 - b
= 0 - b

শর্তমতে,
f(3) = 0
⇒ 0 - b = 0
∴ b = 0

প্রশ্ন: যদি x = 2 হয়, তাহলে x³ + 27x² + 243x + 729 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 2

প্রদত্ত রাশি, 
x³ + 27x² + 243x + 729
= x³ + 3. x² . 9 + 3 . x . 9² + 9³
= (x + 9)³
= (2 + 9)³
= (11)³
= 1331

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

3x - 5, f(x) = ax² - x - 15 এর একটি উৎপাদক
∴ f(5/3) = 0
বা, a.(25/9) - 5/3 - 135 = 0
বা, 25a - 15 - 135 = 0
বা, 25a - 150 = 0
বা, 25a = 150
∴ a = 6

দেওয়া আছে, x + y = 18……(i) এবং x - y = 4…….(ii)
(i) + (ii) = 2x = 22
∴ x = 11
∴ (i) নং হতে, 11 + y = 18
⇒ y = 7 
∴ xy = 11 × 7 = 77

প্রশ্ন: a = 4 এবং b = - 1 হলে, (5a + 3b) + (- 2a - 6b) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a = 4 এবং b = - 1 

প্রদত্ত রাশি = (5a + 3b) + (- 2a - 6b)
= 5a + 3b - 2a - 6b
= 3a - 3b
= (3 × 4) - {3 × (- 1)}
= 12 + 3
= 15

প্রশ্ন: যদি (25)^{2p + 3} = 5^{3p + 6} হয়, তবে p = কত?

সমাধান:
(25)^{2p + 3} = 5^{3p + 6}
⇒ 5^{2(2p + 3)} = 5^{3p + 6}
⇒ 2(2p + 3) = 3p + 6
⇒ 4p + 6 = 3p + 6
⇒ 4p - 3p = 6 - 6
⇒ p = 0

(100)⁰x
= 1 × x
= x

মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক খ এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক ক। সুতরাং সংখ্যাটি = 10ক + খ
প্রথম শর্তমর্তে,
ক - খ = 5
বা, ক = খ + 5
এবং দ্বিতীয় শর্তমর্তে, 10ক + খ - 5(ক+খ) = 10খ + ক
বা, 9ক - 9খ - 5ক - 5খ = 0
বা, 4ক - 14খ = 0
বা, 2ক - 7খ = 0
বা, 2(খ + 5) - 7খ = 0
বা, 2খ + 10 - 7খ = 0
বা, খ = 2
সুতরাং ক = খ + 5
= 2 + 5
= 7
সংখ্যাটি = 10ক + খ
=10 × 7 + 2
= 72

প্রশ্ন: 6x³ - 5x² - 17x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক- 

সমাধান:

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1)
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3x.1/x (x - 1/x)
= 1³ + 3. 1
= 4

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = - 12 
বা, x = - 12/4
∴ x = - 3

√(5ⁿ) = 3125 = 5⁵
বা, 5ⁿ = (5⁵)²
বা, 5ⁿ = 5¹⁰
∴ n = 10
∴ 5^n-5 = 5^{10 - 5}
= 5⁵ = 3125

- কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
- ৩, ৫, ৪, ৫, ৬, ৯, ৪, ৭, ৫, ৩, ৯ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
- সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫।

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
=(x + y - 1) (x - y + 1)

প্রত্যেক সদস্য সদস্য সংখ্যা(৬)র ছয়গুণ চাঁদা দিলে সদস্য প্রতি চাঁদার পরিমাণ ৩৬ টাকা।
তাহলে, ছয়জন সদস্যের সর্বমোট চাঁদার পরিমাণ ৬ × ৩৬ = ২১৬

মনে করি, রিতার আছে x টাকা
গীতার আছে (x - 6) টাকা
মিতার অছে (x + 12) টাকা
প্রশ্নমতে, x + x - 6 + x + 12 = 180
বা, 3x = 180 - 6
বা, x = 174/3
বা, x= 58
∴ গীতার আছে (58 - 6) = 52 টাকা।

g(x) = x² - 1
∴ g(2) = 2² - 1
= 4 - 1
= 3
এখন, f(x, y) = x²y², f{2, g(2)}
= f(2, 3)
= 2².3²
= 36

প্রশ্ন: যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2}

প্রদত্ত রাশি, 
N - M = {1, 2} - {a, b, 1, 2} = { }
N - M = { }

অথবা, 
যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান হলো একটি খালি সেট, অর্থাৎ ∅ বা { }। এর কারণ হলো N সেটের সকল উপাদান (1 এবং 2) M সেটে উপস্থিত রয়েছে। N - M মানে হলো N সেটের এমন সকল উপাদান যা M সেটে নেই, এবং এই ক্ষেত্রে এমন কোনো উপাদান নেই। 

সুতরাং, N - M = ∅ বা  {}

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 78টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি, টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 78
⇒ n(n - 1)(n - 2)!/{2!(n - 2)!} = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78
⇒ n(n - 1) = 78 × 2
⇒ n(n - 1) = 156
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12(n - 13) = 0
⇒ (n + 12)(n - 13) = 0

হয় n + 12 = 0 অথবা n - 13 = 0
⇒ n = - 12 অথবা n = 13

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 12 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 13

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 13টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।