বীজগণিত

প্রশ্ন: px + qy = r এবং qx + py = s সহ-সমীকরণের সমাধানে x + y এর মান কত?
সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
px + qy = r .........(i) 
qx + py = s ......(ii) 

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
(px + qy) + (qx + py) = r + s
⇒ (px + py) + (qx + qy) = r + s
⇒ p(x + y) + q(x + y) = r + s
⇒ (p + q)(x + y) = r + s
∴ x + y = (r + s) / (p + q)

দেওয়া আছে,
(100000)^(x/5) = 100
বা, (10⁵)^(x/5) = (10)²
বা, (10)^x = (10)²
বা, x = 2

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 1/2
আমরা জানি,
ষষ্ঠ পদ = ar^{(6 - 1)}
= ar⁵
= 1× (1/2)⁵
= 1/32

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ................ ধারাটির কোন পদ 267?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3 
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 267

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 267
বা, 3 + (n - 1)4 = 267
বা, 4(n - 1) = 267 - 3
বা, 4(n - 1) = 264
বা, n - 1= 264/4
বা, n - 1 = 66
বা, n = 66 + 1
∴ n = 67

ধারাটির 67 তম পদ = 267

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} তাহলে B - A = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 20 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

আবার,
B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
এখানে, 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতকসমূহ: 5, 10, 15, 20
∴ B = {5, 10, 15, 20}

এখন,
B - A  = {5, 10, 15, 20} - {1, 2, 4, 5, 10, 20}
= {15}

নির্ণেয় সেট: {15}

প্রশ্ন: log_xy⁸ = 4a এবং log_yx⁹ = 6b হলে, ab = কত?

সমাধান:
log_xy⁸ = 4a
⇒ 8 log_xy = 4a
⇒ log_xy = 4a/8
⇒ log_xy = a/2 ......(1)

আবার, log_yx⁹ = 6b
⇒ 9 log_yx = 6b
⇒ log_yx = 6b/9
⇒ log_yx = 2b/3 .......(2)

আমরা জানি, log_xy × log_yx = 1
∴ (a/2) × (2b/3) = 1
⇒ 2ab/6 = 1
⇒ ab/3 = 1
⇒ ab = 3

(a^-2)^-1 = (1/a²)^-1
= 1/(1/a²)
= 1 × a²/1
= a²

a - 3/a = 1
বা, (a² - 3)/a = 1
বা, ‍a² - 3 = a
বা, ‍a² - a = 3
সুতরাং
3/(a² - a + 1)
= 3/(3 + 1)
= 3/4

8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
=(2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³
=(2x + 3y)³

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x1/256 = - 8
বা, x ^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256 
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2

প্রশ্ন: |2x - 3| < 5 এর সমাধান-

সমাধান:
|2x - 3| < 5
⇒ - 5 < 2x - 3 < 5
⇒ - 5 + 3 < 2x - 3 + 3 < 5 + 3
⇒ - 2 < 2x < 8
⇒ - 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ - 1 < x < 4

x = 1/{(√5) - 2} = √5 + 2
এবং 1/x = √5 - 2
বা, x - (1/x) = 4 ........ (1)
বা, (x - (1/x))³ = 4³ = 64
বা, x³ - 1/x³ + 3.x.(1/x)(x - (1/x)) = 64
বা, ((x⁶ - 1)/x³) + 3.4 = 64 ........... [(1) নং থেকে]
বা, (x⁶ - 1)/x³ = 64 - 12 = 52
বা, x⁶ - 1 = 52x³
∴ x⁶ - 52x³ = 1

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণের চেয়ে ৪ বছর বেশি। ৪ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি  ১০০ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর

৪ বছর পর,
পুত্রের বয়স = ক + ৪ বছর
পিতার বয়স = (৩ক + ৪) + ৪ = ৩ক + ৮ বছর

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪) + (৩ক + ৮) = ১০০
⇒ ৪ক + ১২ = ১০০
⇒ ৪ক = ৮৮
⇒ ক = ২২

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২২ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৩ × ২২) + ৪ = ৭০ বছর

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে 300 জন অতিথি ছিল। এর মধ্যে 180 জন চা পছন্দ করেন এবং 140 জন কফি পছন্দ করেন। যদি 50 জন উভয় পানীয় পছন্দ করেন, তবে কতজন অতিথি কোনো পানীয়ই পছন্দ করেন না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট অতিথি = 300 জন
চা পছন্দ করে = 180 জন
কফি পছন্দ করে = 140 জন
উভয় পানীয় পছন্দ করে = 50 জন

∴ শুধু চা পছন্দ করে = 180 - 50 = 130 জন
∴ শুধু কফি পছন্দ করে = 140 - 50 = 90 জন

∴ অন্তত একটি পানীয় পছন্দ করে = 130 + 90 + 50 = 270 জন 

∴ কোনো পানীয়ই পছন্দ করে না = 300 - 270 = 30 জন

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a² (a + 1)) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

প্রশ্ন: x = 1 + √7 হলে, x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 1 + √7

∴ x³ = (1 + √7)³
= 1³ + 3.1².√7 + 3.1. (√7)² + (√7)³
= 1 + 3√7 + 3 . 7 + 7√7
= 22 + 10√7 

প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0

আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz

প্রশ্ন: f(x) = x² + (1/x^{- 1}) - 1 হলে, f(0) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x² + (1/x^{- 1}) - 1
= x² + {1/(1/x)} - 1
= x² + x - 1

এখন, x = 0 বসিয়ে পাই,
f(0) = 0² + 0 - 1
= 0 + 0 - 1
= - 1

প্রশ্ন:  যদি 5x³ - 2x² + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x³ - 2x² + x + k
∴ f(3) = 5(3)³ - 2(3)² + 3 + k
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + k
= 135 - 18 + 3 + k
= 120 + k

এখন, 
5x³ - 2x² + x + k এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + k = 0
∴ k = - 120

প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?

সমাধান:
২ টি বই কখনোই বাছাই না করা হলে বাছাইযোগ্য বইসংখ্যা হবে = (১০ - ২) টি = ৮ টি 

∴ ৮ টি বইয়ের মধ্য থেকে ৪ টি বই বাছাই করার সংখ্যা = ^৮C_৪
= ৮!/{৪! × (৮ - ৪)!}
= ৮!/(৪! × ৪!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪!)/(৪ × ৩ × ২ × ৪!)
= ৭০ 

প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে, (1/27)(a³ + b³ + c³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
a + b = - c

এখন,
(1/27)(a³ + b³ + c³)
= (1/27){(a + b)³ - 3ab(a + b) + c³}
= (1/27){(- c)³ - 3ab( - c) + c³}
= (1/27)( - c³ + 3abc + c³)
= (1/27) × 3abc
= abc/9

প্রশ্ন: ​10x² - 27x + 18 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
​10x² - 27x + 18​
​= 10x² - 12x - 15x + 18
​= 2x(5x - 6) - 3(5x - 6)
​= (5x - 6)(2x - 3)

x - 5, f(x) = x² + 7x + p এর উৎপাদক হলে,
f(5) = 0
বা, 25 + 35 + p = 0
বা, p + 60 = 0
∴ p = -60

x = 4,
y = 23/4 < 6
∴ xy = 4 × 23/4
= 23

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ........ + ১৬৯ = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৯ - ৫ = ৪
শেষ পদ = ১৬৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৬৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৬৯
⇒ ৫ + (n - ১) × ৪ = ১৬৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৬৪
⇒ n - ১ = ১৬৪/৪
⇒ n - ১ = ৪১
⇒ n = ৪২

∴ সমষ্টি S_n = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (৪২/২) × {২ × ৫ + (৪২ - ১) × ৪}
= ২১ × {১০ + ৪১ × ৪}
= ২১ × {১০ + ১৬৪}
= ২১ × ১৭৪
= ৩৬৫৪

(2¹⁰)^2/5 = 2¹⁰ × ^2/5
= 2⁴
= 16