PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ৭৯ / ২০১ · ৭,৮০১–৭,৯০০ / ২০,২০৭
প্রশ্ন: ১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
সমাধান:
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩, ৬৬, ৬৯ = ২৩ টি সংখ্যা
এখানে যেহেতু মোট ২৩টি সংখ্যা রয়েছে, এটি একটি বিজোড় সংখ্যা। তাই,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ।
= (২৩ + ১)/২ = ২৪/২ = ১২তম পদ
সুতরাং, ১২তম পদ হলো ৩৬।
প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(9 - x)} = 90 - 9x
আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (9 - x)} = 9x + 9
প্রশ্নমতে,
(90 - 9x) - (9x + 9) = 27
⇒ 90 - 9x - 9x - 9 = 27
⇒ - 18x + 81 = 27
⇒ - 18x = 27 - 81
⇒ - 18x = - 54
⇒ x = 54/18
⇒ x = 3
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 3)
= 90 - 27 = 63
a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯
প্রশ্ন:
সমাধান:
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
=(1+ 50)/2 x50
= 51/2 × 50
= 51 x 25
= 1275
প্রশ্ন: যদি x2 + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?
সমাধান:
x2 + px + 6 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক, p2 - 4 × 1 × 6 = p2 - 24
যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p2 - 24 = 0
⇒ p2 = 24
∴ p = √24
প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
এখানে,
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এবং টেক্কা = ৪ টি
∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২ = ১/১৩
∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩) = (১৩ - ১)/১৩= ১২/১৩
x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 43 - 3.4
= 52
প্রশ্ন: (a/2) + 4 = (a/4) + 6 হলে a এর মান কত?
সমাধান:
(a/2) + 4 = (a/4) + 6
⇒ (a/2) - (a/4) = 6 - 4
⇒ (2a - a)/4 = 2
⇒ a/4 = 2
⇒ a = 2 × 4
∴ a = 8
প্রশ্ন: x - 1/x = 4 হলে x4 + 1/x4 = কত?
সমাধান:
x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2 . x2. 1/x2
= {(x - 1/x)2 + 2 . x . 1/x}2 - 2
= (42 + 2)2 - 2
= (16 + 2)2 - 2
= (18)2 - 2
= 324 - 2
= 322
প্রশ্ন: 16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
সমাধান:
If A is a finite set with n elements, then number of elements in the largest equivalence relation of A is 2n
সংখ্যাটির একক স্থানীয় মান a এবং দশম স্থানীয় মান b হলে, সংখ্যাটি -
a + 10 × b
= a + 10b
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓ < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81
প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-
সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3
∴ সমাধান: |x - 2| < 3
প্রশ্ন: যদি a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) হয়, তাহলে (a + b + c) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c)
⇒ a2 + b2 + c2 + 3 = 2a + 2b + 2c
⇒ (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1) = 0
⇒ (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 = 0
আমরা জানি,
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ,
(a - 1)2 = 0
⇒ a - 1 = 0
∴ a = 1
একইভাবে, b = 1, c = 1
প্রদত্ত রাশি,
a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3
∴ a + b + c = 3
১ম রাশি
x² + 13x + 36
= x² + 4x+ 9x + 36
= (x + 4)(x + 9)
x² - 30x + 216
= x² - 18x - 12x + 216
= (x -18)(x - 12)
∴গ.সা.গু. = 1
প্রশ্ন: যদি 4x = 8x - 1, তবে x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x = 8x - 1
⇒ (22)x = (23)x - 1
⇒ 22x = 23(x - 1)
⇒ 2x = 3x - 3
⇒ - x = - 3
∴ x = 3
প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5
a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 6a² + 12a - 8 - 1
= (a - 2)³ - (1)³
= (a - 2 -1){(a - 2)² + (a - 2).1 + (1)²}
=(a - 3)(a² - 3a + 3)
দেয়া আছে, 2x + 3y = 5 ...(i)
(i)×2 ⇒
4x + 6y = 10
প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
= 2+140
=142
প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
B = {2, 3, 4, 6} এবং
C = {1, 5, 6}
এখন,
A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 6}
= {1, 5}
∴ (A - B) ∪ C
= {1, 5} ∪ {1, 5, 6}
= {1, 5, 6}
প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১০০ জন অতিথির মধ্যে ৫৫ জন কোল্ডড্রিঙ্ক, ৪০ জন কফি নিয়েছে এবং ২০ জন কোনটিই নেয় নি। কতজন অতিথি শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে?
সমাধান:
ধরি,
উভয় পানীয় নিয়েছে = ক জন
∴ শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে = (৫৫ - ক) জন
∴ শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ক) জন
দেওয়া আছে,
কোনো পানীয় নেয় নি = ২০ জন
প্রশ্নমতে,
(৫৫ - ক) + ক + (৪০ - ক) + ২০ = ১০০
⇒ ৯৫ - ক = ১০০ - ২০
⇒ ৯৫ - ক = ৮০
⇒ ক = ৯৫ - ৮০
⇒ ক = ১৫
শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে নিয়েছে = (৫৫ - ১৫) জন = ৪০ জন
শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ১৫) জন = ২৫ জন
∴ শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে = (৪০ + ২৫) জন = ৬৫ জন
দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7}
এবং B = {3, 6, 8, 9}
এখন, A∪B = {4, 5, 6, 7} ∪ {3, 6, 8, 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
প্রশ্ন: logx(1/512) = - 3 হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
logx(1/512) = - 3
বা, x- 3 = 1/512 [logba = c হলে, bc = a হয়]
বা, 1/(x3) = 1/512
বা, x3 = 512
বা, x3 = 83
∴ x = 8
প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?
সমাধান:
AMERICA শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে A = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520
আবার,
CANADA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4
= 120
সুতরাং AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।
প্রশ্ন: x + (1/9x) = 1 হয় তবে 27x3 + (1/27x3) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 1
বা, 3x + 3/9x = 3 [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + 1/3x = 3
বা, (3x + 1/3x)3 = 33
বা, (3x)3 + (1/3x)3 + 3 . 3x . 1/3x (3x + 1/3x) = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 + 3 . 3 = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 + 9 = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 = 27 - 9
∴ 27x3 + 1/27x3 = 18