বীজগণিত

ছাত্র সংখ্যা ক হলে,
প্রশ্নমতে, ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ৬/৩
⇒ ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ২
⇒ ক/৩ - ক/৪ = ৩+২
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৫
∴ ক = ৬০

প্রশ্ন: f(x) = a³ + 4a² + a - 6 হলে, নিচের কোনটি f(a) এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ?

সমাধান:
ধরি,
a = 1

∴ f(1) = 1³ + 4 .1² + 1 - 6 
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6 
= 0
∴ (a - 1) হলে f(a) এর একটি উৎপাদক 

f(a) = a³ + 4a² + a - 6
= a³ - a² + 5a² - 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² + 5a + 6)
= (a - 1)(a² + 2a + 3a + 6)
= (a - 1){a(a + 2) + 3(a + 2)}
= (a - 1)(a + 2)(a + 3)

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/r - 1
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/r - 1

শর্তানুসারে, 
​a. (r⁶ - 1)/(r - 1)= 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 
 ⇒ r³ ​= 2³
∴ r = 2
​
​∴ সাধারণ অনুপাত হবে = 2  । 

-3 ≤ x ≤ 3.......(1)
-4 ≤ y ≤ 4.......(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই
-7 ≤ x + y ≤ 7

প্রশ্ন: (100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ = ?

সমাধান: 
(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰
= 1 + (100 × 1) + 1
= 1 + 100 + 1
= 102

a³ - 9 + (a + 1)³
= a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: {(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ 2y(x² - y²)^{- 1} রাশিটির মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
{(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ 2y(x² - y²)^{- 1} 
= {1/(x + y) - 1/(x - y)} ÷ 2y × {1/(x² - y²)}
= {(x - y - x - y)/(x + y)(x - y)} ÷ 2y/(x² - y²)
= {- 2y/(x² - y²)} × (x² - y²)/2y
= - 1

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(150 - 10)/5} + 1
= (140/5) + 1
= 28 + 1
= 29

প্রশ্ন: a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a ≤ (a/2) + 3
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 3}
⇒ 2a ≤ a + 6
⇒ 2a - a ≤ a + 6 - a
⇒ a ≤ 6

মনে করি, বড় সংখ্যাটি ক এবং ছোট সংখ্যাটি খ।
১ম শর্তমতে, ক - খ = 5
বা, ক = খ + 5 ---------(1)
এবং ২য় শর্তমতে,
ক^২ - খ^২ = 75
বা, (খ + 5)^২ - খ^২ = 75
বা, খ^২ + 10খ + 25 - খ^২ = 75
বা, 10খ = 75 - 25
বা, খ = 50/10
সুতরাং খ = 5
এখন ক = 5 + 5
সুতরাং ক = 10
সুতরাং সংখ্যা দুটির বিয়োগফল = 10 - 5 = 5

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 6a² + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 6a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 6a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 6
⇒ a² + (1/a²) = 6
⇒ {a - (1/a)}² + 2 . a . (1/a) = 6 
⇒ (a - 1/a)² = 6 - 2
⇒ a - (1/a) = √4
∴ a - (1/a) = ± 2

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

প্রশ্ন: ৫ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষের মধ্যে থেকে ২ জন পুরুষ এবং ১ জন মহিলা নিয়ে একটি দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন মহিলা থেকে ১ জন মহিলা বাছাই করার উপায় = ^৫C_১ = ৫
৪ জন পুরুষ থেকে ২ জন পুরুষ বাছাই করার উপায় = ^৪C_২ = ৬

∴ নির্ণেয় দল গঠনের উপায় = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(8) = 3/2
⇒ x^3/2 = 8  [log_ab = c ⇒ a^c = b]
⇒ (x^1/2)³ = 8
⇒ √x³ = 2³
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2²
∴ x = 4

প্রশ্ন: 1/।1 - 2a। ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/।1 - 2a। ≥ 5
⇒ 1 - 2a ≤ 1/5
ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2a ≤ 1/5
⇒ 1 - 2a - 1 ≤ - 1 + (1/5)
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ a

 ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2a) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a + 1 ≤ 1 + (1/5)
⇒ 2a ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ a ≤ (3/5)

(- 5 + 7)/2 = 1
∴ - 5 - 1<x - 1<7 - 1
⇒ -6 <x -1<6
∴ |x -1|<6

প্রশ্ন: আকাশ 500 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 5 টাকা কম হতো। আকাশ কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার সংখ্যা = X
প্রতি খাতার দাম = 500/X টাকা

যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম = 500/(X + 5) টাকা

প্রশ্নমতে,
(500/X) - {500/(X + 5)} = 5
বা, [{500(X + 5)} - 500X]/{X(X + 5)} = 5
বা, 2500 = 5X(X + 5)
বা, 500 = X(X + 5)
বা, X² + 5X - 500 = 0
বা, X² + 25X - 20X - 500 = 0
বা, X(X + 25) - 20(X + 25) = 0
বা, (X + 25) (X - 20) = 0
X = - 25 (গ্রহণযোগ্য নয়), X = 20

∴ আকাশ 20 টি খাতা ক্রয় করেছিলো।

ধরি,
ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = x
বৃহত্তর সংখ্যাটি = x + 25
শর্তমতে,
4 X (x + 25) = 5x
বা, 4x + 100 = 5x
∴ x = 100
অতএব, ক্ষুদ্রতর সংখ্যা 100 এবং বৃহত্তর সংখ্যা 125.

প্রশ্ন: ৬ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে একটি ৪ সদস্যের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে যেখানে ২ জন মহিলা সর্বদা কমিটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
৬ জন মহিলা থেকে ২ জন ও ৫ জন পুরুষ থেকে ২ জন নিয়ে ৪ সদস্যের কমিটি গঠন করা যায়,
= ^৬C_২ × ^৫C_২ 
= {৬!/(২! × ৪! )} × {৫!/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫ × ৪!)/(২! × ৪!)} × {(৫ × ৪ × ৩!)/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫)/২} × {৫ × ৪)/২}
= ১৫ × ১০ 
= ১৫০ উপায়ে

30 − {5^-1(2−3)^-3}^-2
= 30 - {1/5 (-1)^-3}^-2
= 30 - {(1/5 × (-1)}^-2
= 30 - (- 1/5)^-2
= 30 - 5²
= 5

প্রশ্ন: 2(x + 3) ≥ 10 অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2(x + 3) ≥ 10
⇒ x + 3 ≥ 10/2
⇒ x + 3 ≥ 5
⇒ x + 3 - 3 ≥ 5 - 3 ; [উভয় পাশ থেকে 3 বিয়োগ করি]
∴ x ≥ 2

সমাধান সেট = [2, ∞)

২০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ২০×৮০ = ১৬০০
১০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ১০×৭০ = ৭০০
এবং ছাত্রদের মোট নম্বর = ১৬০০-৭০০ = ৯০০
সুতরাং ছাত্রদের গড় নম্বর = ৯০০/১০
= ৯০

Log (1/3)⁸¹ = x
বা, (1/3)^x = 81
বা, (1/3)^x = 3⁴
বা, (1/3)^x = (3)⁴
বা, (1/3)^x = (1/3)^-4
বা, x = -4

ধারাটির প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে, a = 1 এবং r = 1/2 ÷ 1 = 1/2 যা 1 অপেক্ষা ছোট।
ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি = a(1 - r⁸)/(1 - r)
= {1 - (1/2)8}/(1 - 1/2)
= 255/128

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² - 8x - 8y + 16 + y²
= (x)² - 2.x.4 - 2.y.4 + (4)² + y²
= (4)² + (x)² + y² - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4 - 2xy
= (4 - x - y)² - 2xy

∴ x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটির সঙ্গে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৭০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৭০ - ক) = ২৫৫০
⇒ ২৫ক + ৫২৫০ - ৭৫ক = ২৫৫০
⇒ -৫০ক + ৫২৫০ = ২৫৫০
⇒ -৫০ক = ২৫৫০ - ৫২৫০
⇒ -৫০ক = -২৭০০
⇒ ক = ৫৪

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫৪ জন

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে 1 < x < 11 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 < x < 11

এখানে,
1 < x < 11 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (1 + 11)/2
= 12/2
= 6

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 6 বিয়োগ করে পাই,
1 < x < 11
⇒ 1 - 6 < x - 6 < 11 - 6
⇒ - 5 < x - 6 < 5
⇒ |x - 6| < 5

প্রশ্ন: p + q = 6 হলে p³ + q³ + 18pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6

∴ p³ + q³ + 18pq = (p + q)³ - 3pq(p + q) + 18pq
= (6)³ - 3pq × 6 + 18pq
= 216 - 18pq + 18pq
= 216

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
5ম পদ = a + 4d = 44
⇒ a + 4 × 8 = 44
⇒ a + 32 = 44
⇒ a = 12

এখন
12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 12 + 11 × 8 
= 12 + 88 
= 100

(x+2) (x+3) (x+4) (x+5) - 48
= (x+2) (x+5) (x+3) (x+4) - 48
= (x² + 7x + 10) (x² + 7x + 12) - 48

ধরি,
x² + 7x = a

তাহলে,
(a + 10) (a + 12) - 48
= a² + 12a + 10a +120 - 48
= a² + 22a +72
= a² + 18a + aa + 72
= a(a+18) + a(a+18)
= (a+4) (a+18)
= (x² + 7x + 4) (x² + 7x + 18)

যেহেতু, ৫টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবার নিয়ে বানাতে বলা হয়েছে
সুতরাং, ৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₁ = 5
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₂ = 20
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₃ = 60
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₄ = 120
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₅ = 120
মোট সংকেত সংখ্যা = ৫ + ২০ + ৬০ + ১২০ + ১২০ = ৩২৫