বীজগণিত

এখানে, n(F) = 30, n(C) = 25 এবং n(F ∩ C) =11
আমরা জানি, n(F U C) = n(F) + n(C) – n(F ∩ C)
= 30 + 25 - 11
= 44
∴ অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে 44 জন।
∴ কোনটিই পছন্দ করে না = 50 - 44 = 6 জন।

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.......+15² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 15
∴ সমষ্টি = {15(15 + 1)(2 × 15 + 1)}/6
= {15 × 16 × (30 + 1)}/6
= (15 × 16 × 31)/6
= 7440/6
= 1240

৬ জনের মোট ওজন = (৭৫ × ৬) = ৪৫০ কেজি
৫০ কেজির ১ জন চলে যাওয়ার ফলে মোট ওজনের সমষ্টি = ৪৫০ - ৫০ = ৪০০ কেজি
∴ বাকি ৫ জনের গড় ওজন = ৪০০/৫ = ৮০ কেজি।

প্রশ্ন: 'ANALOGY' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ANALOGY' শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে A আছে 2 টি। বাকি বর্ণগুলো একটি করে আছে। 

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 2520

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি x + y = 12 এবং xy = 35 হয়, তবে, x² + y² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 এবং xy = 35

আমরা জানি, 
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ x² + y² = (12)² - 2(35)
⇒x² + y² = 144 - 70
∴ x² + y² = 74

xy = 35 = 7×5 = 1×35
∴ x + y = 7 + 5 = 12
অথবা, 35 + 1 = 36 যা সর্বোচ্চ।

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + (4¹/4^x) = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4

ধরি, y = 4^x
⇒ y + 4/y = 4
⇒ (y² + 4)/y = 4
⇒ y² + 4 = 4y
⇒ y² - 4y + 4 = 0
⇒ (y - 2)² = 0
⇒ y - 2 = 0
⇒ y = 2
⇒ 4^x = 2
⇒ (2²)^x = 2¹  [y = 4x বসিয়ে]
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

x² - y² + 4y - 4
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - (y - 2)²
= (x + y - 2)(x - y + 2)

প্রশ্ন: (1/5) log_x (2187√3) = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(1/5) log_x (2187√3) = 1
⇒ log_x (2187√3)^1/5 = 1
⇒ x = (2187√3)^1/5
⇒ x = (243 × 9 × √3)^1/5
⇒ x = (3⁵ × 3² × √3)^1/5
⇒ x = (3⁵ × √3⁴ × √3)^1/5
⇒ x = (3⁵ × √3⁵)^1/5
⇒ x = {(3√3)⁵}^1/5
∴ x = 3√3

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ..... ধারাটির কততম পদ 768?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অনুপাত, r = 24/48 = 2 > 1

ধরি,
n-তম পদ = 768
⇒ ar^{n - 1} = 768
⇒ 12 × 2^{n - 1} = 768
⇒ 2^{n - 1} = 768/12
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

log₅(√5) (√5) - log_2√5400 + log₆6√6
log₅(5^1/2+1/2) - log_2√5(2√5)⁴ + log₆6^3/2
log₅5 – 4log_2√5(2√5) + 3/2log₆6
1 – 4 + 3/2
-3/2

প্রশ্ন: যদি a + b = 13 এবং a² + b² = 85 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a² + b² = 85
এবং
a + b = 13
⇒ (a + b)² = (13)²
⇒ a² + 2ab + b² = 169
⇒ a² + b² + 2ab = 169
⇒ 85 + 2ab = 169
⇒ 2ab = 169 - 85
⇒ 2ab = 84
⇒ ab = 84/2
⇒ ab = 42

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (13)³ - (3 × 42 × 13)
= 2197 - 1638
= 559

(a-b)²
= (a+b)² - 4ab
= (9m)² - 4X18m²
= 81m² - 72m²
= 9m²
∴ (a-b) = ±3m

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ১২ এবং ১৫তম পদ ২৫০ হলে ৪২তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ১২

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - ১)d

সুতরাং,
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১) × ১২
বা, ২৫০ = a + ১৪ × ১২
বা, ২৫০ = a + ১৬৮
বা, a = ২৫০ - ১৬৮
∴ a = ৮২

এখন,
৪২তম পদ = a + (৪২ - ১)d
= ৮২ + ৪১ × ১২
= ৮২ + ৪৯২
= ৫৭৪

[log_k (1+x)] / log_k x = 2
⇒ log_k (1+x) = 2log_k x
⇒ log_k (1+x) = log_k x²
⇒ (1 + x) = x²
⇒ x² - x - 1 = 0
⇒ x² - (2. x . 1/2) + (1/2)² = 1 + 1/4 [দুইপাশে 1/4 যোগ করে]
⇒ (x - 1/2)² = 5/4
⇒ x - 1/2 = √5/2
∴ x = (1 + √5)/2

x = -4 হলে x³ - 21x - 20 = 0 হবে।

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6} হয়, তবে P ∩ Q' = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6}

এখন, Q' = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {4, 6}
= {1, 2, 3, 5, 7}

P ∩ Q' = {2, 3, 5} ∩ {1, 2, 3, 5, 7} = {2, 3, 5} = P

∴ P ∩ Q' = P

প্রশ্ন: 3x + 4y = 10 এবং 2x - 3y = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 10 ......... (1)
2x - 3y = 1 .......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে 4 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
3(3x + 4y) + 4(2x - 3y) = 3 × 10 + 4 × 1
⇒ 9x + 12y + 8x - 12y = 30 + 4
⇒ 17x = 34
⇒ x = 34/17
∴ x = 2

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +................ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r =(- 4)/2 = 8/(- 4) = - 2;  [r < 1]

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,  Sn = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; r < 1
9 টি পদের সমষ্টি,  S₉ = 2{1 - (- 2)⁹}/(1 + 2)
= {2 × (1 + 512)}/3
= (2 × 513)/3
= 2 × 171
= 342

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৯ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
 ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৫ = ২ক + ৯
বা, ৩ক - ২ক = ৯ - ৫
বা, ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪

প্রশ্ন: একটি ছক্কা কে একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6¹ = 6 টি

নমুনা ক্ষেত্র গুলো হবে = 1, 2, 3, 4, 5, 6

এখন, সংখ্যা গুলোর মধ্যে 2 থেকে বড় সংখ্যা গুলো হলো = 3, 4, 5, 6 অর্থাৎ 4 টি ।

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা = 4/6 = 2/3

∴ 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/3) = (3 - 2)/3 = 1/3 

বিকল্প:
ছক্কায় 2 থেকে বড় নয় এমন সংখ্যা হলো- 1, 2 অর্থাৎ 2 টি। 

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা না আসার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3

প্রশ্ন কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ২ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৬ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ = ক + ৬
⇒ ৩ক - ক = ৬ - ২ 
⇒ ২ক = ৪
⇒ ক = ৪/২
⇒ ক = ২

∴ সংখ্যাটি ২।

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ x² + 2x - 15 > 0
⇒ x² + 5x - 3x - 15 > 0
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 3।
 
(x + 5)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।

অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 3।
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)।

ⁿc_{n - r}
= n!/{(n - r)! (n - n + r)!}
= n!/r!(n - r)!
= ⁿc_r

প্রশ্ন: [{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy}]² = কত?

সমাধান:
{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy}
= y(x + y) + x(x - y) - (x² - y²)/xy
= (xy + y² + x² - xy - x² + y²)/xy
= 2y²/xy
= 2y/x

∴ [{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy}]²
= (2y/x)²
= 4y²/x²

প্রশ্ন: x + (1/x) = √10 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √10

আমরা জানি,
x³ + (1/x³) = (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
= (√10)³ - 3 × √10
= 10√10 - 3√10
= 7√10