বীজগণিত

(2/3)^n-3 = (8/27)^n-4
বা, (2/3)^n-3 = {(2/3)³}^n-4
বা, (2/3)^n-3 = (2/3)^{3n - 12}
বা, n - 3 = 3n - 12
বা, 2n = 9
∴ n = 9/2

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3.a.1/a (a + 1/a)
= 4³ - 3 X 4
= 64 - 12
= 52

ⁿp₃ = 4 × ⁿp₂
বা, n!/(n - 3)! = 4 × n!/(n - 2)!
বা, 1/(n - 3)! = 4 × 1/(n - 2)(n - 3)!
বা, 1 = 4/(n - 2)
বা, n - 2 = 4
∴ n = 6

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৭
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= ২ × (৩^৭ - ১)/(৩ - ১)
= ২ × (২১৮৭ - ১)/২
= ২১৮৬

প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৪০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

 সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৮
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০

 ∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ১৮) + ১
= ৩২ + ১
 = ৩৩

প্রশ্ন: PROBABILITY শব্দটি থেকে যেকোন একটি letter নিলে, বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
PROBABILITY শব্দটিতে মোট letter আছে ১১ টি
Vowel আছে (O, A, I, I)  ৪টি
বাকী (১১ - ৪) = ৭টি consonant 

বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা  = ৭/১১

x - y = 7
∴ y = x - 7......(1)

আবার, xy = 60
বা, x(x - 7) = 60 [y = x - 7 বসিয়ে]
বা, x² - 7x - 60 = 0
বা, x² - 12x + 5x - 60 = 0
বা, x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
বা, (x - 12)(x + 5) = 0
∴ x = -5, 12

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে 4 অথবা 4 এর বেশি সংখ্যা আসার সম্ভাবনা শতকরা কত? 

সমাধান: 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল 6টি। যথা, 1, 2, 3, 4, 5, 6

আবার, 
4 অথবা 4-এর বেশি সংখ্যা আসার সম্ভাবনা
অর্থাৎ, 4, 5 অথবা 6 আসার সম্ভাবনা
অনুকূল ফলাফল = 3টি 

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= 3/6
= 1/2

∴ শতকরা হিসাবে = (1/2) × 100% = 50%

এখানে,
a = ১; d = ৪ ও n = ২০
∴ S = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২০/২){২.১ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৭৮
= ৭৮০

দেওয়া আছে, a + 1/a = √4
এখন, a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3. a. 1/a (a + 1/a)
= (√4)³ - 3√4
= 4√4 - 3√4
= √4
= 2

প্রশ্ন: 35x² - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
35x² - x - 12
= 35x² - 21x + 20x - 12
= 7x(5x - 3) + 4(5x - 3)
= (5x - 3)(7x + 4)

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে
ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লাল পতাকা (R) = 4
হলুদ পতাকা (Y) = 3
নীল পতাকা (B) = 2
∴ মোট পতাকা = 4 + 3 + 2 = 9
একই রঙের পতাকা সমান, তাই পুনরাবৃত্তি সহ permutation সূত্র ব্যবহার করি। 

সুতরাং, বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(4! × 3! × 2!) = 1260

(4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)² (m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০ তম পদ।

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার 5ম পদ 30 এবং 14তম পদ 84 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং,
5ম পদ = a + (5 - 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 ------ (1)

14তম পদ = a + (14 - 1)d = 84
⇒ a + 13d = 84 ------ (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(a + 13d) - (a + 4d) = 84 - 30
⇒ 9d = 54
⇒ d = 54/9
⇒ d = 6
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর হলো 6।

প্রশ্ন: A = {m, n, o} সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, A = {m, n, o}
A সেটের উপাদান সংখ্যা n = 3 

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1 
= 8 - 1
= 7 টি

x/5 - 2/7 = 5x/7 - 4/5
বা, x/5 - 5x/7 = 2/7 - 4/5
বা, (7x - 25x)/35 = (10-28)/35
বা, -18x/35 = -18/35
∴ x = 1

প্রশ্ন: 3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2} = ?

সমাধান:
3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(3 - 1)
= 2ⁿ × 2 
= 2^{n + 1}

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ (a/b)^{x - 3}  = (a/b)^{- (x - 5)}
⇒ x - 3 = - x + 5
⇒ x + x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

x√0.09 = 3
⇒x = 3/√0.09
⇒x² = 9/0.09 [বর্গ করে]
⇒x² =100
∴x = 10

চক্রাকার গঠনে একটি বস্তুকে সর্বদা স্থির রাখতে হবে এবং উল্টানো যাবে এমন n সংখ্যক বস্তু নিয়ে মালা তৈরী করা যাবে =(n-1)!/2
∴10 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে = (10 - 1)!/2 = 9!/2

ধারাটি = 1, 9, 25, 49 ..............
= 1², 3², 5², 7², ..........
∴ ধারা অনুযায়ে পরবর্তী সংখ্যা = 9² = 81

প্রশ্ন: (5x - 3y) এর বর্গ হচ্ছে:

সমাধান: 
(5x + 3y) এর বর্গ
= (5x - 3y)²
= (5x)² - 2.5x.3y + (3y)²
= 25x² - 30xy + 9y²  । 

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং  x - y = 3 হলে, 2x² + 2y² = কত? 

সমাধান: 
2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)² 
= (5)² + (3)² 
= 25 + 9 
= 34

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

x² + x - (a + 1)(a + 2)
= x² + x - (a + 1){(a + 1) + 1}
= x² + x - b(b + 1) [ধরি, b = a + 1]
= x² + x - b² - b
= x² + x - b² - b
= x² - b² + x - b
= (x + b)(x - b) + 1(x - b)
= (x - b)(x + b + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 1 + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 2)

1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
= (99 × 100)/2
= 4950

প্রশ্ন: p² + 12p + 36 কে (p + 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
f(p) = p² + 12p + 36

∴ f(- 3) = (- 3)² + 12(- 3) + 36
= 9 - 36 + 36
= 9

∴ ভাগশেষ 9 হবে।

প্রশ্ন: যদি 3^2x - 3^{x + 2} = 3^{x + 1} - 27 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^2x - 3^{x + 2} = 3^{x + 1} - 27
⇒ (3^x)² - (3^x × 3²) = (3^x × 3¹) - 27

ধরি, 3^x = p
⇒ p² - 9p = 3p - 27
⇒ p² - 12p + 27 = 0
⇒ p² - 9p - 3p + 27 = 0
⇒ p(p - 9) - 3(p - 9) = 0
⇒ (p - 9)(p - 3) = 0
হয়, 
p - 9 = 0 
⇒ p = 9 
⇒ 3^x = 3²   ;   [p এর মান বসিয়ে পাই]
∴ x = 2

অথবা, 
p - 3 = 0
⇒ p = 3 
⇒ 3^x = 3¹     ; [p এর মান বসিয়ে পাই]
∴ x = 1

সুতরাং, x এর মান (1, 2)