বীজগণিত

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
5 < x < 13

সমাধান:
5 < x < 13

∴ গড় = (13 + 5)/2
= 18/2
= 9

∴ 5 - 9 < x - 9 < 13 - 9        [উভয়পক্ষে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 9 < 4
⇒ |x - 9| < 4

3/(x - 1) = 4/(x + 2)
বা, 4x - 4 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 + 4
∴ x = 10

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে, a³ - 1/a³ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3.a.(1/a) (a - (1/a) 
= (3)³ + 3 × 3
= 27 + 9 
= 36

১ম পদ a = ৮,
সাধারণ অনুপাত r = ২
∴ n তম পদ = ar^{n - ১} = ১২৮
বা, ৮ ×২^{n - ১} = ১২৮
২^{n - ১} = ১৬
বা, ২^{n - ১} = ২^৪
বা, n - ১ = ৪
∴ n = ৫

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে,  x⁵⁶ + 1/x⁵⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² - 2.x.1 + 1² = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1

এখন,
x⁵⁶ + 1/x⁵⁶
= 1⁵⁶ + 1/1⁵⁶
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: যদি 5^{(x - y)} = 25 এবং 5^{(x + y)} = 3125 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(x - y)} = 25
⇒ 5^{(x - y)} = 5²
⇒ x - y = 2 .......................... (1)

এবং 5^{(x + y)} = 3125
⇒ 5^{(x + y)} = 5⁵
⇒ x + y = 5 .......................... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = 2 + 5
⇒ 2x = 7
⇒ x = 7/2 
∴ x = 3.5

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 3^y + 3^{2 - y} = 10 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
3^y + 3^{2 - y} = 10
⇒ 3^y + 3²/3^y = 10
⇒ q + (9/q) = 10 [ধরি, 3^y = q]
⇒ (q² + 9)/q = 10
⇒ q² - 10q + 9 = 0
⇒ q² - 9q - q +9 = 0
⇒ q(q - 9) - 1(q - 9) = 0
⇒ (q - 9)(q - 1) = 0

অর্থাৎ, q = 9 অথবা q = 1

যদি q = 9, তাহলে 3^y = 9
⇒ 3^y = 3²
⇒ y = 2

যদি q = 1, তাহলে 3^y = 1
⇒3^y =  3⁰
⇒ y = 0

অতএব, y = 0, 2

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলো। এই পরীক্ষায় কেবলমাত্র দুইটি হেড (H) এবং একটি টেইল (T) আসার প্রতিকূলে সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা n(S) = 8

কেবলমাত্র দুইটি হেড ও একটি টেল আসার অনুকূল ফলাফলগুলো হলো:
{HHT, HTH, THH}

∴ অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(A) = 3

∴ ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা, P(A) = n(A)/n(S) = 3/8

আমরা জানি,
কোনো ঘটনা প্রতিকূলে অর্থাৎ, না ঘটার সম্ভাবনা: P(A') = 1 - P(A)
= 1 - 3/8
= 5/8

প্রশ্ন: তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ঠিক দুটি হেড (H) আসার সম্ভাবনা শতকরা কত?

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে, প্রতিটি মুদ্রার দুটি সম্ভাব্য ফলাফল আছে: হেড (H) অথবা টেল (T)।
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ২ × ২ × ২ = ৮টি
সবগুলো সম্ভাব্য ফলাফল হলো, {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

এখন ঠিক দুটি হেড (অর্থাৎ দুটি H এবং একটি T) আসার ক্ষেত্রগুলো হলো = {HHT, HTH, THH}
অর্থাৎ অনুকূল ফলাফল = ৩টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল = ৩/৮

∴ শতকরা হিসাবে = (৩/৮) × ১০০ = ৩৭.৫%

প্রশ্ন: 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂32
= log₂(2⁵)
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5

Given, f(x) = (3x+3) / (x−5)
= (3.1/3 + 3) / (1/3 - 5)
= (1 + 3) / {(1 - 15)/3}
= 4 / (-14 / 3)
= - 12/14
= - 6/7

প্রশ্ন: U = {x : x < 7 , x ∈ N}, A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4} হলে A' = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {x : x < 7 , x ∈ N}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
এবং 
A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4}
= {2, 3, 4}

এখন, 
A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4}
= {1, 5, 6} ।

প্রথমটিতে head আসার সম্ভাব্যতা ½. দ্বিতীয়টিতে tail আসার সম্ভাব্যতা ½.
দুইটিতে একত্রে head এবং tail আসার সম্ভাব্যতা ½ × ½ = ¼ .

প্রশ্ন:

সমাধান:

সার্বিক সেট U এর যে কোনো উপসেট A ও B এর জন্য দ্যা মরগ্যানের সূত্র দ্বয়-
ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং
খ) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রশ্ন: x² = √5x সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি? 
সমাধান: 
x² = √5x
বা, x² - √5x = 0
বা, x (x - √5) = 0

হয়, 
x = 0

অথবা, 
(x - √5) = 0
বা, x = √5

∴ সমাধান সেট: {0,√5}

প্রশ্ন: x + 2y = 4 হলে, x³ + 8y³ + 24xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4

এখন,
x³ + 8y³ + 24xy
= x³ + (2y)³ + 24xy
= (x + 2y)³ - 3 . x . 2y(x + 2y) + 24xy [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (4)³ - 6xy(4) + 24xy
= 64 - 24xy + 24xy
= 64
∴ x³ + 8y³ + 24xy = 64

প্রশ্ন:


সমাধান: 

ⁿc₅ = ⁿc_{n - 5}
∴ ⁿc₅ = ⁿc₇
বা, ⁿc_{n - 5} = ⁿc₇
বা, n - 5 = 7
বা, n = 7 + 5
∴ n = 12

প্রশ্ন: 4x + 4 > 16 অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 4 > 16
⇒ 4x + 4 - 4 > 16 - 4 [উভয়পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করে] 
⇒ 4x > 12
⇒ (4x)/4 > 12/4 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x > 3

∴নির্ণেয় সমাধান x > 3
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x > 3}

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}, Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6, 8}

একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা = 2, 4, 6 এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা এমন সংখ্যা = 2, 3, 4, 6.
সুতরাং জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

প্রশ্ন: 16x³ - 46x² + 15x এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
16x³ - 46x² + 15x
= x(16x² - 46x + 15)
= x(16x² - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

প্রশ্ন: 36a² + 36a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

36a² + 36a

= 36a² + 36a + 9 - 9

= (6a)² + 2 ×(6a) × (3)+ (3)² - 9

= (6a + 3)² - 9

সুতরাং, 36a² + 36a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

x = 37 হলে,
8x³ + 72x² + 216x + 216
= (2x)³ + 3 . (2x)² . 6 + 3 . (2x) . (6)² + (6)³
= ( 2 × 37 + 6 )³ = 512000

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴  77 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 77(77 + 1)/2
= (78 × 77)/2
= 39  × 77
= 3003

প্রশ্ন: হাসান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করে। সে কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, 
প্রথম মাসের সঞ্চয়, প্রথম পদ a = 1200
প্রতি মাসে সঞ্চয় বৃদ্ধি, সাধারণ অন্তর d = 100
মোট সঞ্চয়, S = 106200 টাকা

মনে করি, তিনি n মাসে 106200 টাকা সঞ্চয় করেন।
প্রশ্নানুসারে,
n/2 × {2a + (n - 1) × d} = 106200
বা, n/2 × {2 × 1200 + (n - 1) × 100} = 106200
বা, n(2400 + 100n - 100) = 212400
বা, 100n² + 2300n - 212400 = 0
বা, n² + 23n - 2124 = 0
বা, n² + 59n - 36n - 2124 = 0
বা, (n + 59)(n - 36) = 0
অর্থাৎ, n = - 59 অথবা n = 36
মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ নির্ণেয় সময়: 36 মাস বা 3 বছর।

³√{³√(a^-27)}
= ³√{(a^-27)^1/3}
= ³√(a^-9)
= (a^-9)^1/3
= a^-3
= 1/a³

(a/b)^{(x - 5)} = (b/a)^{(x - 7)}
⇒ (a/b)^{(x - 5)} = (a/b)^{(7 - x)}
⇒ x - 5 = 7 - x
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6