বীজগণিত

প্রশ্ন: a + b = 4 এবং ab = 3 হলে, a² - ab + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 4 এবং ab = 3

প্রদত্ত রাশি, 
a² - ab + b²
= a² + b² - ab
= (a + b)² - 2ab - ab
= (a + b)² - 3ab
= 4² - (3 × 3)
= 16 - 9
= 7

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
2 + 6 + 18 + 54 + …

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3ⁿ - 1)/(3 - 1) ; [এখানে a = 2, r = 3]
= 2 × (3ⁿ - 1)/2
= (3ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: (a²b³)/(c²d) কে (a³b²)/(cd³) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

প্রশ্ন: ২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/২৫৬ = ১/৪
∴ সাধারণ পদ = ar^{(n - 1)}
= ২৫৬ × (১/৪)^(n-1)
= ২৫৬ × ১/৪^(n-1)
= ২৫৬/৪^(n-1)
= ২^(৮)/২^{২(n-1)}
= ২^৮/২^(২n-২)
= ২^{{৮ - (২n - ২)}}
= ২^{{৮ - ২n + ২}}
= ২^{(১০ - ২n)}
= ২^{(১০ - ২n)}

মোট বল (১০ + ১৫ + ৯) বা, ৩৪
বলটি লাল হবার সম্ভাবনা ৯/৩৪

প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √3 হলে, 8ab(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√7)² - (√3)²} × {(√7)² + (√3)²}
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ: 3, 6, 9, 12
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

এখন,
P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট: {1, 2, 4}

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, a² − ab + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
a² + ab + b² = 4

এখন, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
বা, (a²)² + 2 . a² . b² + (b²)² − a² . b² = 8
বা, (a² + b²)²  − (ab)² = 8
বা, (a² + b² + ab)(a² + b² − ab) = 8
বা, 4(a² − ab + b²) = 8
বা, (a² − ab + b²) = 8/4
∴ a² − ab + b² = 2

প্রশ্ন: দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি?

সমাধান:
দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল হবে:
a² - b² = (a + b)(a - b)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

9^x+9^x+9^x = 9^x(1+1+1)=3^2x×3¹=3^2x+1

প্রশ্ন: x² - 8x + 15,  x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 8x + 15
= x² - 8x + 15
= x² - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x - 5) (x + 5)

৩য় রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

- 'BIAM' শব্দটির চারটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
- সুতরাং বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 4!
= 4 × 3 × 2 × 1 = 24

(a-b)²
= (a+b)² - 4ab
= (9m)² - 4×18m²
= 81m² - 72m²
= 9m²
∴ (a-b) = ±3m
এখন a - b = 3m হলে,
a = 6m, b = 3m
এবং, a - b = -3m হলে,
a = 3m, b = 6m

প্রশ্ন: দুটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য 8। এদের বর্গের পার্থক্য 192। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b  (যেখানে a > b)।
দেওয়া আছে,
a - b = 8
a² - b² = 192

আমরা জানি,
a² - b² = (a - b)(a + b) 

শর্তমতে, 
(a - b)(a + b) = 192
⇒ 8 × (a + b) = 192
⇒ a + b = 192/8
∴ a + b = 24

সুতরাং সংখ্যা দুইটির যোগফল = 24

প্রশ্ন: a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8
= a² - 4ab + 4b² - 2a + 4b - 8
= {a² - 2 . a . 2b + (2b)²} - 2(a - 2b) - 8
= (a - 2b)² - 2(a - 2b) - 8

ধরি,
a - 2b = x
এখন, 
x² - 2x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)
= (a - 2b - 4)(a - 2b + 2) [x এর মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: 14 সদস্যের দল থেকে খেলোয়াড়দেরকে নিয়ে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে যেখানে প্রতিবার একজন অধিনায়ক হিসেবে নির্দিষ্ট থাকবেন?

সমাধান:
14 সদস্যের দলে 1 জন অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে বাকি খেলোয়াড় সংখ্যা হবে = (14 - 1) = 13 জন

একাদশে অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে খেলোয়াড় বাছাই করতে হবে = 11 - 1 = 10 জন

∴ সমাবেশ সংখ্যা = ¹³C₁₀
= 13!/{10! × (13 - 10)!}
= 13!/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11 × 10!)/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11)/(3 × 2 × 1)
= 286

(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
⇒ (x - a)/(a² - b²) = -{(x - b)/(a² - b²)}
⇒ (x - a)/(a² - b²) + (x - b)/(a² - b²) = 0
⇒ (x - a + x - b)=0
⇒ 2x = a + b
∴ x = (a + b)/2.

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক ৪। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির ৪ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক ৪

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x

অতএব,
সংখ্যাটি = ১০x + ৪

প্রশ্নমতে,
⇒ x + ৪ = (১০x + ৪)/৪
⇒ ৪(x + ৪) = ১০x + ৪
⇒ ৪x + ১৬ = ১০x + ৪
⇒ ১০x - ৪x = ১৬ - ৪
⇒ ৬x = ১২
⇒ x = ১২/৬ = ২

∴ সংখ্যাটি = ১০ × ২ + ৪ = ২৪

আমরা জানি, ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 2;
∴ মৌলিক সংখ্যার সেটের ক্ষদ্রতম উপাদান 2

2a - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}] 
= 2a - [2b - {3c - a + 3b - 3c}]
= 2a - [2b - 3c + a - 3b + 3c]
= 2a - 2b + 3c - a + 3b - 3c
= a + b

1/2 (logx + logy) = log[(x+y)/2]
⇒1/2 log(xy) = log [(x+y)/2]
⇒ log(xy)^1/2 = log [(x+y)/2]
⇒ (xy)^1/2 = [(x+y)/2]
⇒ xy = [(x+y)/2]²
⇒ 4xy = x² + y² + 2xy
⇒ x² + y² − 2xy = 0
⇒ (x−y)² = 0
⇒ x − y = 0
⇒ x = y

প্রথম ৪ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬২ × ৪ = ২৪৮
শেষ ৫ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৫ × ৫ = ১৭৫
∴ ৫ম সংখ্যাটি = ৪৮২ - (২৪৮ + ১৭৫)
= ৪৮২ - ৪২৩
= ৫৯

প্রশ্ন: s + t = √11 এবং s = √7 + t হলে st এর মান কত?  

সমাধান: 
s + t = √11 
s = √7 + t
s - t = √7

st = {(s + t)/2}² -  {(s - t)/2}² 
= {(√11)/2}² -  {(√7)/2}² 
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

36 - 12x + x²
= x² - 12x + 36
= x² - 6x - 6x + 36
= x(x - 6) - 6(x - 6)
= (x - 6) (x - 6)
= (x - 6)²